1、考研数学三（微积分）模拟试卷 188 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续可导，g(z)在 x0 的邻域内连续，且 g(0)1，f(x)sin2x 0 x g(xt)dt，则( )（分数：2.00）A.x0 为 f(x)的极大值点B.x0 为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 yf(x)的拐点D.x0 非极值点，(0，f(0)非 yf(x)的拐点3.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.
2、f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.x0 是 f(x)的驻点但不是极值点4.对二元函数 zf(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.zf(x，y)可微的充分必要条件是 zf(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 zf(x，y)可微，则 zf(x，y)的偏导数连续C.若 zf(x，y)偏导数连续，则 zf(x，y)一定可微D.若 zf(x，y)的偏导数不连续，则 zf(x，y)一定不可微二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)连续，且 f(1)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)在 x1 处一阶连续可导，且
3、f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设xf(x)dxarcsinxC，则 （分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y(x)为微分方程 y4y4y0 满足初始条件 y(0)1，y(0)2 的特解，则 0 1 y(z)dx 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 f(0)6，且 （分数：2.00）_13.求 f(x) （分数：2.00）_14.确定 a，b，使得
4、x(abcosx)sinx，当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_15.设 f(x)二阶可导，f(0)f(1)0 且 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，)内可导且 f(0)1，f(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_17.设函数 f(x) （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_20.设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面 S 介于平面 z0 与 z
5、1 之间的体积（分数：2.00）_21.设 uu(x，y)由方程组 uf(x，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.设 0a n （分数：2.00）_24.求函数 f(x)ln(1x2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_25.设有微分方程 y2y(x)，其中 (x) （分数：2.00）_26.设 yy(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 188 答案解析(总分：52.00，做题时间：90
6、分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)连续可导，g(z)在 x0 的邻域内连续，且 g(0)1，f(x)sin2x 0 x g(xt)dt，则( )（分数：2.00）A.x0 为 f(x)的极大值点 B.x0 为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为 yf(x)的拐点D.x0 非极值点，(0，f(0)非 yf(x)的拐点解析：解析：由 0 x g(xt)dt g(u)du 得 f(x)sin2x 0 x g(u)du，f(0)0， 3.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00
7、）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点 D.x0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：因为 f(x)二阶连续可导，且 1，所以 f(x)0，即 f(0)0又10，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时，有4.对二元函数 zf(x，y)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.zf(x，y)可微的充分必要条件是 zf(x，y)有一阶连续的偏导数B.若 zf(x，y)可微，则 zf(x，y)的偏导数连续C.若 zf(x，y)偏导数连续，则 zf(x，y)一定可微 D.若 zf(x，y)的偏导数不连续，则 zf(x，y)
8、一定不可微解析：解析：因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选(C)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)连续，且 f(1)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 f(x)在 x1 处一阶连续可导，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：7.设xf(x)dxarcsinxC，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8. 1 （分数：2.00）填空项 1:
9、_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：9.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 1)）解析：解析： u 1 vf(u 2 v 2 )dv u 1 f(u 2 v 2 )d(u 2 v 2 ) f(t)dt， 则 0 x vf(u 2 v 2 )dv 0 x du 0 u21 f(t)dt f(t)dt， 10.设 y(x)为微分方程 y4y4y0 满足初始条件 y(0)1，y(0)2 的特解，则 0 1 y(z)dx 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y4y4y0 的通解为 y(C 1 C 2 x
10、)e 2x ， 由初始条件 y(0)1，y(0)2 得 C 1 1，C 2 0，则 ye 2x ， 于是 0 1 y(x)dx 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 f(0)6，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 得 f(0)0，f(0)0， )解析：13.求 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x0，1，2，及 x1 当 x0 时，f(00) ， f(00) sin1，则 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x1 时，则 x1
11、 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 xk(k2，3，)时， )解析：14.确定 a，b，使得 x(abcosx)sinx，当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yx(abcosx)sinx， y1bsin 2 x(abcosx)cosx， ybsin2x sin2x(abcosx)sinxasinx2bsin2x， yacosx4bcos2x， 显然 y(0)0，y(0)0， 所以令 y(0)y(0)0 得 故当 )解析：15.设 f(x)二阶可导，f(0)f(1)0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上二
12、阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)f(1)0， f(x)1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在 (0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f(c)1，再由费马定理知 f(c)0， 根据泰勒公式 f(0)f(c)f(c)(0c) (0c) 2 ， 1 (0，c) f(1)f(c)f(c)(1c) (1c) 2 ， 2 (0，1) 整理得 当 c(0， 时，f( 1 ) 8，取 1 ； 当 c( ，1)时，f( 2 ) )解析：16.设 f(x)在0，)内可导且 f(0)1，f(x)f(x)(x0)证明：f(x)e x (x0)（分数：2.00）_
13、正确答案：(正确答案：令 (x)e x f(x)，则 (x)在0，)内可导， 又 (0)1，(x)e x f(x)f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)1，所以 有 f(x)e x (x0)解析：17.设函数 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 ag(0)时，f(x)在 x0 处连续 因为 f(x)f(0)，所以 f(x)在 x0 处连续 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(x)在a，b上单调增加，所
14、以 a b (x)dx0， )解析：20.设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 x 轴一周所得旋转曲面为 S(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面 S 介于平面 z0 与 z1 之间的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 1，1，1，直线 AB 的方程为 设对任意的 M(x，y，z)S，过 M 垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，T(0，0，z)，由MTM 0 T，得 x 2 y 2 x 0 2 y 0 2 ， 因为 M 0 在直线 AB 上，所以有 ， 从而 代入 x 2 y 2 x 0 2 y
15、0 2 ；中得曲面方程为 S：x 2 y 2 (1z) 2 z 2 ，即 S：x 2 y 2 2z 2 2z1 (2)对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)(x 2 y 2 )(x 2 y 2 )(2z 2 2z1) 于是 V 0 1 A(z)dz )解析：21.设 uu(x，y)由方程组 uf(x，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由 uf(x，y，z，t)，g(y，z，t)0，h(z，t)0，得 三个
16、方程两边对 y 求偏导得 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 2(x 2 y 2 )，解得 x 2 y 2 ， )解析：23.设 0a n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求函数 f(x)ln(1x2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)ln(1x2x 2 )ln(x1)(12x)ln(1x)ln(12x)， 因为ln(1x) (1x1)， )解析：25.设有微分方程 y2y(x)，其中 (x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，y2y2 的通解为 yC 1 e
17、2x 1，由 y(0)0 得 C 1 1，ye 2x 1； 当 x1 时，y2y0 的通解为 yC 2 e 2x ，根据给定的条件， y(10)C 2 e 2 y(10)e 2 1，解得 C 2 1e 2 ，y(1e 2 )e 2x ， 补充定义 y(1)e 2 1，则得在(，)内连续且满足微分方程的函数 )解析：26.设 yy(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线是上凸的，所以 y0，由题设得 令 yp，y (1p 2 ) arctanpC 1 x 因为曲线 yy(x)在点(0,1)处的切线方程为 yx1，所以 yx1，所以 p x0 1，从而 y tan( x)，积分得 ylncos( x)C 2 因为曲线过点(0,1)所以 C 2 1 ， 所求曲线为 ylncos 因为 cos( x)1，所以当 x 时函数取得极大值 1 )解析：
