1、考研数学一-406 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：24，分数：58.00)1.设 f(x)连续，则 （分数：1.50）2. （分数：1.50）3. （分数：2.50）4. （分数：2.50）5. （分数：2.50）6. （分数：2.50）7. （分数：2.50）8. （分数：2.50）9. （分数：2.50）10. （分数：2.50）11. （分数：2.50）12.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 （分数：2.50）13. （分数：2.50）14. （分数：2.50）15. （分数：2.50）16.设 f(x)C1，+)，广义积分 收
2、敛，且满足 （分数：2.50）17.设 ，则 （分数：2.50）18.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f“(2)=5，则 （分数：2.50）19.设 ，则 （分数：2.50）20. （分数：2.50）21. （分数：2.50）22. （分数：2.50）23. （分数：2.50）24.曲线 y=x 4 e -x2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 1 （分数：2.50）二、选择题(总题数：14，分数：42.00)25.设 f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则_（分数：3.00）A.若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数B.若 f(x)是单调函数，则 F
3、(x)也是单调函数C.若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数D.若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数26.设f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx 等于_ A B （分数：3.00）A.B.C.D.27.设 （分数：3.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN28.设 ，则_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.29.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.30.设在区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 ，S 2 =f(b)(b-a)， （分数：3.00）A.S1S2S3B.S2S1S3C.S3
4、1S2D.S2S3S131.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.32.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 -y 2 所围成的区域面积可表示为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.33.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为_ A 2m-f(x)+g(x)f(x)-g(x)dx B 2m-f(x)-g(x)f(x)-g(x)dx C m-f(x)+g
5、(x)f(x)-g(x)dx D （分数：3.00）A.B.C.D.34.矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为 _ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.35.在曲线 y=(x-1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为 _ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.36.设直线 （分数：3.00）A.平行于平面 B.在平面 上C.垂直于平面 D.与平面 斜交37.设直线 则直线 L 1 ，L 2 的夹角为_ A B C D （分数：3.
6、00）A.B.C.D.38.在曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线_（分数：3.00）A.只有 1 条B.只有 2 条C.至少 3 条D.不存在考研数学一-406 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：24，分数：58.00)1.设 f(x)连续，则 （分数：1.50）解析： 解析 则 2. （分数：1.50）解析：解析 3. （分数：2.50）解析：解析 4. （分数：2.50）解析：解析 5. （分数：2.50）解析： 解析 因为 所以 6. （分数：2.50）解析： 或 解析 方法一 方法二
7、7. （分数：2.50）解析：解析 8. （分数：2.50）解析：解析 9. （分数：2.50）解析：解析 10. （分数：2.50）解析：解析 11. （分数：2.50）解析：解析 12.设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 （分数：2.50）解析： 解析 由 F(x+T)=F(x)，得 13. （分数：2.50）解析： 解析 因为 为奇函数，所以 为奇函数， 而 ，所以原式 14. （分数：2.50）解析： 解析 因为 ，所以广义积分 收敛 方法一 令 则 方法二 令 则 方法三 方法四 令 x=sin 2 t，则 15. （分数：2.50）解析：解析 16.设 f(x)C1，+)，
8、广义积分 收敛，且满足 （分数：2.50）解析： 解析 令 ，则由 ，得 17.设 ，则 （分数：2.50）解析：e -1 -1 解析 18.设 f(x)二阶连续可导，且 f(0)=1，f(2)=3，f“(2)=5，则 （分数：2.50）解析：2解析 19.设 ，则 （分数：2.50）解析：解析 20. （分数：2.50）解析： 解析 令 则 21. （分数：2.50）解析：3解析 22. （分数：2.50）解析：解析 23. （分数：2.50）解析：1解析 24.曲线 y=x 4 e -x2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 1 （分数：2.50）解析：解析 二、选择题(总题数：14，分数
9、：42.00)25.设 f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则_（分数：3.00）A.若 f(x)是周期函数，则 F(x)也是周期函数B.若 f(x)是单调函数，则 F(x)也是单调函数C.若 f(x)是偶函数，则 F(x)是奇函数D.若 f(x)是奇函数，则 F(x)是偶函数 解析：解析 令 f(x)=cosx-2，F(x)=sinx-2x+C，显然 f(x)为周期函数，但 F(x)为非周期函数，A 不对；令 f(x)=2x，F(x)=x 2 +C，显然 f(x)为单调增函数，但 F(x)为非单调函数，B 不对；令 f(x)=x 2 ，F(x)= +2，显然 f(x)为偶函数，但 F(x
10、)为非奇非偶函数，C 不对；若 f(x)为奇函数， ， 因为 26.设f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx 等于_ A B （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 27.设 （分数：3.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN 解析：解析 28.设 ，则_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 当 0x1 时， ；当 1x2 时， +29.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 中，x=0 为该广义积分的瑕点，且 x0 时，sinxx 1 ，由 11，得广义积分 发散； 为该广义积分的瑕点
11、，且 x-1 时， ，由 ，得 收敛，同理 也收敛，故 收敛； 中，e -x2 为连续函数，因为 ，所以 收敛； 根据广义积分收敛的定义， 30.设在区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 ，S 2 =f(b)(b-a)， （分数：3.00）A.S1S2S3B.S2S1S3 C.S31S2D.S2S3S1解析：解析 因为函数 f(x)在a，b上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S 2 S 1 S 3 选 B31.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 曲线 y=x(x-1)(2-x)
12、与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1，x=2， 当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为 C 的形式，选 C32.双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 -y 2 所围成的区域面积可表示为_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 双纽线(x 2 +y 2 )=x 2 -y 2 的极坐标形式为 r 2 =cos2，再根据对称性，有 33.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)f(x)m，则由曲线 y=g(x)，y=f(x)及直线 x=a，x=b所围成的平面区域绕直线 y=m 旋转一周所得旋转体体积为_ A 2m-f(x)+
13、g(x)f(x)-g(x)dx B 2m-f(x)-g(x)f(x)-g(x)dx C m-f(x)+g(x)f(x)-g(x)dx D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 由元素法的思想，对x，x+dx a，b， dv=m-g(x) 2 -m-f(x) 2 )dx=2m-f(x)-g(x)f(x)-g(x)dx， 则 34.矩形闸门宽 a 米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为 _ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 取x，x+dx 0，h，dF=gxadx=gaxdx， 则 35.在曲线 y=(x-1) 2 上的点(2，1)处作曲线
14、的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 x 轴旋转一周所成的几何体的体积为 _ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 过曲线 y=(x-1) 2 上点(2，1)的法线方程为 ，该法线与 x 轴的交点为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体积为 36.设直线 （分数：3.00）A.平行于平面 B.在平面 上C.垂直于平面 D.与平面 斜交解析：解析 直线 L 的方向向量为 s=1，3，22，-1，-10=-28，14，-7， 因为 s/n，所以直线 L 与平面 垂直，正确答案为 C37.设直线 则直线 L 1 ，L 2 的夹角为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 s 1 =1，-2，1，s 2 =1，-1，0)0，2，1)=-1，-1，2，设直线 L 1 ，L 2 的夹角为 ，则 ，从而 38.在曲线 x=t，y=-t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线_（分数：3.00）A.只有 1 条B.只有 2 条 C.至少 3 条D.不存在解析：解析 在 t=t 0 处曲线的切向量为 ，切线与平面 x+2y+z=4 垂直的充分必要条件是nT=0，即 ，解得
