1、工程硕士（GCT）数学-试卷 10 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.一艘轮船发生漏水事故，堵塞漏洞后开始抽水，现有 1，2，3 号 3 台抽水机，已知单独用一台抽水机抽完积水，1 号用 4 小时，2 号用 3 小时，3 号用 2 小时，现在先用 1 号和 2 号抽水 30 分钟，然后关闭 1 号而开启 3 号，则抽完积水还需( )（分数：2.00）A.51 分钟B.55 分钟C.59 分钟D.60 分钟3.设集合 （分数：2.00）A
2、.3 个B.2 个C.1 个D.04.设函数 f(x)(xN)表示 x 除以 3 的余数，对 x，yN 都有( ) (A) f(x+3)=f(x) (B) f(x+y)=f(x)+f(y)（分数：2.00）A.f(x+3)=f(x)B.f(x+y)=f(x)+f(y)C.3f(x)=f(3x)D.f(x)f(y)=f(xy)5.若 ab1， （分数：2.00）A.RPQB.PQRC.QPRD.PRQ6.以 AB 为直径的半圆上，除 A、B 两点外另有 6 个点，又 A、B 上另有 4 个点，共 12 个点，以这 12 个点为顶点能组成的四边形的个数为( )（分数：2.00）A.360B.375
3、C.480D.4957. （分数：2.00）A.B.C.D.8.复数 的辐角主值是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设坐标原点 O，抛物线 y 2 =2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 OA.OB=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设A n 是等比数列，a n 0(n=1，2，)，记 （分数：2.00）A.A n B nB.B n A nC.B n =A nD.对某些 n 有 A n B n ，对另外的 n 有 B n A n 或 B n =A n11.设 a0，P0，从抛物线 x 2 =2p(y+a)上一点(x1，y1)，作切线交 x 轴于(x 2 ，0)，
4、则 (1)若 x 1 (0， )，则 x 2 x 1 (2)若 x 1 ( ，+)，则 x 2 x 1 (3)若 x 1 (0， )，则x 2 x 1 (4)若 x 1 ( （分数：2.00）A.(1)B.(2)C.(1)，(4)D.(2)，(3)12.用某种兽药治病牛，治愈率为 95用这种药治 4 头病牛，至少有 3 头被治愈的概率大约是( )（分数：2.00）A.0.93B.0.95C.0.79D.0.9913.若圆锥体的高 h 和底半径 r 的比是 4:3，且侧面积为 15，则它的高，h=( )（分数：2.00）A.5B.4C.D.14.设 x0 时， （分数：2.00）A.a=1，b=
5、2，c=0B.a=c=1，b=0C.a=c=2，b=0D.a=b=1，c=015. （分数：2.00）A.0B.6C.36D.16. （分数：2.00）A.-6B.-6ln2C.6ln2D.617.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条18. （分数：2.00）A.B.C.D.19. （分数：2.00）A.B.C.D.20.曲线 y=x 2 与直线 x=0，x=1，y=t(0t1)所围的图形的面积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.21.曲线 y=e x 与其过原点的切线及 y 轴所围成的图形面积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.22.已知四阶行列式
6、 （分数：2.00）A.2B.3C.4D.-423.设 A 为三阶矩阵，且|A|=5；B 为二阶矩阵，且|B|=3，则 （分数：2.00）A.120B.-120C.30D.-3024. （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 A 是 34 阶矩阵，且齐次线性方程组 AX=0 的通解是 X=k(R 4 ，k 为任意常数)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.齐次方程 A T X=0 也有无数多个解C.D.A T AX=0 也有无数多个解26.已知矩阵 （分数：2.00）A.x=0B.x=-1C.x=1D.x=2工程硕士（GCT）数学-试卷 10 答案解析(总分：52.00，做题时间
7、：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.一艘轮船发生漏水事故，堵塞漏洞后开始抽水，现有 1，2，3 号 3 台抽水机，已知单独用一台抽水机抽完积水，1 号用 4 小时，2 号用 3 小时，3 号用 2 小时，现在先用 1 号和 2 号抽水 30 分钟，然后关闭 1 号而开启 3 号，则抽完积水还需( )（分数：2.00）A.51 分钟 B.55 分钟C.59 分钟D.60 分钟解析：解析：由已知，1、2、3 号抽水机每分钟的抽水量依次为 其中 1 表示船舱中的全部积水，设关
8、闭 1 号抽水机，开启 3 号抽水机后还需 t 分钟才能抽完积水，则有3.设集合 （分数：2.00）A.3 个B.2 个C.1 个 D.0解析：解析：4.设函数 f(x)(xN)表示 x 除以 3 的余数，对 x，yN 都有( ) (A) f(x+3)=f(x) (B) f(x+y)=f(x)+f(y)（分数：2.00）A.f(x+3)=f(x) B.f(x+y)=f(x)+f(y)C.3f(x)=f(3x)D.f(x)f(y)=f(xy)解析：解析：因为 x+3 与 x 的差是 3 的整数倍， 所以 x+3 除以 3 与 x 除以 3 的余数相同， 所以 f(x+3)=f(x)故正确答案为(
9、A)5.若 ab1， （分数：2.00）A.RPQB.PQR C.QPRD.PRQ解析：解析：6.以 AB 为直径的半圆上，除 A、B 两点外另有 6 个点，又 A、B 上另有 4 个点，共 12 个点，以这 12 个点为顶点能组成的四边形的个数为( )（分数：2.00）A.360 B.375C.480D.495解析：解析：这 12 个点为顶点能组成的四边形实际上是最多可能性的情况，即只要能求出最多时的四边形即可，应该按照各点的分布特征进行分类讨论，有以下的情况 (1)两个点在直径 AB 上，另两点在圆上，此时共可组成四边形 (2)一个点在直径 AB 上(包括直径端点 A，B)，另 3 个点在
10、半圆周上(不包括直径端点 A、B)，此时共可组成四边形 q=120 (3)4 个点均在圆周上(不包括直径端点 A，B)，此时共可组成四边形7. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：8.复数 的辐角主值是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：求复数的辐角一般是先把复数化为三角形式后再求，而复数只有化为 r(cos+isin)(其中 r0)才能称作三角式9.设坐标原点 O，抛物线 y 2 =2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 OA.OB=( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：10.设A n 是等比数列，a n 0(n=1，2，)，记 （分数：
11、2.00）A.A n B n B.B n A nC.B n =A nD.对某些 n 有 A n B n ，对另外的 n 有 B n A n 或 B n =A n解析：解析：(1)若a n 的公比 q=1，则 S n =na 1 ，得 11.设 a0，P0，从抛物线 x 2 =2p(y+a)上一点(x1，y1)，作切线交 x 轴于(x 2 ，0)，则 (1)若 x 1 (0， )，则 x 2 x 1 (2)若 x 1 ( ，+)，则 x 2 x 1 (3)若 x 1 (0， )，则x 2 x 1 (4)若 x 1 ( （分数：2.00）A.(1)B.(2)C.(1)，(4) D.(2)，(3)解
12、析：解析：12.用某种兽药治病牛，治愈率为 95用这种药治 4 头病牛，至少有 3 头被治愈的概率大约是( )（分数：2.00）A.0.93B.0.95C.0.79D.0.99 解析：解析：看成独立重复试验 4 次，则有13.若圆锥体的高 h 和底半径 r 的比是 4:3，且侧面积为 15，则它的高，h=( )（分数：2.00）A.5B.4 C.D.解析：解析：14.设 x0 时， （分数：2.00）A.a=1，b=2，c=0B.a=c=1，b=0 C.a=c=2，b=0D.a=b=1，c=0解析：解析：15. （分数：2.00）A.0B.6C.36 D.解析：解析：16. （分数：2.00）
13、A.-6B.-6ln2C.6ln2D.6解析：解析：17.曲线 （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：18. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 f(x)=f(2a-x)，有 f(a+x)=f(a-x)19. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：令 lnx=t，则 x=e t ，因此 20.曲线 y=x 2 与直线 x=0，x=1，y=t(0t1)所围的图形的面积为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题意得，曲线 y=x2 与 3 条直线所围图形面积21.曲线 y=e x 与其过原点的切线及 y 轴所围成的图形
14、面积为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：曲线 y=e x 在任意一点(x 0 ，y 0 )的切线方程为 ，由于切线过原点，将(0，0)点代入上式，得 x 0 =1，所以，曲线 y=e x 过原点的切线方程为 y=e x 因此，所求平面图形的面积应为 22.已知四阶行列式 （分数：2.00）A.2B.3C.4 D.-4解析：解析：利用行列式的展开性质，有 此值为原行列式的第三列元素换为 1，1，0，2 的新行列式之值，此新行列式与原行列式的第三列的 4 个元素的代数余子式相同，故 此题也可分别直接计算原行列式的 A 13 ，A 23 ，A 43 可得同样的结果； 23.设
15、A 为三阶矩阵，且|A|=5；B 为二阶矩阵，且|B|=3，则 （分数：2.00）A.120B.-120 C.30D.-30解析：解析：24. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由已知 AX+2B=BA+2X，得 AX-2X=BA-2B， 即(A-2E)X=B(A-2E) 25.设 A 是 34 阶矩阵，且齐次线性方程组 AX=0 的通解是 X=k(R 4 ，k 为任意常数)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.齐次方程 A T X=0 也有无数多个解C.D.A T AX=0 也有无数多个解 解析：解析：因为 r(A T A)=r(A)=3，而 A T A 为 4 阶方阵，所以齐次线性方程组(A T A)X=0 也有无限多个解26.已知矩阵 （分数：2.00）A.x=0B.x=-1 C.x=1D.x=2解析：解析：
