1、考研数学一-221 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列函数中在区间-2，3上不存在原函数的是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设随机变量 XiB(i，0.1)，i=1，2，15，且 X1，X 2，X 15相互独立，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.矩阵 的等价标准形是（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(0)=1， 为常数且 0，则（分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1， 2， 3是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+ 2- 3=(2，0，-5，4) T， 2
2、+2 3=(3，12，3，3) T， 3-2 1=(2，4，1，-2) T，则方程组 Ax=b 的通解 x=（分数：4.00）A.B.C.D.6.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0， y0)=0，F y(x0，y 0)0，F“ xx(x0，y 0)0由方程 F(x，y)=0 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(xn)=y0，则（分数：4.00）A.y(x)以 x=x0为极大值点B.y(x)以 x=x0为极小值点C.y(x)在 x=x0不取极值D.无法判断上述结论是否成立7.已知随机变量 （分数：
3、4.00）A.B.C.D.8.下列三个命题 设 的收敛域为(-R，R)，则 的收敛域为(-R，R)；设幂级数 在 x=-1 条件收敛，则它的收敛半径 R=1；设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_10.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 是由曲面 y2+z2=1，|x+y|=1，|x-y|=1 围成，则 的体积 V=
4、_（分数：4.00）填空项 1:_13.设向量 在基 1=(1，-2，1) T， 2=(1，2，-1) T， 3=(0，1，-2) T下的坐标是(1，0，2) T，那么 在基 1=(1，0，1) T， 2=1，1，-1) T， 3=(0，1，0) T下的坐标是_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设每次试验的成功率为 p(0P1)，不断进行独立重复试验，直到首次成功为止令随机变量（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设函数 f(x)在(0，+)内可导，（分数：11.00）_16.作变换 t=tanx，把方程（分数：11.00）_17.求函数 （分数：11.00
5、）_18.设曲面积分其中 S+为上半椭球面 的上侧()求证： 其中 是上半椭球体：（分数：11.00）_19.设 u=u(x，y)在全平面有连续偏导数，()作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，求 的关系式；()若 求证：u(x，y)为常数；()若 （分数：11.00）_20.已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，0) T，()求矩阵 A；()如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公
6、共解（分数：11.00）_21.已知 （分数：11.00）_22.今有 2n 个同型号电子元件设计以两种不同方案组装在线路中(见图 1 与图 2)假设各元件独立工作且它们都服从期望值为 1(单位：万小时)的指数分布，试比较两个不同方案的线路正常工作的平均时间（分数：11.00）_23.假设总体 X 的概率密度为其中 为未知参数，且 X1，X 2，X n是来自总体 X 的一个简单随机样本()求参数 的最大似然估计量 ;()验证 （分数：11.00）_考研数学一-221 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列函数中在区间-2，3上不存
7、在原函数的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 我们知道连续函数一定*原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则其余的一个就被选中(A) 存在原函数显然，x0 时 f(x)连续，又因为*f(x)在点 x=0 处连续因此 f(x)在-2，3上连续*f(x)在-2，3上*原函数(B) 存在原函数因为*在-2，3上连续*f(x)在-2，3上*原函数(D)存在原函数因为，g(x)在-2，3上有界，除 x=1 外连续*g(x)在-2，3上可积*上连续*综上分析，应选(C)分析二 直接证明(C)中给出的 f(x)在-2，3上不*原函数显然，当 x0 时，f(x)连续；当 x=0 时，由于*可知
8、 x=0 是 f(x)的第一类间断点*f(x)在-2，3上不*原函数因此，应选(C)*2.设随机变量 XiB(i，0.1)，i=1，2，15，且 X1，X 2，X 15相互独立，则 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由题设知 EXi=0.1i，DX i=0.09i，i=1，2，15，则*于是由切比雪夫不等式，有*故选(A)3.矩阵 的等价标准形是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 矩阵 A 与 B 等价是指 A 经过初等变换可得到矩阵 B等价的前提条件是 A 和 B 要同型所以选项(C)肯定不正确要找到矩阵 A 的等价标准形就是要求出矩阵 A 的秩本题中如果 r(A)
9、=2，则选(A)；如果 r(A)=3，则选(B)；如果秩 r(A)和 a 有关，则选(D)对矩阵 A 作初等变换*因为 a 和 a+3 不可能同时为 0，所以 3 阶子式*中至少有一个不为 0，那么*必有秩 r(A)=3，故应选(B)4.设 f(0)=1， 为常数且 0，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由 f(0)=1 及导数定义有*于是，将原式改写成*因此，应选(B)5.设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1， 2， 3是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+ 2- 3=(2，0，-5，4) T， 2+2 3=(3，12，3，3) T， 3-2 1=(2，4，1，-2
10、) T，则方程组 Ax=b 的通解 x=（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由于 n-r(A)=4-2=2，故方程组 Ax=b 的通解形式应为 +k 1 1+k2 2这样可排除(C)，(D)因为*所以(A)中(1，4，1，1) T和(B)中(-2，-4，-1，2) T都是方程组 Ax=b 的解(A)和(B)中均有(2，2，-2，1) T，因此它必是 Ax=0 的解只要检验(1，-4，-6，3) T和(1，8，2，5) T哪一个是 Ax=0 的解就可以了由于 3( 1+ 2- 3)-( 2+2 3)=3( 1- 3)+2( 2- 3)是 Ax=0 的解，所以(3，-12，-18，9)
11、 T是 Ax=0 的解那么(1，-4，-6，3) T是 Ax=0 的解故应选(A)6.设函数 F(x，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0， y0)=0，F y(x0，y 0)0，F“ xx(x0，y 0)0由方程 F(x，y)=0 在 x0的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(xn)=y0，则（分数：4.00）A.y(x)以 x=x0为极大值点B.y(x)以 x=x0为极小值点 C.y(x)在 x=x0不取极值D.无法判断上述结论是否成立解析：分析 按隐函数求导法，y(x)满足*令 x=x0，相应地 y=y0得 y(x0
12、)=0将上式再对 x 求导(注意 y=y(x)得*再令 x=x0，相应地 y=y0得*因此，x=x 0是 y=y(x)的极小值点故选(B)7.已知随机变量 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 经计算得P(A)=P(B)=P(C1)=P(C2)=0.5，P(AB)=P(AC1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=0.25，P(ABC1)=0.25， p(ABC 2)=0，由此验证知(D)正确应选(D)8.下列三个命题 设 的收敛域为(-R，R)，则 的收敛域为(-R，R)；设幂级数 在 x=-1 条件收敛，则它的收敛半径 R=1；设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，则
13、（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 此类选择题必须逐一判断关于命题：对幂级数*逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能起变化如*的收敛域为(-1，1)，但*的收敛域是-1，1)关于命题：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确记该幂级数的收敛半径为 R若 R1，由于*绝对收敛*绝对收敛，与已知矛盾若 R1，由*发散*发散，也与已知矛盾因此，R=1关于命题：当 R1R 2时，R=min(R 1，R 2)，于是要考察 R1=R2的情形设有级数*易求得它们的收敛半径均为 R1=R2=1但*的收敛半径为 R=2因此命题不正确综上所述，应选(B)*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9
14、.设 x0 时， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 按题意，*为先求 f(x)，将*求导得*分析二 同前，求出*令 x=sint，则*由 F(1)=0，定出*10.设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析一 由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x2-x=0 确定的满足 y(1)=-1 的连续函数在 x=1 邻域必有连续的导数，将方程对 x 求导得2yy+y+xy+2x-1=0，解出*于是*分析二 由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x2-x=
15、0 确定的满足 y(1)=-1 的隐函数二次连续可导，且2yy+xy+y+2x-1=0， (*)在(*)式中令 x=1，y(1)=-1 可得 y(1)=0将(*)式再对 x 求导一次，得2yy“+2y2+y+xy“+y+2=0 (*)在(*)式中令 x=1，y(1)=-1，y(1)=0 可得*利用洛必达法则和 y(1)=-1，y(1)=0，y“(1)=2 可得*分析三 如同分析二求出 y(1)=0，y“(2)=2 后，用泰勒公式得*即*于是*11.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由 F(x)在(-，+)上连续，且*由于 F(0)=0，又*因此，函数 F(x)
16、的值域区间是*12.设 是由曲面 y2+z2=1，|x+y|=1，|x-y|=1 围成，则 的体积 V=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 在 xOy 平面上的投影区域 Dxy是由 xOy 平面上的曲线|x+y|=1 与|x-y|=1 围成，见图于是 表示为* 的体积*Dxy在第一象限部分记为 D1，由对称性得*其中 D1：0y1，0x1-y于是*13.设向量 在基 1=(1，-2，1) T， 2=(1，2，-1) T， 3=(0，1，-2) T下的坐标是(1，0，2) T，那么 在基 1=(1，0，1) T， 2=1，1，-1) T， 3=(0，1，0) T下的坐
17、标是_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1，2，-2) T）解析：分析 据已知 = 1+2 3=(1，0，-3) T，对于 x1 1+x2 2+x3 3= 有*解出 x1=-1，x 2=2，x 3=-2所以向量 在基 1， 2， 3下的坐标是(-1，2，-2) T评注 本题用坐标的概念来求解简捷，当然也可用坐标变换公式用过渡矩阵来求解.作为复习建议同学求出过渡矩阵.14.设每次试验的成功率为 p(0P1)，不断进行独立重复试验，直到首次成功为止令随机变量（分数：4.00）_解析：分析 设 X 表示取得首次成功所需进行的试验次数，则 X 服从几何分布，即PX=n三、解答题(总题
18、数：9，分数：99.00)15.设函数 f(x)在(0，+)内可导，（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()题设中等式左端的极限为 1 型，先转化成*由导数的定义及复合函数求导法得*于是*即*积分得*即*由*得 C=1因此*()证法 1 因 f(x)在(0，+)连续，又*所以 f(x)在(0，+)上有界证法 2 当 x(0，+)时显然有*即 f(x)在(0，+)上有下界为证明 f(x)在(0，+)上也有上界可利用熟知的不等式：当*从而当 0*时直接可得*故当 x(0，+)时 f(x)1 成立综合得当x(0，+)时 0f(x)1 成立*)解析：16.作变换 t=tanx，把方程（分数：
19、11.00）_正确答案：(分析与求解 ()先求*将它们代入原方程得*即*()求解这个常系数线性方程：相应的特征方程 2+2+1=0，有重特征根 =-1非齐次方程的特解 y*=t-2因此方程(*)的通解为 y=(C 1+C2t)e-t+t-2()原方程的通解为 y=(C 1+C2tanx)e-tanx+tanx-2)解析：17.求函数 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 用分解法求 f(x)的展开式先将 f(x)分解，即*由*)解析：18.设曲面积分其中 S+为上半椭球面 的上侧()求证： 其中 是上半椭球体：（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()由题设 S+的方程，J 可
20、简化成*要将曲面积分 J 化为三重积分，可用高斯公式由于 S+不是封闭曲面，故要添加辅助面*取法向量 n 向下，*所围的区域记为 ，它的边界取外侧，于是在 上用高斯公式得*其中*上的曲面积分为零，因为*与 yz 平面及 zx 平面均垂直，又在*上 z=0()求曲面积分 J 转化为求题()中的三重积分怎样计算这个三重积分：*因为 是半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换我们用先二(先对 x，y 积分)后一(后对 z 积分)的积分顺序求*由于 z0，c，与 z 轴垂直的平面截力得区域 D(z)为*又这个椭圆的两个半轴分别为*面积是*于是*可以用同样方法计算*但是，由坐标的轮换对称性，有 J 1=
21、J2=J3.*)解析：19.设 u=u(x，y)在全平面有连续偏导数，()作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，求 的关系式；()若 求证：u(x，y)为常数；()若 （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()由复合函数求导法*()由题()，*又 u(rcos，rsin)对 r 在0，+)上连续*()由题()，有*对 r 从 R 到 r 积分得*注意，u(Rcos，Rsin)对 0，2上连续，故有界又*从而*因此*)解析：20.已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解
22、系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，0) T，()求矩阵 A；()如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解（分数：11.00）_正确答案：(解 ()记 C=( 1， 2)，由 AC=A( 1， 2)=0 知 CTAT=0，则矩阵 AT的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTx=0 的解对 CT作初等行变换，有*得到 CTx=0 的基础解系为： 1=(3，-1，1，0) T， 2=(-5，1，0，1) T所以矩阵*()设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的非零公共解为 ，则 既可由 1， 2线性表出，也可由 1， 2
23、线性表出，故可设=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2，于是 x 1 1+x2 2+x3 1+x4 2=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有*当 0=0 时，解出 x4=t，x 3=-t，x 2=-t，x 1=2t因此 Ax=0 与 Bx=0 的公共解为 =2t 1-t 2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为任意常数)解析：评注 矩阵 A 的答案不唯一.21.已知 （分数：11.00）_正确答案：(解 由矩阵 A 的特征多项式*得到 A 的特征值是 1=1-a， 2=0， 3=a+1由(1-a)E-Ax=0，*得到属于 1=1-a 的特征向量是 1=k1(1，0，1) T，
24、k 10由(aE-A)x=0，*得到属于 2=a 的特征向量是 2=k2(1，1-2a，1) T，k 20由(a+1)E-Ax=0，*得到属于 3=a+1 的特征向量 13=k3(2-a，-4a，a+2) T，k 30如果 1， 2， 3互不丰目同，即 1-aa，1-aa+1，aa+1，即*且 a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A 可以相似对角化若*此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化若*此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化*)解析：22.今有 2n 个同型号电子元件设计以两种不同方案组装在线路中(见图 1 与图 2)假设各元件独立工作且
25、它们都服从期望值为 1(单位：万小时)的指数分布，试比较两个不同方案的线路正常工作的平均时间（分数：11.00）_解析：23.假设总体 X 的概率密度为其中 为未知参数，且 X1，X 2，X n是来自总体 X 的一个简单随机样本()求参数 的最大似然估计量 ;()验证 （分数：11.00）_正确答案：(记样本的似然函数为 L()，对于总体 X 的样本值 x1，x 2，x n，其似然函数*当 xi0 时(i=1，2，n)，对 L()取对数并对 求导数，得*令(1nL)=0，得驻点*不难验证*就是 L()的最大值点，因此 的最大似然估计量为*()首先求 lnX 的分布*由于被积函数 f(s)恰是正态分布 N(，1)的密度，因此随机变量 1nX 服从正态分布 N(，1)，即ElnX=，*的无偏估计量*)解析：
