1、考研数学一-293 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布则 E(XY)= 1 （分数：3.00）2.设随机变量 X 和 Y 均服从 （分数：3.00）3.设随机变量 X 服从分布 E(1)，记 Y=min|X|，1，则 Y 的数学期望 E(Y)= （分数：3.00）4.设连续型随机变量 X 的分布函数 （分数：3.00）5.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：3.00）6.设(X，Y)N( 1 ， 2 ，
2、 1 2 ， 2 2 ；)( 1 0， 2 0)，则 （分数：3.00）7.设随机变量 X 和 Y 的联合分布为 （分数：3.00）8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差为 2 0，记 和 （分数：3.00）9.设随机变量 X 在-1，b上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有 P|X-1|) （分数：3.00）10.将一个骰子重复掷 n 次，各次掷出的点数依次为 X 1 ，X n 则当 n时， （分数：3.00）11.设随机变量列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且同分布，则 X 1 ，X 2 ，X n ，服从辛钦大数定律，只要随机变量 X 1 1 （分数：
3、3.00）12.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 EX i =DX i =1(1i2n)，如果 （分数：3.00）13.已知随机变量 X 1 ，X n 相互独立且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ， （分数：3.00）14.已知 X 1 ，X 2 ，X n 为取自分布为 F(x)的总体 X 的简单随机样本记 X=min(X 1 ，X n-1 )和 Y=X n ，则 X 的分布函数 F X (x)= 1，Y 的分布函数 F Y (y)=和(X，Y)的联合分布 G(x，y)= 2 （分数：3.00）15.已知总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2 )，X 1
4、，X n 与 Y 1 ，Y n 为分别来自总体 X 与Y 的两个相互独立的简单随机样本，样本均值与方差分别为 ，S 2 X ； ，S 2 Y ，则统计量 （分数：3.00）16.已知(X，Y)的概率密度为 ，则 （分数：3.00）17.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 记 ，则 （分数：3.00）18.设总体 X 的概率密度为 （分数：3.50）19.设随机变量 Xt(n)，YF(1，n)，常数 C 满足 PXC=0.6，则 PYC 2 = 1 （分数：3.50）20.设 X 1 ，X 2 ，X n 来自总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记样本方差 S 2
5、 ，则 D(S 2 )= 1 （分数：3.50）21.设 X 1 ，X 2 ，X 6 是来自正态分布 N(0， 2 )的简单随机样本 统计量 （分数：3.50）22.设 X 1 ，X 2 ，X 6 是来自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，已知统计量 （分数：3.50）23.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的一组简单随机样本，统计量 （分数：3.50）24.设总体 X 的概率分布为 ， 其中 （分数：3.50）25.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本， 为样本均值，S 2
6、 为样本方差，如果 （分数：3.50）26.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 ， 2 均未知，现从中随机抽取 9 个零件测得样本均值和方差分别为 （分数：3.50）27.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自区间-a，a上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，则参数 a 的矩估计量为 1 （分数：3.50）28.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体为区间，+2上均匀分布的 X 的简单随机样本， 是样本均值，则未知参数 的矩估计量 （分数：3.50）29.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 ，-x+，0，则 的最大似然估计量 （
7、分数：3.50）30.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其中参数 2 未知记 ， ， （分数：3.50）31.假设 X 1 ，X 2 ，X 36 是取自正态总体 N(，0.04)的简单随机样本，其中 为未知参数记 ，如果对检验问题 H 0 ：=0.5，H 1 ：= 1 0.5，取检验否定域 D= （分数：3.50）考研数学一-293 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：31，分数：100.00)1.已知随机变量 X 在(1，2)上服从均匀分布，在 X=x 条件下 Y 服从参数为 x 的指数分布则 E(XY)= 1
8、（分数：3.00）解析：1 解析 由题设得(X，Y)概率密度 故 2.设随机变量 X 和 Y 均服从 （分数：3.00）解析：1 解析 解得 3.设随机变量 X 服从分布 E(1)，记 Y=min|X|，1，则 Y 的数学期望 E(Y)= （分数：3.00）解析：1-e -1 解析 如果把 Y 看成 X 的函数，先求出 Y 的概率密度，然后求 E(Y)会较麻烦可以直接用公式： E(g(x)= + - g(x)f(x)dx，其中 f(x)为 X 的密度函数 现 E(Y)=E(min|X|，1)= + - min(|x|，1)f(x)dx = + - min(|x|，1)e -x dx= 1 0
9、xe -x dx+ + 1 1e -x dx =1-2e -1 +e -1 =1-e -1 4.设连续型随机变量 X 的分布函数 （分数：3.00）解析：1 解析 则 对比指数分布的密度 得 =1=b 5.相互独立的随机变量 X 1 和 X 2 均服从正态分布 （分数：3.00）解析： 解析 X 1 与 X 2 独立均服从 ，记 Z=X 1 -X 2 ，则 ZN(0，1)，有概率密度 D(|X 1 -X 2 |)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )-(E|Z|) 2 =E(Z 2 )-(E|Z|) 2 显然，D(Z)=1，E(Z)=0， 因此， 6.设(X，Y)N( 1 ， 2 ， 1 2 ，
10、2 2 ；)( 1 0， 2 0)，则 （分数：3.00）解析：N(0， 2 ；1， ；) 解析 显然 也服从二维正态 由于 故 (0， 2 ，1， 2 2 ； 1 )， 其中 1 是 与 Y 的相关系数 7.设随机变量 X 和 Y 的联合分布为 （分数：3.00）解析：-0.1 解析 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差为 2 0，记 和 （分数：3.00）解析：(n-2) 2 解析 9.设随机变量 X 在-1，b上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有 P|X-1|) （分数：3.00）解析：3；2 解析 由题设知 依题意 所以 因此 10.将一个骰子重复掷
11、n 次，各次掷出的点数依次为 X 1 ，X n 则当 n时， （分数：3.00）解析： 解析 题目要求我们计算 为此我们需要应用大数定律或依概率收敛的定义与性质来计算由题设知 X 1 ，X n 独立同分布： 且 根据辛钦大数定律： 11.设随机变量列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且同分布，则 X 1 ，X 2 ，X n ，服从辛钦大数定律，只要随机变量 X 1 1 （分数：3.00）解析：期望存在 解析 辛钦大数定律的条件是 X i 独立同分布，且期望存在而切比雪夫大数定律的条件是 X i 不相关且方差有界12.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 EX i =
12、DX i =1(1i2n)，如果 （分数：3.00）解析： 解析 记 Z i =X 2i -X 2i-1 ，则 Z i (1in)独立同分布且 EZ i =0，DZ i =2由独立同分布中心极限定理知，当 n 充分大， 近似服从标准正态分布，所以 13.已知随机变量 X 1 ，X n 相互独立且都服从标准正态分布，Y 1 =X 1 ， （分数：3.00）解析：正态； 解析 为相互独立正态变量和，故 Y 1 -Y 2 服从正态分布，又 ，所以 14.已知 X 1 ，X 2 ，X n 为取自分布为 F(x)的总体 X 的简单随机样本记 X=min(X 1 ，X n-1 )和 Y=X n ，则 X
13、的分布函数 F X (x)= 1，Y 的分布函数 F Y (y)=和(X，Y)的联合分布 G(x，y)= 2 （分数：3.00）解析：1-1-F(x) n-1 ；F(y)；1-1-F(x) n-1 F(y) 解析 根据简单随机样本各分量 X i 相互独立且与 X 同分布，有 Fx(x)=Pmin(X 1 ，X 2 ，X n-1 )x =1-Pmin(X 1 ，X 2 ，X n-1 )x =1-PX 1 x，X 2 x，X n-1 x) =1-PX 1 xPX 2 x)PX n-1 x =1-1-PX 1 x1-PX 2 x1-PX n-1 x =1-1-F(x) n-1 FY(y)=PX n
14、y=F(y) G(x，y)=Pmin(X 1 ，X n-1 )x，X n y =Pmin(X 1 ，X n-1 )xPX n y =1-1-F(x) n-1 F(y)15.已知总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X n 与 Y 1 ，Y n 为分别来自总体 X 与Y 的两个相互独立的简单随机样本，样本均值与方差分别为 ，S 2 X ； ，S 2 Y ，则统计量 （分数：3.00）解析：F；(1，2n-2) 解析 由于两个总体都服从正态分布 N(0， 2 )，且样本又相互独立，因此容易求得 与 的分布，再应用典型模式确定 F 的分布 由于 XN(0， 2 )，YN(0，
15、 2 )，所以 ， 与 相互独立，故 又 ， 与 相互独立，根据 2 分布可加性，得 又 ， 相互独立，从而推出 与 相互独立，由 F 分布的典型模式，得 16.已知(X，Y)的概率密度为 ，则 （分数：3.00）解析：(1，1)；F 解析 由题设知(X，Y)服从二维正态分布，且 故 XN(0，2 2 )，YN(1，3 2 )，且 =0，所以 X 与 Y 独立， 根据 F 分布典型模式知 17.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而 记 ，则 （分数：3.00）解析： 解析 ，X i 为一次伯努利试验的结果，X i 相互独立 所以 X 1 +X 2 +X n 可以看
16、成 n 次独立重复试验即 18.设总体 X 的概率密度为 （分数：3.50）解析：2 解析 显然 E(S 2 )=D(X)，而 DX=E(X-EX) 2 现求 19.设随机变量 Xt(n)，YF(1，n)，常数 C 满足 PXC=0.6，则 PYC 2 = 1 （分数：3.50）解析：8 解析 Xt(n)所以根据 t(n)分布随机变量的典型模式可以表示 其中X 1 N(0，1)；Y 1 2 (n)；X 1 ，Y 1 相互独立 现来考虑 ，其中 ；Y 1 2 (n)； 20.设 X 1 ，X 2 ，X n 来自总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记样本方差 S 2 ，则 D(S 2 )= 1
17、（分数：3.50）解析： 解析 由性质： 和 D( 2 (n-1)=2(n-1)， 可知 所以 21.设 X 1 ，X 2 ，X 6 是来自正态分布 N(0， 2 )的简单随机样本 统计量 （分数：3.50）解析：2 和 4解析 且它们是相互独立的故22.设 X 1 ，X 2 ，X 6 是来自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，已知统计量 （分数：3.50）解析：1 解析 (X 1 +X 2 +X 3 )N(0，3 2 )，所以 ，且与 相互独立， 因此 23.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 2n 是来自总体 X 容量为 2n 的一组简单随机样本，统计
18、量 （分数：3.50）解析： 解析 记 Y i =X 2 i -X 2i-1 (i=1，2，n)，则 Y i N(0,2 2 )且相互独立，故 ，因此当 2 已知， 时 Y 2 分布，其自由度为 n 令 ，解得 ，所以，当 24.设总体 X 的概率分布为 ， 其中 （分数：3.50）解析： 解析 应用矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果，事实上，令 ，其中 即令 ，解得 矩估计量 由样本值算得 ，故 矩估计值为 又样本似然函数 lnL=5ln2+9ln+11ln(1-)，令 解得 最大似然估计值为 25.假设 X 1 ，X 2 ，X 16 是来自正态总体 N(， 2 )的
19、简单随机样本， 为样本均值，S 2 为样本方差，如果 （分数：3.50）解析：4383 解析 要由 求 a，必须知道 的分布 由于 XN(， 2 )，故 ， 与 S 2 独立，所以 因此，由 知，4a 是 t(15)分布上 =0.95 的分位点 t 0.95 (15)，即 4a=t 0.95 (15)，由于 t 分布密度函数是关于 x=0 对称的，所以有 -t =t 1- ，4a=t 0.95 (15)=-t 0.05 (15)=-1.7531， 26.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 ， 2 均未知，现从中随机抽取 9 个零件测得样本均值和方差分别为 （分数：3.50）解析
20、： 和 8 解析 由 2 未知条件下，对 区间估计公式： 知 27.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自区间-a，a上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，则参数 a 的矩估计量为 1 （分数：3.50）解析： 解析 由于 EX=0，不能用一阶矩来估计 ，样本二阶矩为 即 28.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体为区间，+2上均匀分布的 X 的简单随机样本， 是样本均值，则未知参数 的矩估计量 （分数：3.50）解析：解析 矩估计有 故29.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，X 的概率密度为 ，-x+，0，则 的最大似然估计量 （分数：3.50）解析： 解
21、析 似然函数 两端取对数 解得 ，所以 30.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 N(， 2 )的简单随机样本，其中参数 2 未知记 ， ， （分数：3.50）解析： 解析 这是一个关于正态总体方差 2 的假设检验问题 在 已知时选用 2 检验统计量为 在 未知时选用 2 检验统计量为 31.假设 X 1 ，X 2 ，X 36 是取自正态总体 N(，0.04)的简单随机样本，其中 为未知参数记 ，如果对检验问题 H 0 ：=0.5，H 1 ：= 1 0.5，取检验否定域 D= （分数：3.50）解析：0021 解析 假设 H 0 成立，则总体 XN(0.5，0.04)， ，依题意 (30c-15)=0.95，即 30c-15=1.645 得 如果 H 1 := 1 =0.65 成立，则总体 XN(0.65，0.04)， 由题意
