1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 16及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)= （分数：2.00）A.P(A|B)=B.P(A|B)C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)3.设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ （分数：2.00）A.不相容B.对立C.独立D.不独立4.设随机变量 X的分布函数 （分数：2.00）A.0B.C.D.1-e -15.设连
2、续型随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且方差均存在，X 1 与 X 2 的概率密度分别为 f 1 (x)与 f 2 ，随机变量 Y 1 的概率密度为 f 1 (y)+f 2 (y)，随机变量 Y 2 = （分数：2.00）A.EY 1 EY 2 ，DY 1 DY 2B.EY 1 =EY 2 ，DY 1 =DY 2C.EY 1 =EY 2 ，DY 1 DY 2D.EY 1 =EY 2 ，DY 1 DY 2二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设三次独立试验中，事件 A出现的概率相等，若已知 A至少出现一次的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_7.设一批产品中一、二、三等品各占
3、60，30，10，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_10.用一台机器接连独立地制造 3个同种零件，第 i个零件是次品的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.设 和 是两个相互独立且均服从正态分布 N(0，12)的随机变量，则 E(|-|)= 1。（分数：2.
4、00）填空项 1:_13.设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)， （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_14.已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是 1(注：标准正态分布函数值 (196)=0975，(1645)=095)（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：22.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设随机变量 X与 y相互独立，X 服从正态分布 N(， 2 )，y 服从-，上均匀分
5、布，试求Z=X+Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 表示，其中 （分数：2.00）_17.设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为 p，且各引擎是否正常运行是相互独立的，如果有至少 50的引擎正常运行，飞机就能成功飞行，问对于多大的 p而言，4 引擎飞机比 2引擎飞机更可取?（分数：2.00）_设随机变量 X的概率分布为 PX=1)=P(X=2)=12，在给定 X=i的条件下，随机变量 Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)。（分数：4.00）(1).求 Y的分布函数 F Y (y)；（分数：2.00）_(2).求 E Y （分数：2.00）_18.对随机变量 X，已知 Ee kX 存在
6、(k0 常数)，证明： PX （分数：2.00）_19.设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70的概率不小于 095，样本容量 n至少应取多大?(1645)=095（分数：2.00）_设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数，从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 （分数：6.00）(1).求总体 X的分布函数 F(x)；（分数：2.00）_(2).求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_(3).如果用 （分数：2.00）_20.设总体 XB(m，p)，其中 m已知，p 未知，从 X中抽得简单样本 X 1 ，X n ，试求 p的矩估计和最大似然估计（分
7、数：2.00）_21.随机地取某种炮弹 9发做试验，得炮口速度的样本标准差 S=11，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 16答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B 是两个随机事件，且 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)= （分数：2.00）A.P(A|B)=B.P(A|B)C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B
8、)解析：解析：由 P(B|A)=3.设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ （分数：2.00）A.不相容B.对立C.独立 D.不独立解析：解析：由 P(A|B)=4.设随机变量 X的分布函数 （分数：2.00）A.0B.C. D.1-e -1解析：解析：P(X=1)=F(1)-F(1-0)=(1-e -1 )- 5.设连续型随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且方差均存在，X 1 与 X 2 的概率密度分别为 f 1 (x)与 f 2 ，随机变量 Y 1 的概率密度为 f 1 (y)+f 2 (y)，随机变量 Y 2 = （分数：2.00）A.EY 1 EY 2 ，DY 1 DY 2
9、B.EY 1 =EY 2 ，DY 1 =DY 2C.EY 1 =EY 2 ，DY 1 DY 2D.EY 1 =EY 2 ，DY 1 DY 2 解析：解析： 由题意，X 1 与 X 2 独立，且 X 1 与 X 2 均为连续型随机变量，故 E(X 1 -X 1 ) 2 0，即有 E(X 1 2 )+E(X 2 2 )2E(X 1 X 2 ) 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)6.设三次独立试验中，事件 A出现的概率相等，若已知 A至少出现一次的概率等于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设在每次试验中 A出现的概率为 p，则， =P(A至少出现 1次
10、)=1-P(A 出现 0次)=1-C2 3 0 p 0 (1-p) 3-0 =1-(1-p) 3 ，解得 7.设一批产品中一、二、三等品各占 60，30，10，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A i =取得 i等品)，i=1，2，3则 =09，而 =P(A 1 )=06，故 P(A 1 | )= 8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
11、案：*）解析：解析：-x 2 +x= ，与正态分布的概率密度相比较，得 10.用一台机器接连独立地制造 3个同种零件，第 i个零件是次品的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：11/24）解析：解析：设 A i =第 i个零件是合格品，i=1，2，3则 P(X=2)= 11.设 X表示 10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 E(X 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：184）解析：解析：由题意，XB(10，04)，EX=1004=4 DX=1004(1-04)=24 所以 EX 2 =DX+(EX) 2 =
12、24+4 2 =18412.设 和 是两个相互独立且均服从正态分布 N(0，12)的随机变量，则 E(|-|)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若记 X=-，则 EX=E-E=0，DX=D+D=1 可得 XN(0，1)13.设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：29）填空项 1:_ （正确答案：19）填空项 1:_ （正确答案：53）填空项 1:_ （正确答案：259）解析：解析：14.已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的
13、平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是 1(注：标准正态分布函数值 (196)=0975，(1645)=095)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3951，4049)）解析：解析：总体 XN(， 0 2 )， 0 2 =1已知，n=16， =40(样本均值)，1-=095， =u 0975 =196， 故得 的置信下限为： 的置信上限为： 三、解答题(总题数：9，分数：22.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设随机变量 X与 y相互独立，X 服从正态分布 N(， 2 )，y 服从-，上均匀分布，试求Z=X+Y的概率
14、分布密度(计算结果用标准正态分布函数 表示，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，y 的概率密度为 由卷积公式，知 Z的概率密度为 )解析：17.设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为 p，且各引擎是否正常运行是相互独立的，如果有至少 50的引擎正常运行，飞机就能成功飞行，问对于多大的 p而言，4 引擎飞机比 2引擎飞机更可取?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 4引擎与 2引擎飞机分别有 X与 Y个引擎正常工作，则 XB(4，p)，YB(2，p)，P(X2)=1-(1-p) 4 -4p(1-p) 3 ，P(Y1)=1-(1-p) 2 ，由 P(X2)P(Y1)，而0P
15、1，可解得 )解析：设随机变量 X的概率分布为 PX=1)=P(X=2)=12，在给定 X=i的条件下，随机变量 Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)。（分数：4.00）(1).求 Y的分布函数 F Y (y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(Yy|X=1)P(X=1)+P(Yy|X=2)P(X=2) 由题意可得： )解析：(2).求 E Y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 F Y (y)=P(Yy)=P(Yy|X=1)P(X=1)+P(Yy|X=2)P(X=2) 由题意可得： 得 Y的概率密度为 )解析：18.对随机变量 X，已知
16、Ee kX 存在(k0 常数)，证明： PX （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性，设 X为连续型随机变量，概率密度为 f(x)，则 Ee kX = - + ex kx f(x)dx，而 Px)= )解析：19.设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70的概率不小于 095，样本容量 n至少应取多大?(1645)=095（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知： )解析：设总体 X的概率密度为 其中 0 是未知参数，从总体 X中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 （分数：6.00）(1).求总体 X的分布函数 F(x)；（分数：2.00）_正
17、确答案：(正确答案：F(x)= - x f(t)dt 当 x 时，F(x)=0； 当 x 时，F(x)= x 2e -2(t-) dt=1-e -2(x-) )解析：(2).求统计量 的分布函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =Pmin(X 1 ，X n )x =1-Pmin(X 1 ，X m )x =1-PX 1 x，X 2 x，X n x =1-PX 1 x)PX 2 xX n x =1-1-F(x) n )解析：(3).如果用 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 的概率密度为： )解析：20.设总体 XB(m，p)，其中 m已知，p 未知，从 X中抽得简单样本 X 1 ，X n ，试求 p的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计：EX=mp， ；最大似然估计；似然函数为：L= P(X i =x i )= )解析：21.随机地取某种炮弹 9发做试验，得炮口速度的样本标准差 S=11，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设炮口速度为总体 X，XN(， 2 )，而 n=9，=005， 的置信下限为 =74299， 的置信上限为 )解析：
