1、考研数学一-183 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布如下表所示（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在(-，+)内二阶可导且 f“(x)0，则 有（分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.4.下列命题 若 则 发散 若 收敛，则 收敛 若 收敛 设 an0(n=1，2，)，并存在极限 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知累次积分 其中 a0 为常数，则，可写成（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1， 2， 3， 4
2、是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：4.00）A. 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1B. 1， 2+ 3， 2- 3， 4C. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4- 1D. 1， 2+ 3， 1+ 2+ 37.设 X，y 为随机变量， 则 Pmin(X，Y)0=（分数：4.00）_8.下列二元函数中在点(0，0)处可微的是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 a 为常数，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 (2xsiny+3x
3、2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_12.若 的收敛域是(-8，8，则 （分数：4.00）13.已知二次曲面 x2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a-2)yz=1 是椭球面，则 a 的取值为_（分数：4.00）填空项 1:_14.在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为 -|_|-（分数：4.00）_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知由参数方程 （分数：11.00）_16.设 f(x)在0，2内二阶连续可导，且 f(1)=0
4、，证明：()()() （分数：11.00）_17.设 F(u，v)有连续的偏导数，a，b，c 为常数，Fi u，F v不同时为零，方程 确定隐函数z=z(x，y)()求 （分数：11.00）_18.设，(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 在全平面与路径无关，且（分数：11.00）_19.设 f(x，y)在区域 D：x 2+y21 上有二阶连续偏导数，且设 Cr是以原点为心，半径为 r 的圆周，取逆时针方向，求（分数：11.00）_20.设 且 B=P-1AP()求矩阵 A 的特征值与特征向量；()当 （分数：11.00）_21.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2
5、 线性无关，且 A3=3A-2A 2证明：()矩阵 B=(，A，A 4)可逆；()B TB 是正定矩阵（分数：11.00）_22.设随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，D=(x，y)|0x2，0y2，令 U=(X+Y)2，试求 EU 与 DU（分数：11.00）_23.求函数 （分数：6.00）_考研数学一-183 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布如下表所示（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 从题设条件可得EX=EY=0， EXY=a-a+a=0，cov(X，Y)
6、=EXY-EXEY=0， p=0，即 X 与 Y 不相关，故应选(A)进一步分析，X 2与 Y2的联合概率分布应为*EX2=4a+2b EY 2=6a EX 2Y2=4a对于选项(B)：X 2与 Y2不相关*与 6a+2b=1 且 b0 相矛盾，故选项(B)不成立对于选项(C)和(D)：X+Y 与 X-Y 不相关*X2+Y2与 X2-Y2不相关*若令 a=0.15，b=0.05，ab，则 X+Y 与 X-Y 相关且 X2+Y2与 X2-Y2也相关，故选项(C)与(D)均不成立二、填空题2.设 f(x)在(-，+)内二阶可导且 f“(x)0，则 有（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析
7、这是比较三个数*的大小问题已知 f“(x)0 *f(x)单调上升，于是设法转化为比较导数值这是可以办到的，只要对上述两个改变量之比用拉格朗日中值定理：*，其中 x-h1x；*，其中 xx+h 2由 f(x)在(-，+)单调上升*因此选(B)3.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 对行列式|A|按第 2 行展开，有2A21+2A22+A23+A24=9 构造行列式*则|A|和|B|第 2 行元素代数余子式相同对|B|按第 2 行展开，又有A21+A22+2A23+2A24=|B|=0联立，可得 A 21+A22=6故选(B)4.下列命题 若 则 发散 若 收敛，则 收敛 若 收
8、敛 设 an0(n=1，2，)，并存在极限 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一 这 4 个命题中有两个正确，两个错误，因此只须断定其中的两个是正确的或错误的即可易知命题是错误的，即添加了括号后的级数*收敛，推不出原级数收敛例如*发散，但*命题也是错误的对于正项级数*不能保证*可能有*此时比值判别法失效如*发散因此，正确故应选(D)分析二 显然是正确的由于*自然数 N，当 nN 时*这表明 nN 时 an同号，不妨设 an0，这正是正项级数比值判别法的极限形式，由*发散对于命题，同样由比较原理的极限形式，因*极限*若 l0，则*发散因而由*收敛，得 l=0，即*，故命题正
9、确综上分析，应选(D)5.已知累次积分 其中 a0 为常数，则，可写成（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 这是把极坐标系下的累次积分转换成 Oxy 直角坐标系下的累次积分的问题先将 I 表成*由 D 的极坐标表示*即 r 2=x2+y2arcos=ax，可知 D：*如图若是先 y 后 x 的积分顺序，则 D：0xa，*于是*故应选(C)6.设 1， 2， 3， 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么 Ax=0 的基础解系还可以是（分数：4.00）A. 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1B. 1， 2+ 3， 2- 3， 4 C. 1+ 2， 2+ 3， 3- 4， 4
10、- 1D. 1， 2+ 3， 1+ 2+ 3解析：分析 齐次方程组 Ax=0 的基础解系有三层含义：它们是 Ax=O 的解；它们线性无关；向量个数t=n-r(A)根据齐次方程组解的性质，我们知(A)，(B)，(C)，(D)均是 Ax=O 的解；由已知条件 Ax=0 的基础解系由 4个线性无关的解所构成，而(D)中只有 3 个，不合要求；用观察法易见(A)，(C)均线性相关，故应选(B)注意：*或*由*相关7.设 X，y 为随机变量， 则 Pmin(X，Y)0=（分数：4.00）_解析：分析 设 A=X0，B=Y08.下列二元函数中在点(0，0)处可微的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析
11、：分析 这几个函数均有 f(0，0)=0按可微定义，若 f(0，0)=0，则f(x，y)在点(0，0)处可微且*即无穷小量(0)，其中*(B) 中的 f(x，y)满足：*因此，(B)中的 f(x，y)在点(0，0)处可微故应选(B)*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 a 为常数，则数列极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a）解析：分析一 由积分中值定理知，在 n 与 n+a 之间*，使得*当 n+时 +，于是*分析二 对变限积分函数*用拉格朗口中值定理得*分析三 x1 时考察*的单调性：*现不妨设 a0，则*又*因此*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （
12、正确答案：*）解析：分析 先分解并凑微分，即*对上式第二项积分用分部积分法得*方法 1 用凑微分法求*即*因此*方法 2 用另一凑微分法求*即*因此*11.微分方程 (2xsiny+3x 2y)dx+(x3+x2cosy+y2)dy=0 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 这不是一阶线性方程与变量可分离方程，也不是齐次方程与伯努利方程，因此，考察其是否是全微分方程将方程表为 Pdx+Qdy=0，因在全平面上*所以是全微分方程，求通解归结为求 Pdx+Qdy 的原函数 u(x，y)方法 1 凑微分法由于(2xsiny+3x2y)dx+(x3+x2cosy+y2
13、)dy*因此，通解为*其中 C 为*常数方法 2 不定积分法由*对 x 积分得u=x2siny+x3y+C(y)又由*得*因此得通解*其中 C 为*常数12.若 的收敛域是(-8，8，则 （分数：4.00）解析：分析 由*的收敛域是(-8，8可知，*有收敛域-8x 38 即-2x2幂级数*的收敛半径是 2，从而幂级数*的收敛半径也是 2又因幂级数*是幂级数*两次逐项求导所得，由幂级数的分析性质，幂级数*的收敛半径是 2*13.已知二次曲面 x2+4y2+3z2+2axy+2xz+2(a-2)yz=1 是椭球面，则 a 的取值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1，2)）解析：
14、分析 二次曲面 f=1 是椭球面*由二次型矩阵*有其顺序主子式 1=1，* 3=|A|=2(2+a-a2)0，故当 a(-1，2)时，顺序主子式全大于 0，即 f 正定14.在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为 -|_|-（分数：4.00）_解析：分析 如图弦 AB 与 x 轴垂直，设其交点为 x，依题意该交点在横轴 x 上的位置是等可能的这是一个几何型概率问题设事件 C 表示“弦 AB 的长度|AB|大于 1”，依题意 C 的样本点集合为C=x：|AB|=*样本空间 =z：|x|1三、解答题(总题数
15、：9，分数：94.00)15.已知由参数方程 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()由 x=arctant 知，*由 y=ln(1-t2)-siny 知，*(y+siny 单调上升)为求*需先求*由参数方程得*于是*其中 0 是充分小的数因此，点 x=0 是 y=f(x)的极大值点()为考察凹凸性，还需求*将*求导，注意*于是*由*的连续性，*某邻域即 x=0 某邻域可知*因此 y=f(x)在点 x=0 的某邻域是凸的)解析：16.设 f(x)在0，2内二阶连续可导，且 f(1)=0，证明：()()() （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()这里用二阶导数来表示定积分值
16、，一个自然的想法是用分部积分法按要证的结论(也为了利用条件 f(1)=0)，先将0，2上的积分表成0，1上的积分与1，2上的积分之和*()函数与其二阶导数之间的关系可用一阶泰勒公式来描述因此，另一自然的想法是用泰勒公式由于题中给出条件 f(1)=0，我们考虑 f(x)在 x=1 处的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，即*其中 在 1 与 x 之间于是*()用题()的结论，有*或用题()的结论，有*)解析：17.设 F(u，v)有连续的偏导数，a，b，c 为常数，Fi u，F v不同时为零，方程 确定隐函数z=z(x，y)()求 （分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()方法 1 方程两边分
17、别对 x，y 求偏导数，注意 z=z(x，y)，由复合函数求导法得*方程两边同乘(z-c) 2后分别解出*因此*方法 2 方程两边求全微分，由微分法则得*即*化简得*于是*因此，*()曲面 z=z(x，y)上*点(x，y，z)处的法向量*，于是切平面方程是*其中(X，Y，Z)是切平面上的动点按题()的结论，该切平面经过点(a，b，c)，即*)解析：18.设，(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分 在全平面与路径无关，且（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 ()*在全平面与路径无关*积分得 f(x，y)=siny+C(x)()求 f(x，y)转化为求 C(x)方法 1f(x，y)dx+
18、xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx*即* sint2+2t2cost2+C(t)=2t因此 f(x，y)=siny+2x-sinx 2-2x2cosx2方法 2 取特殊路径如图所示*即*C(t)=2t-sint2-2t2cost2因此 f(x，y)=siny+2x-sinx 2-2x2cosx2)解析：19.设 f(x，y)在区域 D：x 2+y21 上有二阶连续偏导数，且设 Cr是以原点为心，半径为 r 的圆周，取逆时针方向，求（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 记 Cr围成的圆域为 Dr，从线积分*的形式看，可在 Dr上用格林公式，将此线积分化为二重积分，
19、即*因此，*)解析：20.设 且 B=P-1AP()求矩阵 A 的特征值与特征向量；()当 （分数：11.00）_正确答案：(解 ()由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值 1= 2=1， 3=-3由齐次线性方程组(E-A)x=0，*得基础解系 1=(-4，1，2) T由齐次方程组(-3E-A)x=0，*得基础解系 2=(-2，1，1) T因此，矩阵 A 关于特征值 1= 2=1 的特征向量为 k1(-4，1，2) T，k 10；而关于特征值 =-3 的特征向量为 k2(-2，1，1) T，k 20()*() 由 P-1AP=B 有 P-1A100P=B100，故 A100=PB100
20、P-1又*于是*)解析：评注 *21.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2证明：()矩阵 B=(，A，A 4)可逆；()B TB 是正定矩阵（分数：11.00）_正确答案：(证明 ()由于 A3=3A-2A 2，故A4=3A 2-2A 3=3A 2-2(3A-2A 2)=7A 2-6A若 k 1+k 2A+k 3A4=0，即 k1+k 2A+k 3(7A2-6A)=0，亦即 k 1+(k2-6k 3)A+7k 3A2=0，因为 ，A，A 2 线性无关，故*所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵 B 可逆()因为(B TB)T=BT(BT
21、)T=BTB，故 BTB 是对称矩阵又*z0，由于矩阵曰可逆，恒有 Bx0，那么恒有xT(BTB)x=(Bx)TT(Bx)0，故二次型 xT(BTB)x 是正定二次型，从而矩阵 BTB 是正定矩阵)解析：评注 *22.设随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，D=(x，y)|0x2，0y2，令 U=(X+Y)2，试求 EU 与 DU（分数：11.00）_正确答案：(分析 求一个随机变量 u 的数字特征，可以先求出 U 的概率密度，再计算 EU 与 DU解法一 令 V=X+Y，先求 V 的分布函数 F(v)与密度函数 f(v)*其中，D 1与 D2如图所示于是*故*又*因此*解法二 直接应用随机变量函数的期望公式：若(X，Y)f(x，y)，则有*具体到本题*()设至多试验 n 次，y 为 n 次中正面出现的次数，显然 YB(n，0.5)，EY=0.5n，DY=0.25n，于是*即*故最多试验 6232 次即可)解析：23.求函数 （分数：6.00）_正确答案：(分析与求解 用分解法求 f(x)的展开式先将 f(x)分解，即*由*)解析：
