1、工程硕士(GCT)数学-95 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.设 （分数：4.00）A.I=aB.I=0C.I=+D.无法确定 I 的值2.对于齐次线性方程组 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.过点 A(7,2)作圆 x2+y2+2x-4y-95=0 的弦，其中弦长为整数的共有( )（分数：4.00）A.8 条B.9 条C.16 条D.18 条4.如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.
2、5.设函数 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调递增，则 （分数：4.00）A.有极大值B.有极小值C.单调增加D.单调减少6.设 f(x)在(-,+)内有定义，且 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.7.曲线 与曲线 有公切线，则 a=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.8.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.6B.18C.-6D.-89.在 500m 长的大街两侧从起点到终点每隔 25m 栽一棵树现有 A、B 两种树苗，若要求 A、B 两种树苗相间且 A 树苗要在大街两端，则需要 A、B 两种树苗的棵数分别为( )（分数：4.00）A.22,20B.20,22C.11,10D.
3、10,1110.如果 a1,a2,an为正数的等差数列，且公差 d0，则( )（分数：4.00）A.a1a8a 4a5B.a1a8a 4a5C.a1+a8a 4+a5D.a1a8=a4a511.某种考试要在指定的三门课程中随机选取两门，两门都及格者为考试通过若某人对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6 和 0.9，则此人考试通过的概率是( )（分数：4.00）A.0.3B.0.45C.0.54D.0.4312.若(4x 2-8xy+3y-9)2+|5x+3|=0，则 25(8xy-3y)+190 的值是( )（分数：4.00）A.0B.1C.2D.-113.一批零件共 1100 个
4、，如果甲先做 5 天后，乙加入合做，再做 8 天正好完成，如果乙先做 5 天后，甲加入合做，再做 9 天也恰好完成，则甲、乙两人每天各做的零件数分别是( )（分数：4.00）A.60,40B.60,60C.40,40D.40,6014.已知二次函数 y=ax2-2ax+b 的图像与 x 轴的一个交点是 A(3,0)点，直线 y=-x+b 经过点 A该二次函数的表达式为( )（分数：4.00）A.y=-x2+2x+3B.y=x2-2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=x2-2x-315.不等式 （分数：4.00）A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.
5、(-,-1)(1,+)16.函数 的最大值是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.17.设向量组 1, 2, 3线性无关，且 1能被 1, 2, 3线性表出，而 2不能被 1, 2, 3线性表出则( )（分数：4.00）A. 1, 2, 1线性相关B. 1, 2, 2线性相关C. 1, 2, 1, 2线性相关D. 1, 2, 3, 1+ 2线性无关18.i 是虚数单位，6R，已知 Re(b+i)=0，Im(b+i) 20，则 b=( )（分数：4.00）A.B.C.D.19.设 0a1，函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2)，则 f(x)0 的充分必要条件是 x( )（分数：4.0
6、0）A.(-,0)B.(0,+)C.(-,log a3)D.(loga3,+)20.已知双曲线 (a0,b0)右焦点为 F，右准线 l 与两条渐近线分别交于 P 和 Q 点若PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.21.当 c0 时， =( ) （分数：4.00）A.B.C.D.22.设在a,b上 f(x)0，且在(a,b)内 f(x)0，f(x)0，记 I1=(b-a)f(b)，I 2= （分数：4.00）A.I1I 3I 2B.I1I 2I 3C.I1I 3I 2D.I3I 1I 223.若 2a2+3a-b=4，则 （分数：4.00）A.2B
7、.4C.8D.1624.三阶矩阵 A,B 满足 A2B+AB-A=E其中 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.25.一个圆柱形的饮料瓶如题 15 图所示，其容积为 300mL现瓶内装有一些饮料该瓶正放时，饮料高度为 20cm，若该瓶倒放时，空余部分的高度为 5cm，瓶内现有饮料的体积为( )cm 3 （分数：4.00）A.160B.200C.240D.280工程硕士(GCT)数学-95 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.设 （分数：4.00）A.I=a B.I=0C.I=+D.无法确定 I 的值解析：利用积分中值定
8、理和重要极限可得 当 n+时，+，因此 2.对于齐次线性方程组 （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：这是一个三个方程三个未知数的齐次方程组，由系数矩阵的行列式来判断它的解比较方便设Ax=0 3.过点 A(7,2)作圆 x2+y2+2x-4y-95=0 的弦，其中弦长为整数的共有( )（分数：4.00）A.8 条B.9 条C.16 条 D.18 条解析：圆方程写成(x+1) 2+(y-2)2=100圆心为(-1,2)，半径 r=10(7,2)代入方程左边得(7+1)2+(2-2)2=64100所以 A 在圆内过 A 最长的弦为过 A 的直径，弦长为 20，最短的弦为过 A 与最长弦
9、(直径)垂直的弦，其弦长为4.如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：设BAE=，则 AB=4cos，BC=4sin+4cos 故选 D 5.设函数 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调递增，则 （分数：4.00）A.有极大值B.有极小值C.单调增加 D.单调减少解析： 对于任意 x(a,6，在a,x上利用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(a)=f()(x-a)，(a,x)由 f(x)严格单调递增，有 f()f()，因此 所以 F(x)在(a,b内严格单调增加，故应选
10、 C6.设 f(x)在(-,+)内有定义，且 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.解析： 故应选 C7.曲线 与曲线 有公切线，则 a=( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析： 解此方程组得故应选 C8.设三阶矩阵 （分数：4.00）A.6B.18C.-6 D.-8解析：由于已知 AB，故 A 与召有相同的特征值。由|E-A|=知矩阵 A 至少有一个特征值 1=2知矩阵 B 的特征值为 1=t, 2=-1, 3=3这样可知 t=2即 B 的特征值与 A 的特征值相等它们的三个特征值均为 1=21, 2=-1, 3=3这样得到|A|=|B|= 1 2 3=2(-1)3=-6故应选
11、 C9.在 500m 长的大街两侧从起点到终点每隔 25m 栽一棵树现有 A、B 两种树苗，若要求 A、B 两种树苗相间且 A 树苗要在大街两端，则需要 A、B 两种树苗的棵数分别为( )（分数：4.00）A.22,20 B.20,22C.11,10D.10,11解析：每侧共需栽树10.如果 a1,a2,an为正数的等差数列，且公差 d0，则( )（分数：4.00）A.a1a8a 4a5B.a1a8a 4a5 C.a1+a8a 4+a5D.a1a8=a4a5解析：an为正数的等差数列，所以 a10，且 d0所以 a4a5a 1a8故应选 B11.某种考试要在指定的三门课程中随机选取两门，两门都
12、及格者为考试通过若某人对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6 和 0.9，则此人考试通过的概率是( )（分数：4.00）A.0.3B.0.45C.0.54D.0.43 解析：记考试及格率为 0.5,0.6 和 0.9 的课程分别为 A、B、C 该考生选定 A、B 课程考试通过的概率为0.50.6=0.3， 选定 B、C 课程考试通过的概率为 0.60.9=0.54， 选定 A、C 课程考试通过的概率为0.50.9=0.45， 该考生选取 A、B 或 A、C 或 B、C 课程的概率均为 故该考生考试通过的概率为 故应选 D12.若(4x 2-8xy+3y-9)2+|5x+3|=0，则
13、 25(8xy-3y)+190 的值是( )（分数：4.00）A.0B.1 C.2D.-1解析：由(4x 2-8xy+3y-9)2+|5x+3|=0，可知5x+3=0， 即4x2-8xy+3y-9=0，即 8xy-3y=4x2-9=于是 25(8xy-3y)+190=2513.一批零件共 1100 个，如果甲先做 5 天后，乙加入合做，再做 8 天正好完成，如果乙先做 5 天后，甲加入合做，再做 9 天也恰好完成，则甲、乙两人每天各做的零件数分别是( )（分数：4.00）A.60,40 B.60,60C.40,40D.40,60解析：设甲、乙每天各做的零件数分别为 x,y，则 14.已知二次函
14、数 y=ax2-2ax+b 的图像与 x 轴的一个交点是 A(3,0)点，直线 y=-x+b 经过点 A该二次函数的表达式为( )（分数：4.00）A.y=-x2+2x+3 B.y=x2-2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=x2-2x-3解析：因为直线 y=-x+b 过点 A(3,0)，所以 b=3将点 A(3,0)的坐标代入 y=ax2-2ax+6 得 9a-6a+3=0，解得 a=-1所以二次函数解析式为 y=-x2+2x+3故选(A)15.不等式 （分数：4.00）A.(-1,0)(1,+) B.(-,-1)(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-,-1)(1,+)解析：将原不等
15、式写成 如题 10 图所示，在坐标系作直线 y=2-x 和双曲线 的图象(后者是16.函数 的最大值是( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析： 当且仅当 ，即 x=2 时等号成立所以对一切非零的最小值为 8，f(x)最大值为综上，f(x)在(-,+)上的最大值为 故选 B17.设向量组 1, 2, 3线性无关，且 1能被 1, 2, 3线性表出，而 2不能被 1, 2, 3线性表出则( )（分数：4.00）A. 1, 2, 1线性相关B. 1, 2, 2线性相关C. 1, 2, 1, 2线性相关D. 1, 2, 3, 1+ 2线性无关 解析：因 1, 2, 3线性无关，而 1能被 1
16、, 2, 3线性表出设 1=k1 1+k2 2+k3 3对下面的矩阵施行初等列变换18.i 是虚数单位，6R，已知 Re(b+i)=0，Im(b+i) 20，则 b=( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：b 是实数(b+i) 2=b2-1+2bi，由 Re(b+i)2=0，即得 b2-1=0，解出 b=1 或 b=-1，再由 Im(b+i) 20，即得2b0，所以 b=1故应选 B19.设 0a1，函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2)，则 f(x)0 的充分必要条件是 x( )（分数：4.00）A.(-,0)B.(0,+)C.(-,log a3) D.(loga3,+)解析
17、：因为 0a1，所以20.已知双曲线 (a0,b0)右焦点为 F，右准线 l 与两条渐近线分别交于 P 和 Q 点若PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e=( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：如题 13 图所示，双曲的右焦点 F(c,0)，右准线 l： 与两条渐近线 的交点分别是如果PQF 是直角三角形，有即得因为 c2-a2=b2，即得 a=b从而 离心率 故选 A21.当 c0 时， =( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：在 中令 lnx=t，x=e， 22.设在a,b上 f(x)0，且在(a,b)内 f(x)0，f(x)0，记 I1=(b-a)f(b)，I
18、 2= （分数：4.00）A.I1I 3I 2B.I1I 2I 3C.I1I 3I 2 D.I3I 1I 2解析：由题设在(a,b)内 f(x)0,f(x)0，可得在(a,b)内函数 f(x)单调增加，曲线 f(x)是凸的如题 21图所示曲线为 f(x)图形如题 21 图，记矩形 ABCD 的面积为 S1，梯形 ABCE 的面积为 S2，曲线 ，直线 AE，直线 BC 及直线 AB所围曲边梯形面积为 S3，根据定积分的几何意义，I 1=-S1，I 2=-S2，I 3=-S3，因 S1S 3S 2，所以I1I 3I 2故应选 C23.若 2a2+3a-b=4，则 （分数：4.00）A.2B.4C
19、.8 D.16解析：故选 C另解：特殊值代入法取 a=1，b=1，则 2a2+3a-b=4，且24.三阶矩阵 A,B 满足 A2B+AB-A=E其中 ，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：题意要求矩阵 B，故由已知 A2B+AB-A=E，先把上等式左边的 B 提出来，得(A2+A)B=A+E对此式两边比较后进一步得(A+E)AB=A+E (*)容易判断，|A+E|=120，故 A+E 可逆(*)式两边左乘(A+E) -1，得 AB=E从而得25.一个圆柱形的饮料瓶如题 15 图所示，其容积为 300mL现瓶内装有一些饮料该瓶正放时，饮料高度为 20cm，若该瓶倒放时，空余部分的高度为 5cm，瓶内现有饮料的体积为( )cm 3 （分数：4.00）A.160B.200C.240 D.280解析：设圆柱形瓶的底面积为 S(cm2)如题 15 图(1)瓶内现有饮料的体积为 20S(cm3)由图(2)瓶内空余部分的体积为 5S(cm3)瓶的体积 V=饮料体积+空余体积=20S+5S=25S=300(cm 3)故 S=
