1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 218 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，(xsinx)ln(1+x)是比 e xn 一 1 高阶的无穷小，而 e xn 一 1 是比 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.若当 x 时， 一 3arccosxa(x 一 （分数：2.00）填空项 1:_5.设 f(x)= （分数：2.00）填空
2、项 1:_6.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7.z= f(xy)+yg(x 2 +y 2 )，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_8. 0 1 x2 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)是以 4 为周期的函数，当 x一 2，2)时，f(x)= 且其傅里叶级数 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.求 （分数：2.00）_13.设 （分
3、数：2.00）_14.设 y=x 2 lnx，求 y (n) (n3)（分数：2.00）_15.设 y= （分数：2.00）_16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 f ()= （分数：2.00）_17.计算 （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 0 1 x 4 （分数：2.00）_设 L：y=sinx(0x )由 x=0，L 及 y=sint 围成的区域面积为 S 1 (t)；由 L、y=sint 及 x= 围成的区域面积为 S 2 (t)，其中 0t （分数：4.00）(1).求 S(t
4、)=S 1 (t)+S 2 (t)（分数：2.00）_(2).t 取何值时，S(t)取最小值?t 取何值时，S(t)取最大值?（分数：2.00）_21.求摆线 （分数：2.00）_22.设点 A(1，一 1，1)，B(一 3，2，一 1)，C(5，3，一 2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程（分数：2.00）_23.设 z=fx+(xy)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 处连续，求极限 f(x 2 +y 2 +z 2 )d，其中 ： （分数：2.00）_25.计算曲线积分 （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数
5、：2.00）_27.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 218 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，(xsinx)ln(1+x)是比 e xn 一 1 高阶的无穷小，而 e xn 一 1 是比 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：当 x0 时，e xn 一 1x n ，因为 sinx=x 一 +(x 3 )，所以(xsinx)ln(1+x) ， 3.下列命题正确的是(
6、 ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.若当 x 时， 一 3arccosxa(x 一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a= ）解析：解析：5.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2，b=2，c=2；）解析：解析：f(0+0)= f(x)=a，f(0)=2，f(00)=c，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(00)，从而 a=2，c=2，即 f(x)= 6.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e
7、1 1）解析：解析：7.z= f(xy)+yg(x 2 +y 2 )，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： f (xy)+2xyg (x 2 +y 2 )， 8. 0 1 x2 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 f(x)是以 4 为周期的函数，当 x一 2，2)时，f(x)= 且其傅里叶级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 S(x)以 4 为周期，所以 S(9)=S(8+1)=S(1)，又 S(1)=10.微分方程 y 2 dx+(
8、x 2 一 xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：令 ，代入原方程得 ，两边积分得 一 ln一 lnxlnC=0，解得 y=三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(12x3x 2 )=(2x3x 2 ) (x 2 )=2xx 2 o(x 2 ) 得 )解析：14.设 y=x 2 lnx，求 y (n) (n3)（分数：2.00）_正确答案：(正
9、确答案：y (n) =C n 0 x 2 (lnx) (n) +C n 1 2x(lnx) (n1) +C n 2 2(lnx) n2 )解析：15.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：sinx=x 一 +(x 5 )=x 一 (x 5 )， ln(1+x 2 )=x 2 一 +(x 6 )， =1 一 x 2 +x 4 +(x 4 )， y=x 一 +(x 5 )， 由 )解析：16.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 f ()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=x 2 ，F (x)=2x0(axb)，
10、由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 ，再由拉格朗日中值定理，存在 (a，b)，使得 =f ()，故 f ()= )解析：17.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ， 由 A(1+x 2 )+(2x+1)(Bx+C)=3+3x 一 x 2 得 解得 A=1，B=一1，C=2， )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 0 1 x 4 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 L：y=sinx(0x )由 x=0，L 及 y=sint 围成的区域面积为 S 1 (t
11、)；由 L、y=sint 及 x= 围成的区域面积为 S 2 (t)，其中 0t （分数：4.00）(1).求 S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 1 (t)= 0 t (sintsinx)dx=tsint+cost 一 1，S 2 (t)= 0 (sinxsint)dx=cosx 一( )解析：(2).t 取何值时，S(t)取最小值?t 取何值时，S(t)取最大值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 S (t)=2(t 一 )cost=0 得 t= 当 时，S (t)0， 故当 t= 时，S(t)取最小值，且最小值为 ； 因为 S(
12、0)=1 )解析：21.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ds= dt，则 s= 0 2 ds=4 0 2 )解析：22.设点 A(1，一 1，1)，B(一 3，2，一 1)，C(5，3，一 2)，判断三点是否共线，若不共线求过三点的平面的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 不平行，所以三点不共线 过三点的平面的法向量为 n= )解析：23.设 z=fx+(xy)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=fx+(xy)，y两边关于 y 求偏导得 =一 f 1 +f 2 ， )解析：24.设 f(x)在 x=0 处连
13、续，求极限 f(x 2 +y 2 +z 2 )d，其中 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算曲线积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 所围成的区域为 D，令 P(x，y)= (1)当 O(0，0)在 L 所围成区域的外部时，由格林公式 =0 (2)当 O(0，0)在 L 所围成的区域内部时，作 C r ：x 2 +4y 2 =r 2 (其中 r0，C r 在 L 内部，方向为逆时针方向)，再令由 L 和 C r 所围成的区域为 D r ，由格林公式 从而有 令 则有 )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得收敛半径为 R=4，当 x=4 时，因为 n时， () n1 所以幂级数的收敛域为(一 4，4) )解析：27.用变量代换 x=lnt 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
