1、考研数学一（线性代数）-试卷 50 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 1 AP 1 ，P 2 1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B3.n 阶实对称矩阵
2、A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T Ax 与 X T A 1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同6
3、.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同9.设 A= （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似10.设 A，B
4、 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1，以下命题：(1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 1 = （分数：2.00）填空项 1:_13.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设
5、5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_17.设 A= （分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_19.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_20.设 A 为三阶矩阵，
6、A i =i i (i=1，2，3)， 1 = （分数：2.00）_21.设 = （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设 AB，A= （分数：2.00）_24.设 A= （分数：2.00）_25.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_26.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_27.设二次型 f(x 1 ，x 2
7、，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= （分数：2.00）_28.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 4x 3 2 ，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_29.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2 (1)求a； (2)用正交变换法化二次型
8、为标准形（分数：2.00）_30.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型 X T AX 的标准形； (2)|E+A+A 2 +A n |的值（分数：2.00）_31.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_32.设 C= （分数：2.00）_33.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2Tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_34.设 A 是 N 阶正定矩阵，证明：|E+A|1（分数：2.
9、00）_考研数学一（线性代数）-试卷 50 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 1 AP 1 ，P 2 1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解
10、析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选(D)3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值 B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵解析：解析：A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是
11、唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析：(A)不对，如 f=x 1 x 2 ，令 5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T Ax 与 X T A 1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析：因为 A 与 A 1 合同，所以 X T AX 与 X T A 1 X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形
12、，选(B)6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析：7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B) 解析：解析：因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析：因为
13、 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与9.设 A= （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析：由|E 一 A|=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由|E 一 B|=0 得 B 的特征值为 1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选(C)10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1，以下命题：(1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D
14、.4 个解析：解析：因为 A，B 的特征值为一 2，1，1，所以|A|=|B|=一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 一 4x 1 x 2 +4x 2 x 3 ，所以 A= 12.设 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
15、）解析：解析：13.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该二次型的矩阵为 A=14.设 5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t2）解析：解析：二次型的矩阵为 A=三、解答题(总题数：20，分数：40.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析
16、：16.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然 A 2 X= 2 X，因为 ， 正交，所以 A 2 = T T =O，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 = 2 = n =0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0EA)=r(A)1，所以 n 一r(OEA)n 一 1n，所以 A 不可相似对角化)解析：17.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由|E 一 A|=( 一 1) 2 (+2)=0 得 1 =
17、 2 =1， 3 =一 2 当 =1时，由(E 一 A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 1 = 当 =一 2 时，由(一 2EA)X=0得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 1 = 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化 (2) )解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|E 一 A|= =(+1)( 一 1) 2 得 1 =一 1， 2 = 3 =1， 因为 A有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)=1， 由 E 一 A= )解析：19.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明
18、：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 AX=X(X0)，则有 A k X= k X，因为 A k =O，所以 k X=0，注意到X0，故 k =0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0(n 重) 因为 r(OEA)=r(A)1，所以方程组(OEA)X=0 的基础解系至多含 n 一 1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化)解析：20.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= 0 ，即 ，解得 0 =4，x=10，y=9
19、，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 = )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 AB，A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 = 2 =2，因为 A 相似于对角阵，所以 r(2EA)=1，而 2EA= ，于是 a=5，再由 tr(A)=tr(B)得 b=6 (2)由(2EA)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 1 = 由(6EA)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 P= )解析：24.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A
20、B，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是 a=0 (2)由|EA= =(+1)( 一 1)( 一 2)=0 得 A，B 的特征值为 1 =一 1， 2 =1， 3 =2 当=一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0，一 1，1) T ； 当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得 2 =(0，1，1) T ； 当 =一 1 时，由(一 EB)X=0 即(E+B)X=0 得 1 =(0，1，2) T ； 当 =1 时，由(E一 g)X=0 得 1 =(1，0，0) T ； )解析：25.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x
21、2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 AB+B=O 得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3，
22、 因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重， 显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =5 由(E+A)B=O 得 B 的列组为(E+A)X=O 的解， )解析：28.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 4x 3 2 ，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设二次型 f(x
23、1 ，x 2 ，x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2 (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型 X T AX 的标准形； (2)|E+A+A 2 +A n |的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 2 =A，所以|A|E 一 A|=0，即 A 的特征值为 0 或者 1，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得
24、 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n 一 r 重)，则二次型 X T AX 的标准形为 y 1 2 +y 2 2 +y r 2 (2)令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n一 r 重)，故 |E+A+A 2 +A n |=|B|=(n+1) r )解析：31.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f(X)=(x 1 ，x 2 ，x n ) 因为 r(A)=n，所以|A|0，于是 )解析：32.设 C= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2Tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A= )解析：34.设 A 是 N 阶正定矩阵，证明：|E+A|1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 1 0， 2 0， n 0，因此A+E 的特征值为 1 +11， 2 +11， n +11，故|A+E|=( 1 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析：
