1、考研数学一-249 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若当 x0 时，e tan x e x 与 x n 是同阶无穷小量，则 n=_（分数：4.00）A.1B.2C.3D.42.设 f(x)二阶可导，且当 x(0，+)时 f“(x)0，若 n 为自然数，则有不等式_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.幂级数 （分数：4.00）A.-1，+1B.-1，1)C.(-1，1D.(-1，1)4.己知空间区域 由 确定，连续函数 f(z)在区间0，2内，最大值为 18，最小值为 9若（分数：4.00）A.0I2B.2I
2、4C.4I8D.8I165.设 ，则关系式 |A|=|B|， AB， A （分数：4.00）A.1B.2C.3D.46.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 都是 4 维列向量，非齐次线性方程组 AX= 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 有通解 k1，-1，0，2 T +1，2，1，0 T ，则下列关系式中错误的是_（分数：4.00）A.1+22+3-=0B.-1+2-24=0C.21+2+3+24-=0D.-32-3+24=07.设事件 A，B 独立，事件 C 为“事件 A，B 中有且仅有一个发生”若满足 ，则 P(C)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 服从几
3、何分布，期望 E(X)=4，则 P(X3|X2)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若以三个三维向量 a，b，c 为棱构成的平行六面体的体积为 2，则以向量 a+b，b+c，c+a 为棱构成的平行六面体的体积为 1 （分数：4.00）10.若极限 （分数：4.00）11.设 f(x)，g(x)有连续的二阶导数，若 ，则 （分数：4.00）12.累次积分 （分数：4.00）13.设三阶矩阵 （分数：4.00）14.二维随机变量(X，Y)N(0，1，1，4，)，设 U=X-2Y 和 V=2X+Y，若 U，V 相互独立，则 = 1 （
4、分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，+)有连续导函数，若 求 （分数：10.00）_设a n 是首项为 1，满足 （分数：10.00）(1).求数列a n 的通项；（分数：5.00）_(2).求幂级数 （分数：5.00）_16.设 f(x)在(-，+)上可导，f(0)=0，且满足 =1+f(x) 2 ，证明： （分数：10.00）_17.设函数 f(x)在0，1上有连续的三阶导数，f(0)=1，f(1)=2， （分数：10.00）_设 P(x，y)具有连续的一阶偏导数，P(x，y)dx+(e y +x+xcosy)dy 是某二元函数的全微分，且对任
5、何 t，有 （分数：10.00）(1).求函数 P(x，y)；（分数：5.00）_(2).设 L 是椭圆 （分数：5.00）_设 A，B 是 n 阶矩阵，问（分数：11.01）(1).A 是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=E；（分数：3.67）_(2).A 是什么矩阵时，有 BE，使得 AB=A；（分数：3.67）_(3).当 （分数：3.67）_18.设 A，B，C 均是 n 阶方阵，满足 r(B)+r(C)=n，(A+E)C=0，B(A T -2E)=0 证明：AA，并求 A 及|A| （分数：11.00）_随机变量 X 服从区间(0，2)上的均匀分布，随机变量 Y 服从参数为 1 的
6、指数分布，X 和 Y 相互独立设（分数：11.00）(1).求 Z 的分布函数，（分数：5.50）_(2).求 E(Z)（分数：5.50）_设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：5.50）_(2).求 c 的值，使 cZ 为 的无偏估计量（分数：5.50）_考研数学一-249 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若当 x0 时，e tan x e x 与 x n 是同阶无穷小量，则 n=_（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 思路一：当 x0 时， 所以，当 x0
7、时， 可见 n=3 思路二：由于 ，其中 是非零常数，则 由上述关系可得，n=3，且 2.设 f(x)二阶可导，且当 x(0，+)时 f“(x)0，若 n 为自然数，则有不等式_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 易知 思路一： 因为 f“(x)0，且 故选项 A 成立，选项 B 不成立 另外 因为 所以选项 C 不成立，同理选项 D 也不成立 思路二：因为当 x(0，+)时 f“(x)0，所以(0，+)是曲线 y=f(x)的上凸区间其图形如下图所示 3.幂级数 （分数：4.00）A.-1，+1B.-1，1) C.(-1，1D.(-1，1)解析：解析 因为 所以，
8、收敛半径 r=1 当 x=-1 时，原级数变为交错级数 因为 ，所以|a n |单调减；又由 ，得 即有 ，符合莱布尼茨条件，所以 收敛 当 x=1 时，正项级数 发散因为 4.己知空间区域 由 确定，连续函数 f(z)在区间0，2内，最大值为 18，最小值为 9若（分数：4.00）A.0I2B.2I4C.4I8 D.8I16解析：解析 思路一：对三重积分做“先二后一”的积分计算： ： ， 由于 又 9f()18，所以 思路二：由积分的性质得 对三重积分 做“先二后一”的积分计算： 故 5.设 ，则关系式 |A|=|B|， AB， A （分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 观
9、察 B 和 A 的关系： 用初等矩阵表示，即为 E 13 AE 13 =B其中 则 |B|=|E 13 AE 13 |=|A|， 6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 都是 4 维列向量，非齐次线性方程组 AX= 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 有通解 k1，-1，0，2 T +1，2，1，0 T ，则下列关系式中错误的是_（分数：4.00）A.1+22+3-=0B.-1+2-24=0 C.21+2+3+24-=0D.-32-3+24=0解析：解析 有通解 7.设事件 A，B 独立，事件 C 为“事件 A，B 中有且仅有一个发生”若满足 ，则 P(C)=_ A B C D （分数：4.00
10、）A.B. C.D.解析：解析 “事件 A，B 中有且仅有一个发生”，即 的并，且 ，则 8.设 X 服从几何分布，期望 E(X)=4，则 P(X3|X2)=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 E(X)=4 可知几何分布的参数为 ，即每次伯努利试验成功的概率 p= ，几何分布具有记忆性，即对于非负整数 s，t，有 P(Xs+t|Xs)=P(Xt)，则 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若以三个三维向量 a，b，c 为棱构成的平行六面体的体积为 2，则以向量 a+b，b+c，c+a 为棱构成的平行六面体的体积为 1 （分数：4.00）解析：4 解析
11、 由己知得 a(bc)=2，平行六面体的体积为 (a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(bc+ba+cc+ca) =(a+b)(bc+ba+ca) =(a，b，c)+(b，c，a) =2(a，b，c)=410.若极限 （分数：4.00）解析： 解析 令 ，则原极限可化为 因上述极限存在，当 u0 时，上式分子必趋于零，得 b=-1，从而 因上述极限存在，所以 3a=-1， ，则 11.设 f(x)，g(x)有连续的二阶导数，若 ，则 （分数：4.00）解析：xf“(x) 解析 依题 故 12.累次积分 （分数：4.00）解析： 解析 13.设三阶矩阵 （分数：4.00）解析：a=-2b 解
12、析 对于三阶矩阵 A，由 r(A * )=1，得 r(A)=3-1=2 对 A 作初等行、列变换 因 r(A)=2，故 a=-2b 且 ab，即 a=-2b(0)(因为 a=b 14.二维随机变量(X，Y)N(0，1，1，4，)，设 U=X-2Y 和 V=2X+Y，若 U，V 相互独立，则 = 1 （分数：4.00）解析：-1 解析 因为(X，Y)服从正态分布，所以(U，V)也服从正态分布，U，V 相互独立与 U，V 不相关等价，即 U，V 协方差为 0，所以 cov(U，V)=E(UV)-E(U)E(V) =E(X-2Y)(2X+Y)-E(X-2Y)E(2X+Y) =E(2X 2 -2Y 2
13、 -3XY)-E(X)-2E(Y)2E(X)+E(Y) =2E(X 2 )-2E(Y 2 )-3E(XY)-E(X)-2E(Y)2E(X)+E(Y)=0， 其中 E(X)=0，D(X)=1，E(Y)=1，D(Y)=4， E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =1+0=1，E(Y 2 )=D(Y)+E(Y) 2 =4+1=5， 由 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在0，+)有连续导函数，若 求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：记 ，则 q(x)是0，+)上的连续函数， 关于 f(x)的方程 是一阶线性非齐次微分方程 设 ，则有 ， 故 由 u(x)表达式，
14、得 ，则 设a n 是首项为 1，满足 （分数：10.00）(1).求数列a n 的通项；（分数：5.00）_正确答案：()解析：由已知，得 则 或 a n+1 =-a n =(-1) 2 a n-1 =(-1) n a 1 =(-1) n ， n=1，2， 由于a n 收敛，所以 (2).求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：幂级数 ，显然，其收敛域是-1，1 和函数为 或 则 16.设 f(x)在(-，+)上可导，f(0)=0，且满足 =1+f(x) 2 ，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 设 ，则 y(0)=0，y“(0)=f(0)=0，y“(x)=f(
15、x)，y“(x)=f“(x) 求 y(x)的问题变成二阶微分方程初值问题： 这是缺自变量的可降阶方程，令 y“(x)=p(y)，则 问题变成： 先考虑 由方程 也推出同样结果， 由泰勒级数可知 17.设函数 f(x)在0，1上有连续的三阶导数，f(0)=1，f(1)=2， （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 在 处，将 f(x)展开成二阶带拉格朗日余项的泰勒公式： 式-式得 由于 f“(x)在(0，1)中连续，由介值定理知，存在 ( 0 ， 1 ) (0，1)使得 设 P(x，y)具有连续的一阶偏导数，P(x，y)dx+(e y +x+xcosy)dy 是某二元函数的全微分，且对任
16、何 t，有 （分数：10.00）(1).求函数 P(x，y)；（分数：5.00）_正确答案：()解析：P(x，y)dx+(e y +x+xcosy)dy 是某函数的全微分 又 (2).设 L 是椭圆 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由于 P(x，y)dx+(e y +x+xcosy)dy=(y+siny+e x )dx+(e y +x+xcosy)dy =(y+siny)dx+(x+xcosy)dy+e x dx+e y dy =d(xy+xsiny)+d(e x +e y ) =d(xy+xsiny+e x +e y ) 所以有 设 A，B 是 n 阶矩阵，问（分数：11.01）(1
17、).A 是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=E；（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 A 可逆时，若 AB=A，必有 B=E因 A 可逆时，AB=A 两边左乘 A -1 ，即有 B=E(2).A 是什么矩阵时，有 BE，使得 AB=A；（分数：3.67）_正确答案：()解析：当 A 不可逆时，存在 BE，使得 AB=A因 A 不可逆时，AB=A，即 A(B-E)=0，此时，Ax=0 有非零解将 Ax=0 的非零解合并成方阵，设为 1 ， 2 ， n ，并令 1 ， 2 ， n =B-E，则 B= 1 ， 2 ， n +EE，使 AB=A(3).当 （分数：3.67）_正确答案：()解析
18、：解 Ax=0 r(A)=2Ax=0 有通解 ，则 ，则有 ，令 18.设 A，B，C 均是 n 阶方阵，满足 r(B)+r(C)=n，(A+E)C=0，B(A T -2E)=0 证明：AA，并求 A 及|A| （分数：11.00）_正确答案：()解析：证明 r(B)+r(C)=n 若 r(B)=n，则 B 可逆由 B(A T -2E)=0，两边左乘 B -1 ，得 A T =2E=A，故 A=2E，且|A|=2 n 若 r(C)=n，则 C 可逆，由(A+E)C=0，右乘 C -1 ，得 A+E=0，A=-E，即 A-E， |A|=(-1) n 若 r(B)n，r(C)n，因 r(B)+r(
19、C)=n，设 r(B)=r，则 r(C)=n-r 由(A+E)C=0 知，A 有 =-1，且至少有 n-r 个线性无关的特征向量(因 r(C)=n-r，C 中有 n-r 列线性无关，且是 A 的对应于 =-1 的特征向量)故 =-1 至少是 n-r 重根 由 B(A T -2E)=0，两边转置，得(A-2E)B T =0知 A 有 =2，且至少是 r 重根，B T 的 r 个线性无关列向量即是 A 的对应于 =2 的特征向量 由，知，=-1 是 n-r 重根，=2 是 r 重根，从而可知 A 有 n 个线性无关的特征向量，A且 随机变量 X 服从区间(0，2)上的均匀分布，随机变量 Y 服从参
20、数为 1 的指数分布，X 和 Y 相互独立设（分数：11.00）(1).求 Z 的分布函数，（分数：5.50）_正确答案：()解析：当 z0 时，Z 的分布函数 F Z (z)=0 当 z0 时，分三段(0，1，(1，2，(2，+)来考虑 F Z (z) 当 0z1 时， 当 1z2 时， 当 z2 时， 综上，得 (2).求 E(Z)（分数：5.50）_正确答案：()解析：随机变量 Z 的密度函数为 设总体 X 的概率密度函数为 （分数：11.00）(1).求 的最大似然估计量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：依题得似然函数 L()在(0，minx 1 ，x 2 ，x k 上关于 是严格增的正函数，在(minx 1 ，x 2 ，x 4 ，+)上为零所以 的最大似然估计量 (2).求 c 的值，使 cZ 为 的无偏估计量（分数：5.50）_正确答案：()解析：当 z 时，Z=minX 1 ，X 2 ，X n 的概率分布函数为 当 z 时，F(z)=0 Z 的概率密度函数为 于是 ， 所以当
