1、考研数学一-158 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)有二阶导数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设可微函数 f(x，y)满足 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 4 元齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，2，-1，0) T， 2=(2，3，0，1) T则 Ax=0 的解不能是(A) (4，5，2，3) T (B) (4，7，-2，1) T(C) (5，8，1，5) T (D) (0，0，0，
2、0) T（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 =(1，-3，2) T，=(0，1，-1) T，矩阵 A=2 T+7E，则矩阵 A 的最小特征值的特征向量是(A) (B) (C) + (D) -（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XN(0，1)和 YN(1，1)，且相互独立，则 PY1-X（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，0，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x 均有(A) F(+x)+F(-x)=1 (B) F(x+)+F(x-)=1(C) F(+x)+F(-x)=0 (D) F(x+)-F(x-)=0（分数：4.00）A
3、.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x，y)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 为区域 x2+y2+z21，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设有向量场 A=2x3yzi-x2y2zj-x2yz2k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)处沿方向 l=(2，2，-1)的方向导数 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A=( 1， 2， 3，)和 B=( 1， 2， 3，)都是 4 阶矩阵其中 1， 2， 3， 均为 4 维列向量，且|A|=2，|B|=-3则|2A
4、+B|=_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X n为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设 f(x)在区间a，b上连续，且 f(x)0， （分数：10.00）_17.设 f(x，y)有二阶连续导数，g(x，y)=f(e xy，x 2+y2)，且 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_19.设 f(x)和 g(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=-1 （分数：10.00）_20.已知矩阵 与矩阵 （分数：1
5、0.00）_21.设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3()证明矩阵 A 和对角矩阵相似；()如 =(0，-1，1) T，=(1，0，-1) T，求矩阵 A；()用配方法化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：12.00）_22.设二维离散型随机变量(x，y)的概率分布的部分数据如下：（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，而 xB(1，p)，0p1，记 和 试求：()X 的概率分布；() （分数：11.00）_考研数学一-158 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)
6、一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 ，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由泰勒公式知，要使原式极限存在，分子的常数项和一次项系数必须为零，则 n=3原式 ，则2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 0x2 时，当 2x 时，3.设函数 f(x)有二阶导数，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由得 ，又由 f(x)二阶可导知 f(x)连续，所以则，且则4.设可微函数 f(x，y)满足 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 f(1，-1)=f(1，-1)-f(0，-1)+f(0，-1)-f(0，0)=f x(，-1)-f
7、 y(0，) (拉格朗日中值定理)1+1=2故应选(D)5.已知 4 元齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，2，-1，0) T， 2=(2，3，0，1) T则 Ax=0 的解不能是(A) (4，5，2，3) T (B) (4，7，-2，1) T(C) (5，8，1，5) T (D) (0，0，0，0) T（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意 Ax=0 的通解是 k1 1+k2 2，齐次方程组肯定有零解(D)必正确现在的问题是(A)、(B)、(C)谁不能由 1， 2线性表出?6.已知 =(1，-3，2) T，=(0，1，-1) T，矩阵 A=2 T+7E，则矩阵
8、A 的最小特征值的特征向量是(A) (B) (C) + (D) -（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 B= T，则秩 r(B)=1由 T=-5，知矩阵 B 的特征值是-5，0，0那么矩阵 A=2B+7E 的特征值是-3，7，7矩阵 B 关于 =-5 的特征向量就是矩阵 A 关于 =-3 的特征向量而 B=( T)=( T)=-5，所以应选(B)7.设随机变量 XN(0，1)和 YN(1，1)，且相互独立，则 PY1-X（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 XN(0，1)，YN(1，1)，且 X 与 Y 相互独立，则X+YN(1，2)，X+Y 的概率密度具有对称中心 1所以
9、 评注 本题如果不用 X+YN(1，2)具有对称性，而直接利用公式： ，其中 ，这样的计算量会大大增加，当然结果也是8.设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，0，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x 均有(A) F(+x)+F(-x)=1 (B) F(x+)+F(x-)=1(C) F(+x)+F(-x)=0 (D) F(x+)-F(x-)=0（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方法 1 用图示法，不妨假设 x0X 的密度函数在 x= 处对称，把 f(x)曲线下四块面积大小记为，由对称性知=，=，且 F(+x)=+F(-x)=所以 F(+x)+F(-x)=+=+=1方法 2
10、其中 (x)为标准正态分布函数所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 n 为正整数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 10.设 f(x，y)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 等式两端积分得由奇偶性知由变量对称性知则 则11.设 为区域 x2+y2+z21，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由变量的对称性知12.设有向量场 A=2x3yzi-x2y2zj-x2yz2k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)处沿方向 l=(2，2，-1)的方向导数 （分数：4.00）填空项
11、 1:_ （正确答案： ）解析：解析 divA=6x 2yz-2x2yz-2x2yz=2x2yz13.已知 A=( 1， 2， 3，)和 B=( 1， 2， 3，)都是 4 阶矩阵其中 1， 2， 3， 均为 4 维列向量，且|A|=2，|B|=-3则|2A+B|=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：27）解析：解析 由 2A+B=(3 1，3 2，3 3，2+)知|2A+B|=27| 1， 2， 3，2+|=27(| 1， 2， 3，2|+| 1， 2， 3，|)=27(2|A|+|B|)=2714.设 X1，X 2，X n为来自标准正态总体 X 的简单随机样本，记 （分数：4
12、.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 已知 且 与 S2相互独立，也就有 与 S 相互独立总之三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(分析 这是一个“ ”型的极限，事实上 ，同样 ，但本题中出现了幂指函数xx和(sinx) x，如果直接用洛必达法则运算很繁，这种类型极限往往先将幂指函数改写成指数函数用等价代换 ex-1x，结合洛必达法则较为方便解 )解析：16.设 f(x)在区间a，b上连续，且 f(x)0， （分数：10.00）_正确答案：(分析 (1)利用连续函数零点定理证明根的存在性，利用单调性证明根的唯一性(2)由于 f(
13、x)连续且 f(x)0，则 F(x)处处可导而|F(x)|与 F(x)的可导性有何关系呢?证 1)显然 是a，b上的连续函数，由于由连续函数零点定理知，F(x)在(a，b)内至少有一个零点，又则 F(x)在a，b上单调增，从而 F(x)在(a，b)内最多一个零点故方程 F(x)=0 在(a，b)有唯一实根2)不妨设 F(x)在区间(a，b)内的唯一零点为 x0，以下证明 F(x)在(a，b)内仅在 x0点不可导，其余点都可导事实上，由前面讨论知F(x0)=0，F(x 0)0令 ，则，则)解析：17.设 f(x，y)有二阶连续导数，g(x，y)=f(e xy，x 2+y2)，且 （分数：10.0
14、0）_正确答案：(分析 利用二元函数无条件极值充分条件进行讨论解 由题设 ，其中 ，设 )解析：18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(解 因为由于该幂级数缺偶次项，则收敛半径当 x=-1 时，级数成为该级数收敛；当 x=1 时，级数成为该级数收敛，因此，原幂级数收敛域为-1，1令则又 S(0)=0，则)解析：19.设 f(x)和 g(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=f(1)=-1 （分数：10.00）_正确答案：(分析 此类问题一般都需构造辅助函数，然后用罗尔定理要证 f()+g()f()-=1，即要证f()-1+g()f()-=0为此，可令 F(x)=(f(x)
15、-x)eg(x)，此时 F(x)=e g(x)f(x)-1+g(x)f(x)-x证 令 F(x)=(f(x)-x)eg(x)，则F(0)=-eg(0)0，F(1)=-2e g(1)0，又 )解析：20.已知矩阵 与矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(解 ()矩阵 A 和 B 等价 和 B 均为 mn 矩阵且秩 r(A)=r(B)对矩阵 A 作初等变换，有由秩 r(B)=2，知 r(A)=2，故 a=6()对矩阵 A 作初等变换化为矩阵 B，有把所用初等矩阵写出，得)解析：21.设 A 是各行元素之和均为 0 的三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，并满足A=3，A=3()证明矩阵 A 和对角
16、矩阵相似；()如 =(0，-1，1) T，=(1，0，-1) T，求矩阵 A；()用配方法化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用坐标变换（分数：12.00）_正确答案：(矩阵 A 各行元素之和均为 0，即知 0 是矩阵 A 的特征值， 1=(1，1，1) T是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量.又 A(+)=3(+)，A(-)=-3(-)且由 ， 线性无关，知 +，- 均不是零向量从而，3 和-3 都是矩阵 A 的特征值+，- 分别是 =3 和 =-3 的特征向量，那么矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以A()当 =(0，-1，1) T，=(1，0，-1) T时，按已知有所以()x T
17、Ax=x21+z22-2x23-4x1x2+2x1x3+2x2x3=x21=2x1(2x2-x3)+(2x2-x3)2-(2x2-x3)2+x22-2x23+2x2x3=(x1+2x2-x3)2-3x22+6x2x3-3x23=(x1+2x2-x3)2-3(x2-x3)2令 即 )解析：22.设二维离散型随机变量(x，y)的概率分布的部分数据如下：（分数：11.00）_正确答案：(首先将空白处填上待求未知数显然 p11+0.02=0.1，故 p11=0.08又因 0=EX=-1p1.+1p2.=p2.-p1.也就有 p1.=p2.=0.5所以而 1=0.1+p.2+P.3=0.1+(p12+p
18、22)+(0.1+p23)，即 P12+P22+p23=0.8再考虑到 P22+P23=0.48，所以 p12=0.32，进一步得 p11=0.08总之现有 p11=0.08，p 12=0.32，p 22+p23=0.48现考虑 X，Y 不相关，即 cov(X，Y)=0，也就有 EXY=EXEY=0而 XY 的分布由此得 EXY=-0.12+p11+p23=0，即 p23=0.04而 p22+p23=0.48，P 22=0.44总之()X，Y 显然不独立，因 Pijp i.p.j.() )解析：23.设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，而 xB(1，p)，0p1，记 和 试求：()X 的概率分布；() （分数：11.00）_正确答案：(XB(1，p)，故 X 有分布从而所以()因为 Xi的取值仅为 0 或 1，故 X2i=Xi所以()评注 计算 ET 时，也可以利用()的结果 )解析：
