1、考研数学一（无穷级数）-试卷 7 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 p n = ，n=1，2，则下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列四个级数中发散的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设幂级数 的收敛半径为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 （分数：2.00）A.a n b n B.a n b n C.a n b n D.a n b n 6.若级数
2、发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.级数 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.e8.如果级数 （分数：2.00）A.都收敛B.都发散C.敛散性不同D.同时收敛或同时发散9.设 a 是常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与 a 的取值有关10.设 (a 2n1 +a 2n )收敛，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.已知 （分数：2.00）A.3B.7C.8D.912.正项级数 （分数：2.00）A.充要条件B.充分条件C.必要条件D.既非充分条件，又非必要条件二、填空题(总题数：12，分数：24.00)13.已知幂级数
3、（分数：2.00）填空项 1:_14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.级数 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 x 2 = （分数：2.00）填空项 1:_17.设 a 1 =1， （分数：2.00）填空项 1:_18.级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.级数 （分数：2.00）填空项 1:_20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_22.将函数 （分数：2.00）填空项 1:_23.二元函数 f(x，y)=x y 在点(e，0)处的二阶(即 n=2)泰勒展开式为 1(不要求写余项)（分数：2.00）填空项 1:
4、_24.f(x)=ln(2+x 一 3x 2 )在 x=0 处的泰勒展开式为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.设幂级数 a n x n 在(一，+)内收敛，其和函数 y(x)满足 y“一 2xy“一 4y=0，y(0)=0，y“(0)=1 (1)证明 a n+2 = （分数：2.00）_27.将函数 f(x)=1 一 x 2 (0x)用余弦级数展开，并求 （分数：2.00）_28.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 (n=1，2，)所围成区域的面积，记 S
5、 1 = （分数：2.00）_29.求幂级数 （分数：2.00）_30.求幂级数 （分数：2.00）_31.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n2 一 n(n 一 1)a n =0(n2)S(x)是幂级数 （分数：2.00）_32.将 F(x)= （分数：2.00）_33.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 （分数：2.00）_34.设 u n = 0 1 x(1 一 x)sin 2n xdx，讨论级数 （分数：2.00）_35.设有正项级数 是它的部分和(1)证明 收敛；(2)判断级数 （分数：2.00）_36.求幂级数 （分数：2.00）_3
6、7.设 f(x)在 x=a 具有三阶导数且 f“(a)0，又设 f(x)在 x=a 处的拉格朗日余项一阶泰勒展开式为（分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）-试卷 7 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 p n = ，n=1，2，则下列命题正确的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：3.下列四个级数中发散的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：4.设幂级数 的收敛半径为( ) （分数：2.00）A.
7、B.C.D.解析：解析：5.a n 和 b n 符合下列哪一个条件可由 （分数：2.00）A.a n b n B.a n b n C.a n b n D.a n b n 解析：解析：反证法如果6.若级数 发散，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 7.级数 （分数：2.00）A.0 B.1C.2D.e解析：解析：8.如果级数 （分数：2.00）A.都收敛B.都发散C.敛散性不同D.同时收敛或同时发散 解析：解析：由于 a n =(a n +b n )一 b n ，且 9.设 a 是常数，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.收敛性与 a 的取值
8、有关解析：解析：由于10.设 (a 2n1 +a 2n )收敛，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：当 a n 0 时，级数 (a 2n1 +a 2n )为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 =(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n1 +a 2n )有上界，从而可知正项级数 的部分和数列 S n =a 1 +a 2 +a n 有上界，则级数 11.已知 （分数：2.00）A.3B.7C.8 D.9解析：解析： 12.正项级数 （分数：2.00）A.充要条件B.充分条件 C.必要条件D.既非充分条件，又非必要条件解析：解析：二、填空题(总题数：12
9、，分数：24.00)13.已知幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题干已知幂级数 a n x n 在 x=1 处条件收敛，那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为 1，因此幂级数 14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 x 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：已知 f(x)=x 2 (一 x)是以 2 为周期的偶函数，利用傅利叶系数计算公式，有 17.设
10、a 1 =1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2020）解析：解析：级数 (a n+1 一 a n )的部分和数列为 S n =(a 2 一 a 1 )+(a 3 一 a 2 )+(a n+1 a n ) =a n+1 一 a 1 =a n+1 1 则 18.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(sin1+cos1)）解析：解析：由题意可知，19.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：21.f(x)= （分数：2.0
11、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：22.将函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对已知函数从 0 到 x 求积分，有23.二元函数 f(x，y)=x y 在点(e，0)处的二阶(即 n=2)泰勒展开式为 1(不要求写余项)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知 f(e，0)=1，则 f“ x (x，y)=yx y1 ，f“ x (e，0)=0； f“ y (x，y)=xylnx，f“ y (e，0)=1； f“ xx (x，y)=y(y 一 1)x y2 ，f“ xx (e，0)=0； f“
12、 xy (x，y)=x y1 +yx y1 lnx，f“ xy (e，0)=e 1 ； f“ yy (x，y)=x(lnx) 2 ，f“ yy (e，0)=1 因此，点(e，0)处二阶泰勒展开式为 f(x，y)=f(e,0)+f“ x (e，0)(x 一 e)+f“ y (e,0)(y 一 0)+ f“ xx (e,0)(x 一 e) 2 +2f“ xy (e，0)(x 一 e)(y 一 0)+f“ yy (e，0)(y 一 0) 2 +R 3 =1+y+ 24.f(x)=ln(2+x 一 3x 2 )在 x=0 处的泰勒展开式为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
13、解析：解析：f(x)的泰勒展式为 f(x)=ln(1 一 x)(2+3x) =ln(1 一 x)+ln(2+3x)三、解答题(总题数：13，分数：26.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.设幂级数 a n x n 在(一，+)内收敛，其和函数 y(x)满足 y“一 2xy“一 4y=0，y(0)=0，y“(0)=1 (1)证明 a n+2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.将函数 f(x)=1 一 x 2 (0x)用余弦级数展开，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)作偶周期延拓，则有 b
14、n =0，n=1，2， )解析：28.设 a n 为曲线 y=x n 与 y=x n+1 (n=1，2，)所围成区域的面积，记 S 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，y=x n 与 y=x n+1 在点 x=0 和 x=1 处相交， 所以 )解析：29.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：30.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n2 一 n(n 一 1)a n =0(n2)S(x)是幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)证明：由题意得
15、 因为由已知条件得 a n =(n+1)(n+2)a n+2 (n=0，1，2，)，所以 S“(x)=S(x)，即 S“(x)一 S(x)=0 (2)S“(x)一 S(x)=0 为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 2 一 1=0，从而 =1，于是 S(x)=C 1 e x +C 2 e x ， 由 S(0)=a 0 =3，S“(0)=a 1 =1，得 )解析：32.将 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时， )解析：33.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 f(x)在 x=0 的某
16、邻域内存在连续的导数，所以当 x0 且 x 足够小时，f“(x)0，由拉格朗日中值定理，有 )解析：34.设 u n = 0 1 x(1 一 x)sin 2n xdx，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0x1 时，x(1 一 x)sin 2n x0，所以 u n 0， 为正项级数，又因sin 2n xx 2n ，所以有 )解析：35.设有正项级数 是它的部分和(1)证明 收敛；(2)判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.设 f(x)在 x=a 具有三阶导数且 f“(a)0，又设 f(x)在 x=a 处的拉格朗日余项一阶泰勒展开式为（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 a 处展开为三阶泰勒级数 )解析：
