1、考研数学三（概率统计）-试卷 11 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.13.设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.14.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1
2、 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n )= B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0，02)，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )一 D(x1)+D(X2)+D(X)，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关5.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =一05，且 P(aX+bY1)=05，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.
3、二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设随机变量 x 与 y 的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 X 的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 的密度函数为 f(c)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设每次试验成
4、功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_（分数：2.00）_13.n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，针对下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：(1)试开过的钥匙除去； (2)试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_14.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_15.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于12 为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X
5、有如下关系： （分数：2.00）_16.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1 000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_17.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_18.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= （分数：2.00）_19.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互
6、独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_20.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_21.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 （分数：2.00）_22.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x2，0y1)上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_23.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= （分数：2.00）_24.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i （分数：2.00）_25
7、.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z)（分数：2.00）_26.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_27.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 11 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选
8、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：设正面出现的概率为 P，则 XB(n，p)，Y=n 一 XB(n，1 一 p)， E(X)=np，D(X)=np(1 一p)，E(Y)=n(1 一 p)，D(Y)=np(1 一 p)， Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)一 Cov(X，X)， 因为Cov(X，n)=E(nX)一 E(n)E(X)=nE(X)一 nE(X)=0， Cov(X，X
9、)=D(x)=np(1 一 p)，所以 XY = 3.设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =1；当 PY=aX+b)=1(a0)时， XY =一 1 因为arcsinx+arccosx= 4.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n )= B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2
10、 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0，02)，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )一 D(x1)+D(X2)+D(X)，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关 解析：解析：若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 B，C 是正确的，若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，B，C 是正确的，若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关， 则 A 是正确的，选 D5.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =一05，且 P(a
11、X+bY1)=05，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2 +4b 2 +2abCov(X，Y)=a 2 +4b 2 一 2ab， 即 aX+bYN(a+2b，a 2 +4b 2 一 2ab)， 由 P(aX+bY1)=05 得 a+2b=1，所以选 D二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设随机变量 x 与 y 的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 =4，D
12、(Y)=E(Y 2 )一E(Y) 2 =9， Cov(X，Y)= 7.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 X 的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-06）解析：解析：随机变量 X 的分布律为 X 9.设随机变量 X 的密度函数为 f(c)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：因为10.设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确
13、答案：正确答案：1）解析：解析：因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 由 E(X一 1)(X-2)=E(X 2 3X+2)=E(X 2 )一 3E(X)+2= 2 一 2A+2=1 得 =1三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(X=k)=0208 k-1 ，k=1，2， )
14、解析：13.n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，针对下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：(1)试开过的钥匙除去； (2)试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n )解析：14.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 XB ， 以 Y 表示获利，则 Y= )解析：15.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于12 为不合格品，其余为合
15、格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(T)=一 1P(X10)+20P(10X12)一 5P(X12) )解析：16.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1 000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设随机变量 X，Y 相互独
16、立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1-e -2 ； P(U=0，V=1)=P(X1，X2)=0； P(U=1，V=1)=P(X1，X2)=P(X2)=1-F(2)=e -4 ； P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e -2 一 e -4 (U，V)的联合分布律为
17、)解析：19.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用随机变量分解法 )解析：20.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(X)= - + xf(x)dx=0， D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = - + x(x)dx= 0 + x 2 e -x dx= )解析：21.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 （分数：
18、2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x2，0y1)上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立，所以 (2)Cov(Y，Z)=Cove(X 1 +X m+n )+(X m+1 +X n )，X m+1 +X m+n =Cov(X 1 +X m ，X m+1 +X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X m+1 +X
19、 m+n ) =D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n ) =(n 一 m) 2 则 )解析：24.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 都服从 N(， 2 )分布，所以 U= N(0，1)， 且 U，V 相互独立，则 X=U+，Y=V+，故 Z=max(X，Y)=max(U，V)+， 由
20、 U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 f(u，v)= (一u，v+) 于是 E(Z)=Emax(U，V)+ )解析：26.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Fu(u)=P(Uu)=Pmax(X 1 ，X 2 ，X n )u )解析：27.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
