1、考研数学一-433 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微2.设 （分数：4.00）A.a=2，b=2，c=1B.a=-2，b=-2，c=-1C.a=-2，b=2，c=1D.a=-2，b=2，c=-13.设 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)满足： （分数：4.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)
2、的拐点5.设 A，B 及 A * 都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.36.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_ A.设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零 B.设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值 C.设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零 D.设 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同（分数：4.00）A.B.C.D.7.设二维随机变且(X，Y)的联合密度函数为 （分数：4.00）A.2B.4C.6D.88.已知 E
3、(X)=1，E(X 2 )=3，用切比雪夫不等式估计 P-1X4a，则 a 的最大值为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程 x 2 y“+3xy“+y=0 有极值 y(1)=2 的特解 y(x)，则 y(x)= 1. （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.设 为过直线 L： （分数：4.00）12.设：x 2 +y 2 +z 2 =4 取内侧，又函数 u=u(x，y，z)满足 （分数：4.00）13. （分数：4.00）14.设 XN(1，4)，YB(3， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94
4、.00)15.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且 （分数：10.00）_16.求级数 （分数：10.00）_椭球面 1 是椭圆 L： 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 2 是由过点(4，0)且与椭圆 L： （分数：10.00）(1).求 1 及 2 的方程；（分数：5.00）_(2).求位于 1 及 2 之间的立体体积（分数：5.00）_（分数：10.00）(1).用变换 x=t 2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程；（分数：5.00）_(2).求原方程的通解（分数：5.00）_17.计算曲面积分 （分数：10.00）_18.设 ，B 为三阶非零矩阵， （分数：11.00）
5、_设 （分数：11.00）(1).求常数 a；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：5.50）_19.设随机变量 X 的分布律为 PX=k=p(1-p) k-1 (k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3 （分数：11.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i - （分数：11.01）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：3.67）_(2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：3.67）_(3).PY 1 +Y n 0（分数：3.67）_考研数学一-433 答案
6、解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续，但不可偏导B.可偏导，但不连续C.连续、可偏导，但不可微D.可微 解析：解析 由 得 f(x，y)在(0，0)处连续 再由 即 f(x，y)在(0,0)处可偏导且 令 ，A=f“ x (0，0)=0，B=f“ y (0，0)= ，则 z-A(x-0)-B(y-0)= 2.设 （分数：4.00）A.a=2，b=2，c=1B.a=-2，b=-2，c=-1C.a=-2，b=2，c=1 D.a=-2，b=2，c=-1解析：解析 f(0-0)=f(0)=c，f(0+0)=1，由
7、f(x)在 x=0 处连续得 c=1， 由 f“(0)存在得 b=2， 3.设 为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 4.设 f(x)满足： （分数：4.00）A.x=0 为 f(x)的极小值点 B.x=0 为 f(x)的极大值点C.x=0 不是 f(x)的极值点D.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点解析：解析 由 得 f(0)=0，f“(0)=0， 当 x0 时，由 xf“(x)-x 2 f“ 2 (x)=1-e -2x 得 再由 f(x)二阶连续可导得 5.设 A，B 及 A * 都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=_（分数：4.0
8、0）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A * )=0 或 r(A * )=1， 因为 A * 为非零矩阵，所以 r(A * )=1，于是 r(A)=n=1， 又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1， 故 r(B)=1，应选 B6.设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是_ A.设 r(A)=r，则 A 有 r 个非零特征值，其余特征值皆为零 B.设 A 为非零矩阵，则 A 一定有非零特征值 C.设 A 为对称矩阵，A 2=2A，r(A)=r，则 A 有 r 个特征值为 2，其余全为零 D.设
9、 A，B 为对称矩阵，且 A，B 等价，则 A，B 特征值相同（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 取 显然 A 的特征值为 0，0，1，但 r(A)=2，A 不对； 设 7.设二维随机变且(X，Y)的联合密度函数为 （分数：4.00）A.2B.4C.6 D.8解析：解析 由 8.已知 E(X)=1，E(X 2 )=3，用切比雪夫不等式估计 P-1X4a，则 a 的最大值为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 D(X)=2，由切比雪夫不等式得 P-1X4P-1X3P|X-1|2 则 a 的最大值为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.微分方程
10、 x 2 y“+3xy“+y=0 有极值 y(1)=2 的特解 y(x)，则 y(x)= 1. （分数：4.00）解析： 解析 令 x=e t ，则 原方程化为 通解为 y=(C 1 +C 2 t)e -t ，原方程的通解为 由 y(1)=2，y“(1)=0 得 C 1 =2，C 2 =2，即 10. （分数：4.00）解析： 解析 交换积分次序得 11.设 为过直线 L： （分数：4.00）解析： 解析 过直线 L： 的平面束为 (2x-z-4)+(2y+3z+2)=0， 即 2x+2y+(3-1)z+2-4=0， 由2，2，3-11，-2，1=0 得 =1， 从而 ：x+y+z-1=0，于
11、是 12.设：x 2 +y 2 +z 2 =4 取内侧，又函数 u=u(x，y，z)满足 （分数：4.00）解析：解析 13. （分数：4.00）解析：(-4，-2，2) 解析 由( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )Q， 可得 Q=( 1 ， 2 ， 3 ) -1 ( 1 ， 2 ， 3 ) = 1 +2 2 -3 3 =( 1 ， 2 ， 3 )(1，2，-3) T =( 1 ， 2 ， 3 )Q(1，2，-3) T = 14.设 XN(1，4)，YB(3， （分数：4.00）解析： 解析 PXY+1X+Y=P(X-1)(Y-1)0 =PX1，Y1+PX1，Y1 =PX1P
12、Y1)+PX1PY1 = (PX=2+PX=3)+ PX=0 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 由 得 f(0)=0，f“(0)=2 作多项式 P(x)=Ax 3 +Bx 2 +Cx+D，使得 P(0)=0，P“(0)=2，P(1)=1，P(2)=6， 解得 令 则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0，因此 (x)在0，1和1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1 (0，1)， 2 (1，2)，使得 “( 1 )=“( 2 )=0 又 “(0
13、)=0，由罗尔定理，存在 1 (0， 1 )， 2 ( 1 ， 2 )，使得 “( 1 )=“( 2 )=0，再由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) 16.求级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 椭球面 1 是椭圆 L： 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 2 是由过点(4，0)且与椭圆 L： （分数：10.00）(1).求 1 及 2 的方程；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 1 ： 设切点坐标为(x 0 ，y 0 )，则切线方程为 因为切线经过点(4，0)，所以 x 0 =1，y 0 = ，切线方程为 (2).求位于 1 及 2 之间的立体体积（分数：5.00）_正确答案：
14、()解析：解 1 及 2 围成的几何体在 yOz 平面上的投影为 D yz ：y 2 +z 2 则 （分数：10.00）(1).用变换 x=t 2 将原方程化为 y 关于 t 的微分方程；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 代入，得 整理，得 (2).求原方程的通解（分数：5.00）_正确答案：()解析：特征方程为 2 -6=0，特征值为 1 =-2， 2 =3， 方程 的通解为 y=C 1 e -2t +C 2 e 3t 令 的特解为 y 0 =Ate 3t ，代入得 A= 故原方程的通解为 17.计算曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 0 ：x 2 +y 2
15、 +z 2 =1，取外侧，由及 0 构成的几何体为 ， 由高斯公式得 因为 所以 18.设 ，B 为三阶非零矩阵， （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 B 为三阶非零矩阵得 r(B)1，从而 BX=0 的基础解系最多有两个线性无关的向量， 于是 解得 a=3b 由 AX= 3 有解得 r(A)=r(A 3 )， 得 解得 b=5，从而 a=15 由 1 ， 2 为 BX=0 的两个线性无关解得 3-r(B)2，从而 r(B)1， 再由 r(B)1 得 r(B)=1， 1 ， 2 为 BX=0 的一个基础解系， 故 BX=0 的通解为 设 （分数：11.00）(1).求常数 a；（
16、分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由|E-A|= =(-1) 2 =0 得 1 = 2 =1， 3 =0 因为 A 可对角化，所以 r(E-A)=1， (2).求可逆矩阵 P，使得 P -1 AP 为对角矩阵（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 将 =1 代入(E-A)X=0 中得(E-A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 将 =0 代入(E-A)X=0 得 AX=0， 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 19.设随机变量 X 的分布律为 PX=k=p(1-p) k-1 (k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3 （分数：11.00）_正确答案：(
17、)解析：解 令 A k =X=k(k=1，2，)， B=Y=3， P(B|A 1 )=P(B|A 2 )=0， P(B|A k )= (k3)， 由全概率公式得 PY=3=P(B)= 设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i - （分数：11.01）(1).D(Y i )(i=1，2，n)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 D(Y i )=Cov(Y i ，Y i ) =D(X i )+D( )-2Cov(X i ， ) (2).Cov(Y 1 ，Y n )；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 Cov(Y 1 ，Y n ) (3).PY 1 +Y n 0（分数：3.67）_正确答案：()解析：解 Y 1 +Y n 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1 +Y n 服从正态分布， E(Y 1 +Y n )=0
