1、考研数学一-162 及答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设三元方程为 x2y-2zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，2)的一个邻域，在此邻域内，该方程A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数：z=z(x，y)B可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：y=y(x，z)和 z=z(x，y)C可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：x=x(y，z)和 z=z(x，y)D可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：x=x(y，2)和 y=y(x，z)
2、（分数：4.00）A.B.C.D.4.设有无穷级数 则A若 ，则 至少有一个收敛B若 ，则 至少有一个发散C若 ，则由 收敛，可推得 收敛D若 ，则由 发散，可推得 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设矩阵 Amn的秩 r(A)=mn，E m为 m 阶单位矩阵，则下列结论中正确的是AA 的任意 m 个列向量必线性无关BA 的任意 m 阶子式不等于零C若矩阵 B 满足 BA=O，则 B=ODA 通过初等行变换，必可以化为(E m,O)的形式（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A，B，C，D 是 4 个四阶矩阵，其中 AO，|B|0，|C|0，DO，且满足 ABCD=O，若 r(A)+r
3、(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是Ar10 B10r12C12r16 D10r16（分数：4.00）A.B.C.D.7.(77 设 A，B 独立，C 为任一事件，则下列命题正确的是AAC 与 BC 独立BAC 与 BC 独立C若 C 与 AB，AB 分别独立，则 C 与 AB+AB 独立D若 C 与 A，A-B 分别独立，则 C 与 B 独立（分数：4.00）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是AX，Y 一定相互独立BX，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从于一维正态分布CX，Y 分别服从于一维正态分布D当相关系数 =0 时，
4、X，Y 相互独立（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 y=xsinx 在 （分数：4.00）填空项 1:_11.设幂极数 的收敛域为(-4，2)，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶方阵，且|A|=2，则|2(A *)-1|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.假设随机变量 X 和 Y 独立服从参数为 的泊松分布，令 U=2X+Y，V=2X-Y，则 U 和 V 的相关系数=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9
5、，分数：100.00)15.设函数 f(x)满足 f(1)=1，且对 x1，有试证极限 存在，且极限值小于 （分数：10.00）_16.假定下列微分方程初值问题有唯一解，试确定 u(t)：（分数：10.00）_17.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：10.00）_18.已知曲线积分 （分数：10.00）_19.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(1)， （分数：10.00）_20.已知向量组 1=0，1，-1 T， 2=a，2，1 T， 3=b，1，0 T与向量组 1=1，2，-3T， 2=3，0，1 T， 3=9，6，-7 T具有相同的秩，且 1， 2，
6、3可由 3线性表出，求 a，b 的值（分数：10.00）_已知二次型 （分数：20.00）(1).求正交变换矩阵 Q，使得通过变换 X=Qy，化此二次型为标准型；（分数：10.00）_(2).计算*（分数：10.00）_21.设二维随机向量(X，Y)在边长为 1 的正方形区域内服从均匀分布，该正方形的中心在坐标原点，对角线在坐标轴上()求(X，Y)的联合密度 f(x，y)；()求 X 与 Y 的边缘密度 fX(x)，f Y(y)；()求条件密度 fY|X(y|x)；()求 D(X+Y)（分数：10.00）_22.设总体 X 服从正态分布 N(主， 2)，X 1，X 2，X n+1是来自总体 X
7、 的容量为 n+1 的简单随机样本，令随机变量（分数：10.00）_考研数学一-162 答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因为2.设函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 3.设三元方程为 x2y-2zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，2)的一个邻域，在此邻域内，该方程A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数：z=z(x，y)B可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：y=y(x，z)和 z=z(x，y)C可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：x=x(y，
8、z)和 z=z(x，y)D可以确定两个具有连续偏导数的隐函数：x=x(y，2)和 y=y(x，z)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 令 F(x，y，z)=x 2y-2zlny+exz-1，则 F(0，1，2)=0，且4.设有无穷级数 则A若 ，则 至少有一个收敛B若 ，则 至少有一个发散C若 ，则由 收敛，可推得 收敛D若 ，则由 发散，可推得 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 若无穷级数 均收敛，则 ，从而必有 所以若 ，则5.设矩阵 Amn的秩 r(A)=mn，E m为 m 阶单位矩阵，则下列结论中正确的是AA 的任意 m 个列向量必线性无关BA 的任意 m 阶
9、子式不等于零C若矩阵 B 满足 BA=O，则 B=ODA 通过初等行变换，必可以化为(E m,O)的形式（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 r(A)=m 表示 A 中有 m 个列向量线性无关，有 m 阶子式不等于零，但不是任意的，因此(A)，(B)均不正确经过初等变换，可以把 A 化为标准型，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不一定能化为标准型例如 只用初等行变换就不能化为(E 2，O)的形式，所以(D)不正确关于(C)，由 BA=O 可得 r(A)+r(B)m，又 r(A)=m，则 r(B)0，于是 r(B)=06.设 A，B，C，D 是 4 个四阶矩阵，其中 AO，
10、|B|0，|C|0，DO，且满足 ABCD=O，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是Ar10 B10r12C12r16 D10r16（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为 AO，|B|0，|C|0，DO，所以r(A)1，r(B)=4，r(C)=4，r(D)1，即有 r10；又 ABCD=O (AB)(CD)=O7.(77 设 A，B 独立，C 为任一事件，则下列命题正确的是AAC 与 BC 独立BAC 与 BC 独立C若 C 与 AB，AB 分别独立，则 C 与 AB+AB 独立D若 C 与 A，A-B 分别独立，则 C 与 B 独立（分数：4.0
11、0）A.B.C. D.解析：详解 直接排除(A)，(B)，若 C 与 AB，AB 分别独立 C 与 独立 C 与8.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是AX，Y 一定相互独立BX，Y 的任意线性组合 l1X+l2Y 服从于一维正态分布CX，Y 分别服从于一维正态分布D当相关系数 =0 时，X，Y 相互独立（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 本题可直接由二维正态分布函数的性质得出答案为(A)或可由密度函数解得：若 0 f(x，y)f X(x)fY(y)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.数列 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：
12、详解 设 ，则令 当 2x5 时，y0；当 x5 时，y0故函数10.曲线 y=xsinx 在 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 y=sinx+xcosx，y“=2cosx-xsinx，所以11.设幂极数 的收敛域为(-4，2)，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，6)）解析：详解 设 y=x+1，则由题设可知幂级数 的收敛半径为 3，由幂级数的性质，级数 的收敛半径也为 3，显然幂级数 有相同的收敛半径 3，由|x-3|312.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 而 2x+y-z+xyz=0 两边对 y
13、求导得故13.设 A 为三阶方阵，且|A|=2，则|2(A *)-1|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：详解 由题设可知|A *|=|A|2=4，则14.假设随机变量 X 和 Y 独立服从参数为 的泊松分布，令 U=2X+Y，V=2X-Y，则 U 和 V 的相关系数=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 由题设可知 EX=EY=，DX=DY=cov(U，V)=cov(2X+Y，2X-Y)=4DX-DY=3=，DU=D(2X+Y)=4DX+DY=5，DV=D(2X-Y)=4DX+DY=5，故三、解答题(总题数：9，分数：100.00)15.设函
14、数 f(x)满足 f(1)=1，且对 x1，有试证极限 存在，且极限值小于 （分数：10.00）_正确答案：(因为 f(x)处处为正，所以 f(x)严格单增，从而当 t1 时，有 f(t)1，所以于是由于 f(x)递增且有界，所以 存在，且至多为 )解析：16.假定下列微分方程初值问题有唯一解，试确定 u(t)：（分数：10.00）_正确答案：(令 则 a 为一待定常数微分方程化为，解之得 u(t)=-a+Cet由初值条件及 可得u(0)=-a+C=1，a=-a+C(e-1)，解之得 ，于是 )解析：17.已知函数 u=u(x，y)满足方程 （分数：10.00）_正确答案：( ，代入原方程，得
15、因无一阶偏导数项，故 故原方程化为 )解析：18.已知曲线积分 （分数：10.00）_正确答案：(如图所示，设 l1+l2为平面上任意一条不经过原点也不包含原点的正向闭曲线，取辅助路径l3(使-l 2+l3构成闭路且包围原点)由已知有式式得所以积分与路径无关所以解之得 (x)=Cx 2，由 ，故 (x)=x 2又可取 L：x 2+y2=1，可得 )解析：19.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(1)， （分数：10.00）_正确答案：(因为 f(0)=f(1)，可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理，于是存在一个 1(0，1)，使得 f( 1)=0又 (积分中值定理)，
16、由上可知，f(x)在，2上满足罗尔定理，于是存在一个 2(0，1)，使得 f( 2)=0由 f( 1)=f( 2)=0，f(x)在(0，2)内可导，可知 f(x)在 1， 2上满足罗尔定理，故存在一个)解析：20.已知向量组 1=0，1，-1 T， 2=a，2，1 T， 3=b，1，0 T与向量组 1=1，2，-3T， 2=3，0，1 T， 3=9，6，-7 T具有相同的秩，且 1， 2， 3可由 3线性表出，求 a，b 的值（分数：10.00）_正确答案：(则 r( 1， 2， 3)=2，且 1， 2线性无关， 3=3 1+2 2于是 r( 1， 2， 3)=2，故 1， 2， 3线性相关，
17、从而 3可由 1， 2， 3线性表出，从而可由 1， 2线性表出，即 1， 2， 3线性相关，于是有)解析：已知二次型 （分数：20.00）(1).求正交变换矩阵 Q，使得通过变换 X=Qy，化此二次型为标准型；（分数：10.00）_正确答案：(由于若 a=1，则 r(A)=1，符合题意；若 a=-2，不合题意故 a=1，解|E-A|=0 可得 1= 2=0， 3=3解解将 1， 2正交单位化为将 3单位化为令 Q=( 1， 2， 3)，则令 x=Qy，其中 y=(y1，y 2，y 3)T，则，又 )解析：(2).计算*（分数：10.00）_正确答案：(当 xTx=2 时，y Ty=2，则厂在
18、 xTx=2 的最大值，即在 yTy=2 下的最大值，取 )解析：21.设二维随机向量(X，Y)在边长为 1 的正方形区域内服从均匀分布，该正方形的中心在坐标原点，对角线在坐标轴上()求(X，Y)的联合密度 f(x，y)；()求 X 与 Y 的边缘密度 fX(x)，f Y(y)；()求条件密度 fY|X(y|x)；()求 D(X+Y)（分数：10.00）_正确答案：(题设正方形如题中所示()()同理，()当 时， ()D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)EX=EY=0， ，所以 )解析：22.设总体 X 服从正态分布 N(主， 2)，X 1，X 2，X n+1是来自总体 X 的容量为 n+1 的简单随机样本，令随机变量（分数：10.00）_正确答案：(将 Yi表示为则 Yi是 n+1 个独立的变量 X1，X 2，X n+1的线性组合，而 XiN(， 2)，所以 Yi服从正态分布，其数学期望和方差分别是即 Yi服从正态分布 ，其概率密度为)解析：
