1、考研数学一（矩阵及其运算）-试卷 2 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.如 A 是 n 阶矩阵，则(AE)(A+E)=(A+E)(AE)B.如 A，B 均是 n1 矩阵，则 A T B=B T AC.如 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=0，则(A+B) 2 =A 2 +B 2 D.如 A 是 n 阶矩阵，则 A m A k =A k A m 3.已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3 列
2、交换得 B，再把 B 的第 1 列的一 2 倍加至第 3 列得 C，则满足 PA 1 =C 1 的矩阵 P 为 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 P T AP= 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ= （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A * 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) * =（分数：2.00）A.kA * B.k n1 A * C.k n A * D.k 1 A * 6.设 A，B 是 n 阶矩阵，则
3、C= 的伴随矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A，B，C 是 n 阶矩阵，且 ABC=E，则必有（分数：2.00）A.CBA=EB.BCA=EC.BAC=ED.ACB=E8.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 BC=（分数：2.00）A.EB.一 EC.AD.一 A二、填空题(总题数：13，分数：26.00)9.设 A，B 均是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 =(1
4、，2，3) T ，=(1， （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 PA=BP，其中 P= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 n 阶行列式A= （分数：2.00）填空项 1:_21.()已知 A= ，则(A *
5、) 1 = 1 ()已知 A= ，则 A 1 = 2 ()设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=A 一 2B，B= ，则(A+2E) 1 = 3 ()设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.已知 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，证明 AB 2 是对称矩阵（分数：2.00）_25.证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵（分数：2.00）_26.某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30
6、的人参加培训，而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?（分数：2.00）_27.已知 A= （分数：2.00）_28.已知 A，B 及 A，C 都可交换，证明 A，B，C 是同阶矩阵，且 A 与 BC 可交换（分数：2.00）_29.求与 A= （分数：2.00）_30.已知 A= （分数：2.00）_31.已知矩阵 A= （分数：2.00）_32.设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A * ) * =A n2 A（分数：2.00）_33.设 A 是 n 阶正交矩阵，证明 A
7、* 也是正交矩阵（分数：2.00）_34.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且 a ij =A ij ( （分数：2.00）_35.求 A= （分数：2.00）_36.已知 A 是 n 阶对称矩阵，且 A 可逆，如(AB) 2 =E，化简 (E+A 1 B T ) T (E 一 BA 1 ) 1 （分数：2.00）_37.设 A 是 n 阶矩阵，若 A 2 =A，证明 A+E 可逆（分数：2.00）_考研数学一（矩阵及其运算）-试卷 2 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
8、2.00）_解析：2.下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.如 A 是 n 阶矩阵，则(AE)(A+E)=(A+E)(AE)B.如 A，B 均是 n1 矩阵，则 A T B=B T AC.如 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=0，则(A+B) 2 =A 2 +B 2 D.如 A 是 n 阶矩阵，则 A m A k =A k A m 解析：解析：(A)中，由乘法有分配律，两个乘积均是 A 2 一 E，而(D)是因乘法有结合律，两乘积都是 A m+k ，故(A)，(D)都正确 关于(B)，由于 A T B，B T A 都是 11 矩阵，而 1 阶矩阵的转置仍是其自身，故 A T B=(A T
9、 B) T =B T A 亦正确 唯(C)中，从 AB=0 还不能保证必有 BA=0，例如 A= ，则 AB= 3.已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3 列交换得 B，再把 B 的第 1 列的一 2 倍加至第 3 列得 C，则满足 PA 1 =C 1 的矩阵 P 为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对矩阵 A 作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘 A，故4.设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 P T AP= 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ= （分数：2.00）A.
10、B.C.D.解析：解析：对矩阵 P 作一次初等列变换：把第 2 列加至第 1 列，便可得到矩阵 Q 若记 E 12 (1)= ，则 Q=PE 12 (1)那么 Q T AQ=PE 12 (1) T APE 12 (1)= (1)(P T AP)E 12 (1) 5.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A * 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) * =（分数：2.00）A.kA * B.k n1 A * C.k n A * D.k 1 A * 解析：解析：由于 kA=(ka ij )，故行列式kA的代数余子式按定义为 6.设 A，B 是 n 阶矩阵，则 C= 的伴随矩阵是
11、（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 CC * =CE=ABE，因此 应选(D) 另外，作为选择题不妨附加条件A，b 可逆，那么 7.设 A，B，C 是 n 阶矩阵，且 ABC=E，则必有（分数：2.00）A.CBA=EB.BCA=E C.BAC=ED.ACB=E解析：解析：由 ABC=E 知 A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立8.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 BC=（分数：2.00）A.E B.一 EC.AD.一 A解析：解析：由 B=E+
12、AB (E 一 A)B=E B=(EA) 1 ； C=A+CA C(EA)=A 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)9.设 A，B 均是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：AB=BA）解析：解析：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例如 而 AB 对称 10.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，则 而 T =(a 1 ，a 2 ，a 3
13、) 11.设 =(1，2，3) T ，=(1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A= T = =2所以 A 3 =( T )( T )( T )=( T )( T ) T =4 T =4A= 12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A=E+J，其中 J= ，而 进而知 J 4 =J 5 =0 于是 13.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对 A 分块为 则 B=3E+J，由于 J 3 =J 4 =0，于是 B n =(3E+J) n =3 n
14、E+ 3 n2 J 2 而 C= (3，1)，C 2 =6C，C n =6 n1 C， 所以 14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 A 2013 一 2A 2012 =(A 一 2E)A 2012 ，而 A 一 2E= 15.已知 PA=BP，其中 P= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E）解析：解析：因为矩阵 P 可逆，由 PA=BP 得 A=P 1 BP那么 A 2 =(P 1 BP)(P 1 BP)=P 1 B(PP 1 )BP=P 1 B 2 P 归纳地 A 2012 =P 1 B 2012 P 因为 16
15、.已知 2CA 一 2AB=CB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA 一 2AB=CB 得 2CA 一 C=2ABB故有 C(2AE)=(2AE)B 因为 2AE= 可逆，所以 C=(2AE)B(2AE) 1 那么 C 3 =(2AE)B 3 (2AE) 1 17.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先求 A 的特征值与特征向量由 对 =0，由(0EA)x=0，解出 1 = ；对=6，由(6EA)x=0，解出 2 = 令 P= 而 A=PAP 1 ，于是 18.= 1 （分数：2.00）
16、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E 12 = 是初等矩阵，左乘 A= 所得 E 12 A 是 A 作初等行变换(1，2 两行对换)，而 E 12 2011 A 表示 A 作了奇数次的 1，2 两行对换，相当于矩阵 A 作了一次 1，2 两行对换，故 而右乘 E 13 是作 1，3 两列对换，由于是偶数次对换，因而结果不变，即 19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 A 1 .(A 1 ) * =A 1 E，有(A 1 ) * =A 1 A= A 本题A=6，所以(A 1 ) * = 20.已知 n 阶行列式A= （分数
17、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦我们知道，代数余子式与伴随矩阵 A * 有密切的联系，而 A * 与 A 1 又密不可分对于 A 用分块技巧，很容易求出 A 1 由于 又因 A * =AA 1 ，那么 可见 A k1 +A k2 +A kn = 21.()已知 A= ，则(A * ) 1 = 1 ()已知 A= ，则 A 1 = 2 ()设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=A 一 2B，B= ，则(A+2E) 1 = 3 ()设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：
18、解析：()由 AA * =AE，有 ()A= ()由 AB=A 一 2B 有 AB+2B=A+2E 一 2E，得知 (A+2E)(EB)=2E，即(A+2E) (E 一 B) ()由于 B+E=(E+A) 1 (E 一 A)+E=(E+A) 1 (EA)+(E+A) 1 (E+A) =(E+A) 1 (EA)+(E+A)=2(E+A) 1 ， 故 (B+E) 1 = 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.已知 A 是 n 阶对称矩阵，B
19、是 n 阶反对称矩阵，证明 AB 2 是对称矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB 2 =A 一 BB=A+B T B，则有 (A 一 B 2 ) T =(A+B T B) T =A T +(B T B) T =A+B T B=A 一 B 2 所以 A 一 B 2 是对称矩阵)解析：25.证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(a ij )，B=(b ij )都是 n 阶上三角矩阵对 AB=C=(c ij )，按矩阵乘法定义，有 c ij =a i1 b 1j +a ii1 b i1j +a ii b ij +a ii+1 b i
20、+1j +a in b nj 由于 A 是上三角矩阵，则 a i1 =a i2 =a ii1 =0 因为 B 是上三角矩阵，当 ij 时，有 b ij =b i+1j =bnj=0 因此，当 ij 时，c ij 中的每一项都为 0，从而 c ij =0即 AB 是上三角矩阵)解析：26.某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 x i ，y i 分别表示 i
21、年后在岗与脱产职工的人数，x 0 ，y 0 为目前在岗与脱产的人数，则 )解析：27.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 中任两行、任两列都成比例，故可把 A 分解成两个矩阵相乘，即 A= (b 1 ，b 2 ，b 3 )， 那么，由矩阵乘法的结合律，有 A 2 = (b 1 ，b 2 ，b 3 ) 由于(b 1 ，b 2 ，b 3 ) )解析：28.已知 A，B 及 A，C 都可交换，证明 A，B，C 是同阶矩阵，且 A 与 BC 可交换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 是 mn 矩阵，由 AB 可乘，故可设 B 是 ns 矩阵又因 BA 可乘，所
22、以m=s那么 AB 是 m 阶矩阵，BA 是 n 阶矩阵从 A 和 B 可交换，即 AB=BA，得 m=n，即 A，B 是同阶矩阵，同理，C 与 A，B 也同阶，由结合律，有 A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A，所以，A 与 BC 可交换)解析：29.求与 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，则有 高斯消元，解出 x 1 =2t+u， x 2 =2t， x 3 =t， x 4 =u所以 )解析：30.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 与 A 可交换，并对 A 分别按列(行)分块，记为 那么 a j a ij =a
23、 i a ij ，又因 a i a j ，可见 a ij =0( )解析：31.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换，有 )解析：32.设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A * ) * =A n2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用伴随矩阵 A * 替换关系式 AA * =AE 中的矩阵 A，得到 A * (A * ) * =A * E 由于A * =A n1 ，从 A 可逆知 A * 可逆又因(A * ) 1 = ，于是得到 (A * ) * =A * (A * ) 1 =A n1 . )解析：33.设 A 是 n 阶正交矩阵，证明 A
24、* 也是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA T =E，从行列式乘法公式知A 2 =A.A T =1又因 A 1 =A T ， 于是 A * =AA 1 =A A T ，那么 A * (A * ) T =AA T .AA=A 2 A T A=E 类似地(A * ) T A * =E所以，A * 是正交矩阵)解析：34.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且 a ij =A ij ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，不妨设 a 11 0，那么按第一行展开，并将 a ij =A ij 代入，即有 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1
25、3 A 13 = 0， 所以，A 可逆 )解析：35.求 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用伴随矩阵(210)，得 所以 A * = )解析：36.已知 A 是 n 阶对称矩阵，且 A 可逆，如(AB) 2 =E，化简 (E+A 1 B T ) T (E 一 BA 1 ) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式=E T +(A 1 B T ) T AA 1 一 BA 1 1 =E+B(A 1 )T(AB)A 1 1 =E+B(A T ) 1 A(A 一 B) 1 =(E+BA 1 )A(A 一 B)=(A+B)(A 一 B)解析：37.设 A 是 n 阶矩阵，若 A 2 =A，证明 A+E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 2 =A，故 A 2 一 A 一 2E=2E，那么 (A+E)(A 一 2E)=2E， 即 (A+E) )解析：
