1、考研数学三（微积分）模拟试卷 136 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）= （分数：2.00）A.0B.1C.D.3.设 f（x）在 R 上连续，且 f（x）0，（x）在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是（ ） f（x）必有间断点。 （x） 2 必有间断点。 f（x）没有间断点。（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设 f（x）在a，b可导，f（a）= （分数：2.00）A.f + （a）=0B.f + （a）
2、0C.f + （a）0D.f + （a）05.设 f（x）在（1，1+）内存在导数，f（x）严格单调减少，且 f（1）=f（1）=1，则（ ）（分数：2.00）A.在（1，1）和（1，1+）内均有 f（x）xB.在（1，1）和（1，1+）内均有 f（x）xC.在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）xD.在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）x6.已知 f（x）在 x=0 的某个邻域内连续，且 f（0）=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f（0）0C.取得极大值D.取得极小值7.设一元函数 f（x）有下列四条性质。f（x）在a，b连续；f（x）
3、在a，b可积；f（x）在a，b存在原函数；f（x）在a，b可导。若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f（x，y）= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续9.设 f（x，y）与 （x，y）均为可微函数，且 y （x，y）0。已知（x 0 ，y 0 ）是 f（x，y）在约束条件 （x，y）=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 f x （x 0 ，y 0 ）=0，则 f y （x 0 ，y 0 ）=0B.若 f x （x 0 ，y 0 ）=0
4、，则 f y （x 0 ，y 0 ）0C.若 f x （x 0 ，y 0 ）0，则 f y （x 0 ，y 0 ）=0D.若 f x （x 0 ，y 0 ）0，则 f y （x 0 ，y 0 ）010.累次积分 d 0 cos f（rcos，rsin）rdr 可以写成（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.设常数 0，且级数 a n 2 收敛，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 有关二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.x表示不超过 x 的最大整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 y=lnlnlnx，则 y = 1。（分数
5、：2.00）填空项 1:_14.设 f（x）在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17.设函数 f（u，）由关系式 f（xg（y），y=x+g（y）确定，其中函数 g（y）可微，且 g（y）0，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.D 是圆周 x 2 +y 2 = Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程（y+x 2 e x ）dxxdy=0 的通解为 y= 1。（分数
6、：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.求常数 a 与 b 的值，使 f（x）在（一，+）上处处连续。 （分数：2.00）_24.设函数 f（x）在（一，+）上有定义，在区间0，2上，f（x）=x（x 2 4），若对任意的 x 都满足 f（x）=kf（x+2），其中 k 为常数。 （）写出 f（x）在2，0）上的表达式； （）问 k 为何值时，f（x）在 x=0 处可导。（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.计算 0 1 （分数：2.00）_27.设 ，其中 f 具有二
7、阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_28.求|z|在约束条件 （分数：2.00）_29.设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_30.设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 =A0，试讨论级数 （分数：2.00）_31.将函数 f（x）= （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 136 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）= （分数：2.00）A.0B.1 C.D.解析：解
8、析：由题设3.设 f（x）在 R 上连续，且 f（x）0，（x）在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是（ ） f（x）必有间断点。 （x） 2 必有间断点。 f（x）没有间断点。（分数：2.00）A.0 B.1C.2D.3解析：解析：错误。举例：设 （x）= f（x）=e x ，则 f（x）=1 在 R 上处处连续。 错误。举例：设 （x）= 则（x） 2 =9 在 R 上处处连续。 错误。举例：设 （x）= 4.设 f（x）在a，b可导，f（a）= （分数：2.00）A.f + （a）=0B.f + （a）0C.f + （a）0D.f + （a）0 解析：解析：由 f（x）在
9、a，b上可导可知，f + （a）= 显然，xa0，又 f（a）= f（x），故 f（x）f（a）0，从而有 0，再由极限的局部保号性可知， 5.设 f（x）在（1，1+）内存在导数，f（x）严格单调减少，且 f（1）=f（1）=1，则（ ）（分数：2.00）A.在（1，1）和（1，1+）内均有 f（x）x B.在（1，1）和（1，1+）内均有 f（x）xC.在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）xD.在（1，1）有 f（x）x，在（1，1+）内均有 f（x）x解析：解析：f（x）在（1，1+）上严格单调减少，则 f（x）在（1，1+）是凸的，因此在此区间上，y= f（x）在
10、点（1，1）处的切线为 yl=f（1）（x1），即 y=x 在此曲线的上方（除切点外）。因此 f（x）x（x（1，1+），x1）。6.已知 f（x）在 x=0 的某个邻域内连续，且 f（0）=0， （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f（0）0C.取得极大值D.取得极小值 解析：解析：因当 x0 时，1 cosx x 2 ，故极限条件等价于 7.设一元函数 f（x）有下列四条性质。f（x）在a，b连续；f（x）在a，b可积；f（x）在a，b存在原函数；f（x）在a，b可导。若用“P Q”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有（ ）（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：这是讨论函数
11、f（x）在区间a，b上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由 f（x）在a，b上可导 f（x）在a，b连续8.设 f（x，y）= （分数：2.00）A.两个偏导数都不存在B.两个偏导数存在但不可微 C.偏导数连续D.可微但偏导数不连续解析：解析：由偏导数定义，有 由对称性知 f y （0，0）=0，而 上式极限不存在。 事实上， 9.设 f（x，y）与 （x，y）均为可微函数，且 y （x，y）0。已知（x 0 ，y 0 ）是 f（x，y）在约束条件 （x，y）=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 f x （x 0 ，y 0 ）=0，则 f y
12、（x 0 ，y 0 ）=0B.若 f x （x 0 ，y 0 ）=0，则 f y （x 0 ，y 0 ）0C.若 f x （x 0 ，y 0 ）0，则 f y （x 0 ，y 0 ）=0D.若 f x （x 0 ，y 0 ）0，则 f y （x 0 ，y 0 ）0 解析：解析：令 F= f（x，y）+（x，y）， 10.累次积分 d 0 cos f（rcos，rsin）rdr 可以写成（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由累次积分 f（rcos，rsin） rdr 可知，积分区域 D 为 D=（r，）|0rcos，0 。 由 r= cos 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的
13、圆可作出 D 的图形如图 146 所示。该圆的直角坐标方程为（x ） 2 +y 2 = 。 故用直角坐标表示区域 D 为 D=（x，y）|0y ，0x1， 11.设常数 0，且级数 a n 2 收敛，则级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 有关解析：解析：取 a n = ，显然满足题设条件。而此时 于是由比较判别法知，级数 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.x表示不超过 x 的最大整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：13.已知 y=lnlnlnx，则 y = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （
14、正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 f（x）在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，arcslnx x 。由极限的运算法则可得 从而 f（x）=1。又因为 f（x）在 x=0 处连续，所以 f（0）= f（x）=1。 根据导数的定义可得 所以曲线 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：17.设函数 f（u，）由关系式 f（xg（y），y=x+g（y）确
15、定，其中函数 g（y）可微，且 g（y）0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 u=xg（y），=y，则18.D 是圆周 x 2 +y 2 = Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为 19.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1，1）解析：解析：因为 =1，则收敛半径 R=1。 当 x=一 1 时，原级数为 收敛；当 x=1 时，原级数为20.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
16、确答案：y=Cxe x （x0），C 为任意常数）解析：解析：原方程等价为 21.微分方程（y+x 2 e x ）dxxdy=0 的通解为 y= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x（一 e x +C），C 为任意常数）解析：解析：微分方程 （y+x 2 e x ）dx 一 xdy=0， 可变形为 = e x ， 所以其通解为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.求常数 a 与 b 的值，使 f（x）在（一，+）上处处连续。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当|x|1
17、 时， )解析：24.设函数 f（x）在（一，+）上有定义，在区间0，2上，f（x）=x（x 2 4），若对任意的 x 都满足 f（x）=kf（x+2），其中 k 为常数。 （）写出 f（x）在2，0）上的表达式； （）问 k 为何值时，f（x）在 x=0 处可导。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）当2x0，即 0x+22 时，则 f（x）=kf（x+2）=k（x+2）（x+2） 2 4=kx（x+2）（x+4）， 所以 f（x）在2，0）上的表达式为 f（x）=kx（x+2）（x+4）。 （）由题设知 f（0）=0。 令 f （0）=f + （0），得 k= ，即当 k= )解析
18、：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 所以 f（0）=0（因为 f“（x）存在，则 f（x）一定连续）。且f（x）在 x=0 处展成一阶麦克劳林公式 f（x）= f（0）+f（0）x+ )解析：26.计算 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据复合函数的求导公式，有 )解析：28.求|z|在约束条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|z|的最值点与 z 2 的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作 F（x，y，z，）= z 2 +（x
19、2 + 9y 2 2z 2 ）+（x+3y +3z 5）。 令 所以当 x=1，y= 时，|z|=1 最小；当 z=5，y= )解析：29.设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 f（x，y）d= f（x，y）d，其中 D 1 为 D 在第一象限内的部分。 )解析：30.设 f（x）在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 =A0，试讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =A，且在 x=0 处 f（x）连续，有 由于 f（x）在 x=0 的某邻域内存在连续的导数，所以当 x0 且 x 足够小时，f（x）0，由拉格朗日中值定理，有 )解析：31.将函数 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
