1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 247 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 n时(1+ （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小3.设 f(x)=3x 2 +x 2 2|x|，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.下列函数中在2，3不存在原函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列各项中正确的是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题
2、数：5，分数：10.00)6.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8.下列微分方程中(填序号) 1 是线性微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_9.过曲面 ze z +2xy=3 上点 M 0 (1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 D：0x1，0y1，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_12.求 0 1 ( （
3、分数：2.00）_13.设常数 ab，曲线 ：y= (x，)的弧长为 l （分数：2.00）_14.已知一条抛物线通过 x 轴上两点 A(1，0)，B(3，0)，方程为 y=a(x1)(x3)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x 轴与该抛物线所围成的面积（分数：2.00）_15.设 f(x)= （分数：2.00）_16.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(，+)上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx1) 2 f(x)，证明： x 0 (2，52)使得F“(x 0 )=0（分数：2.00）_求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分
4、数：2.00）_(3). （分数：2.00）_17.求 f(x)=3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（分数：2.00）_求下列微分方程的通解或特解：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_18.求解初值问题 （分数：2.00）_19.求以曲线 ： （分数：2.00）_20.设 u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)=0，其中 F 有连续的偏导数且（分数：2.00）_21.求曲线积分 I= C xydx+yzdy+xzdz，C 为椭圆周：x 2 +y 2 =1，x+y+z=1，逆时针方向.（分数：2.00）_求下列
5、平面上曲线积分（分数：4.00）(1).I= L y 2 2xysin(x 2 )dx+cos(x 2 )dy，其中 L 为椭圆 （分数：2.00）_(2).I= ，其中 A(0，1)，B(1，0)， （分数：2.00）_22.将函数 f(x)= （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 247 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 n时(1+ （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析：解
6、析：该题就是要计算极限3.设 f(x)=3x 2 +x 2 2|x|，则使 f (n) (0)存在的最高阶数 n=（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：实质上就是讨论 g(x)=x 2 |x|= 时，g (n) (0)的最高阶数 n 4.下列函数中在2，3不存在原函数的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：先考察 f(x)的连续性关于(A)： =12=f(0)， f(x)在2，3连续，存在原函数 (B)中 f(x)如图 31 所示，显然处处连续，在2，3存在原函数 显然，(D)中 g(x)在2，3可积，f(x)= 0 x g(t)dt 在2，3连续 5.下列各项
7、中正确的是 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：(A)正确 |2u n v n |u n 2 +v n 2 2u n v n 收敛 (u n +v n ) 2 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：利用洛必达法则可得 又当 a0 时7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1n(x n ln|1+x n |)+C）解析：解析：原式=1n 8.下列微分方程中(填序号) 1 是线性微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
8、、）解析：解析：这四个方程中只有、对未知函数 y 及其各阶导数作为总体是一次的，因而是线性的9.过曲面 ze z +2xy=3 上点 M 0 (1，2，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y4=0）解析：解析：曲面方程 F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=ze z +2xy3， gradF= =2y，2x，1e z ，gradF 10.设 D：0x1，0y1，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：D 关于直线 y=x 对称三、解答题(总题数：16，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明
9、、证明过程或演算步骤。_解析：求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知： 只需再求 a 1 =a 2 的情形： )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意 sintt，ln(1+t)t(t0)，于是 因此，先用求极限的四则运算法则，再利用等价无穷小因子替换可得 )解析：12.求 0 1 ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设常数 ab，曲线 ：y= (x，)的弧长为 l （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)：y 2 =(xa)(bx)=x 2 +(a+b)xab，两边对 x 求导得 2yy
10、=2x+a+b， (II)曲线 ：y= 为圆心，半径为(ba)2 的半圆周由题(I)：=a，=(a+b)2，则对应的 长 )解析：14.已知一条抛物线通过 x 轴上两点 A(1，0)，B(3，0)，方程为 y=a(x1)(x3)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x 轴与该抛物线所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)抛物线方程 y=a(x1)(x3)(a0 或 a0 为常数)，如图 310 所示 2)求两坐标轴与抛物线所围面积 S 1 ，即 S 1 = 0 1 |a(x1)(x3)|dx=|a| 0 1 (1x)(3x)dx =12|a| 0 1 (3x)d(1x)
11、 2 =12|a|(3) |a| 0 1 (1x) 2 dx =12|a|(3 )解析：15.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对于 f(x)：当 x0 时，f(x)=e x 0，从而 f(x)在(0，+)内无极值 当 x0 时 f(x)=(x+1)e x ，令 f(x)=0，得 x=1当 x1 时 f(x)0，当1x0 时 f(x)0，故 f(1)=e 1 为极小值 再看间断点 x=0 处，当 x0 时 f(x)=xe x 0=f(0)；当 x0 且 x充分小时，f(x)=e x 20，故 f(0)=0 为极大值 ()对于 g(x)：当 x0 时 g(x)=e x
12、 0，从而g(x)在(0，+)内无极值 当 x0 时与 f(x)同，g(1)=e 1 为极小值 在间断点 x=0 处 g(0)=1当 x0 时 g(x)1；当 x0 且|x|充分小时 g(x)为负值且|g(x)|1，从而有 g(x)1故g(0)非极值)解析：16.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(，+)上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx1) 2 f(x)，证明： x 0 (2，52)使得F“(x 0 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 F(0)=F(2)=0，于是由罗尔定理知， x 1 (0，2)，使得 F(x 1 )=0又 F(x)=2(sinx
13、1)cosxf(x)+(sinx1) 2 f(x)， 对 F(x)应用罗尔定理，由于 F(x)二阶可导，则存在 x 0 * (x 1 ，2) )解析：求下列极限：（分数：6.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用洛必达法则 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数 因此当 x0 时 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(0)x 2 + f“(0)x 3 +o(x 3 )， arctanx=x x 3 +o(x 3 )， arctanxsinx= x 3 +o(x 3 )， =x 2 x 3 +o
14、(x 3 )， ln(1+x) 2 +1=x 3 +o(x 3 ) )解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求 f(x)=3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f (m) (x)=3 x (ln3) m ，f (m) (0)=(ln3) m ，则 )解析：求下列微分方程的通解或特解：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相应齐次方程的特征方程 2 4=0，特征根 =2零不是特征根，方程有特解 y * =ax 2 +bx+c，代入方程得 2a4(ax 2 +bx+c)=4x 2
15、4a=4，b=0，2a4c=0 a=1，c=12 y * =x 2 通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e 2x x 2 由初值 y(0)=C 1 +C 2 =12，y(0) =2C 1 2C 2 =2， C 1 =12，C 2 =12 因此得特解 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相应齐次方程的特征方程 2 +3+2=0，特征根 1 =1， 2 =2由于非齐次项是 e x cosx，1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y * =e x (acosx+bsinx) 代入原方程比较等式两端 e x cosx 与 e x sinx 的系数，可确定出 a=12，b
16、=12，所以非齐次方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x + )解析：18.求解初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是可降阶类型的(方程不显含 x)令 p=dydx，并以 y 为自变量变换原方程最后得 y= )解析：19.求以曲线 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 的参数方程为 过 上 点(t 2 2p，t，0)，以l，m，n为方向向量的直线方程为 由得 =zn，代入得 t=y z，最后代入得该柱面方程 )解析：20.设 u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)=0，其中 F 有连续的偏导数且（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：将方程 F(u，v)=0 分别对 x，y 求偏导数，由复合函数求导法得 按题设，这个齐次方程有非零解 其系数行列式必为零，即 )解析：21.求曲线积分 I= C xydx+yzdy+xzdz，C 为椭圆周：x 2 +y 2 =1，x+y+z=1，逆时针方向.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：C 的参数方程为 )解析：求下列平面上曲线积分（分数：4.00）(1).I= L y 2 2xysin(x 2 )dx+cos(x 2 )dy，其中 L 为椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= L y 2 dx+ L ydcos(x 2 )+cos(x 2 )dy (2t2)，如图 101，则 )解析：(2).I= ，其中 A(0，1)，B(1，0)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在单连通区域：xy0 上积分 Pdx+Qdy 与路径无关取 ：xy=1(0x1) I= AB Pdx+Qdy )解析：22.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)视为 即可因为 利用公式，并以(x1)3 代替其中的 x，则有 由于 f(x)的幂级数 )解析：
