1、考研数学一（高等数学）-试卷 9 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是( )（分数：2.00）A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。C.f 2 (x)。D.f(x)。3.函数 f(x)=(x 2 +x-2)sin2x在区间 （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.0。4.设 f(x)在(1-，1+)内存在导数，f“(x)严格单调
2、减少，且 f(1)=f“(1)=1，则( )（分数：2.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x。B.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x。C.在(1-，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x。D.在(1-，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x。5.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在-1，1上存在原函数。B.令 F(x)=C.g(x)在-1，1上存在原函数。D.g“(0)存在。6.已知曲面 z=4-x 2 -y 2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则点 P 的坐标是( )（分数：2.00）A.(1，-
3、1，2)。B.(-1，1，2)。C.(1，1，2)。D.(-1，-1，2)。7.累次积分 可写成( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.若级数 发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)9.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 f“(e x )=xe -x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 z= f(xy)+y(x+y)，f、 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项
4、 1:_14.积分 （分数：2.00）填空项 1:_15.设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.级数 （分数：2.00）填空项 1:_17.微分方程 y“= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.求由曲线 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形(如图 1-3-3 的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)。 （分
5、数：2.00）_22.求经过直线 （分数：2.00）_23.设函数 u=f(x,，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式在变换=x+ay，=x+by 下简化为 （分数：2.00）_24.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 （分数：2.00）_25.计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中为曲面 z=1-x 2 - （分数：2.00）_26.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 (n=1，2，)所围成的区域的面积，记 S 1 = （分数：2.00）_27.求微分方程 y“-a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y(0)=
6、0，y“(0)=-1 的特解。（分数：2.00）_28.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 9 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2
7、.00）_解析：2.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是( )（分数：2.00）A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。 C.f 2 (x)。D.f(x)。解析：解析：若 f(x)+sinx 在点 x 0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx-sinx 在点 x 0 处连续，与已知矛盾。因此 f(x)+sinx 在点 x 0 处必间断。故选 B。3.函数 f(x)=(x 2 +x-2)sin2x在区间 （分数：2.00）A.3。B.2。 C.1。D.0。解析：解析：设 g(x)=x 2 +x-2，(x)=si
8、n2x，显然 g(x)处处可导，(x)处处连续，有不可导点。只须考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零。 (x)=sin2x的图形如图 1-2-3 所示，在 内只有不可导点 x=0， ，1，其余均可导。 因为 g(0)=-20， 0，g(1)=0，所以 f(x)=g(x)(x)在 x=0， 4.设 f(x)在(1-，1+)内存在导数，f“(x)严格单调减少，且 f(1)=f“(1)=1，则( )（分数：2.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x。 B.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x。C.在(1-，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x。D.在(
9、1-，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x。解析：解析：f“(x)在(1-，1+)严格单调减少，则 f(x)在(1-，1+)是凸的，因此在此区间上，y=f(x)在点(1，1)处的切线 y-1=f“(1)(x-1)，即 y=x 在此曲线的上方(除切点外)。因此 f(x)x(x(1-，1+)，x1)。5.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在-1，1上存在原函数。B.令 F(x)=C.g(x)在-1，1上存在原函数。 D.g“(0)存在。解析：解析：由 =0=g(0)可知，g(x)在 x=0 处连续，所以 g(x)在-1，1上存在原函数。故选 C。 以下说明 A、B、D
10、均不正确： 由 可知，x=0 是 f(x)的跳跃间断点，所以在包含 x=0 的区间上 f(x)不存在原函数。 由 F“ - (0)= =1，可知 F“(0)不存在。 由 6.已知曲面 z=4-x 2 -y 2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z-1=0，则点 P 的坐标是( )（分数：2.00）A.(1，-1，2)。B.(-1，1，2)。C.(1，1，2)。 D.(-1，-1，2)。解析：解析：曲面 z=4-x 2 -y 2 在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的法线向量为(2x 0 ，2y 0 ，1)。由题设知， 7.累次积分 可写成( ) （分数：2.00）A.B.C. D.
11、解析：解析：原积分域为直线 y=x，x+y=2，与 y 轴围成的三角形区域，故选 C。8.若级数 发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由二、填空题(总题数：9，分数：18.00)9.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 f(x)在(-，0)及(0，+)内连续，所以需要确定数 a，使 f(x)在 x=0 处连续。10.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2g“(0)）解析：解析：由 g(x)在 x=0 处可导可知，g(x)在 x=0 处连续。又因为 g(x)是奇函数，所以 g(0)
12、=0。 根据导数的定义可得11.已知 f“(e x )=xe -x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 e x =t，则 x=lnt，于是有 f“(t)= 积分得 由 f(1)=0 得 C=0，故 f(x)= 12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 z= f(xy)+y(x+y)，f、 具有二阶连续导数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf“(xy)+(x+y)+y(x+y)）解析：解析：14.积分 （分数：2.00）填空项 1:
13、_ （正确答案：正确答案：1-sin1）解析：解析：15.设=(x，y，z)x+y+z=1，x0，y0，z0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由曲面积分的计算公式可知 其中 D=(x，y)x0，y0，x+y1， 故16.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：易知 ln(1+x)=17.微分方程 y“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=Cxe -x (x0)）解析：解析：原方程等价为 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数
14、：2.00）_解析：19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)= 可得，x=0，1。 列表讨论如下： f(x)的单调增加区间为(-1，0)及(1，+)，单调减少区间为(-，-1)及(0，1)；极小值 f(1)=f(-1)=0，极大值为 f(0)= )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求由曲线 与直线 y=a(0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形(如图 1-3-3 的阴影部分)绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把由曲线 与直线 y=a(0a1)以及 x
15、=0，x=1 围成的平面图形记为 D，则D 可分为两个区域 D 1 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 D 2 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 故所求旋转体的体积 )解析：22.求经过直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 L 的方程改为交面式 则经过 L 的平面可用平面束方程表示为 (x+1)+(3y+2z+2)=0， 即 x+3y+2z+2=0。 由点到平面的距离公式有 )解析：23.设函数 u=f(x,，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式在变换=x+ay，=x+by 下简化为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 将以上各式代入原
16、等式，得 由题意，令 且 2ab+(a+b)-240， 故 )解析：24.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：交换积分次序可得 因此，可得 )解析：25.计算曲面积分 I= xzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中为曲面 z=1-x 2 - （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：补充曲面 1 ：x 2 + =1，z=0，取下侧。则 其中 为与 1 所围成的空间区域，D 为平面区域 x 2 + 1。 由于区域 D 关于 x 轴对称，因此 3xydxdy=0。又 )解析：26.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 (n=1，
17、2，)所围成的区域的面积，记 S 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=x n 与 y=x n+1 在点 x=0 和 x=1 处相交，所以 )解析：27.求微分方程 y“-a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=-1 的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，则 y“= ，分别代入原方程，得 ，分离变量并积分得 =ax+C 1 。 由 y(0)=0，y“(0)=p(0)=-1，得 C 1 =1，即 y“= 故 由 y(0)=0 得 C 2 =0，所以 )解析：28.设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y“(x)0，y(0
18、)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 -S 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=y“(x)上的点 P(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x)， 它与 x 轴的交点为 由于 y“(x)0，y(0)=1，因此 y(x)1(x0)。于是 又因 根据题设 2S 1 -S 2 =1，有 并且 y“(0)=1，两边对 x 求导并化简得 yy“=(y“) 2 ，这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y“，则上述方程可化 分离变量得 从而有 )解析：
