1、工程硕士(GCT)数学-91 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.一抛物线以 y 轴为对称轴，且过 点及原点，一直线 L 经过 和 点，则直线 L 被抛物线截得的线段的长度为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的 4 个根组成一个首项为 的等差数列，则|m-n|=( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.已知 （分数：4.00）A.x=2，y=0B.x=2，y=0C.x=0，y=2D.x=0，y=-24.设 （分数：4.00）A.24B.36C.D.5.
2、三位教师分配到 6 个班级任教，若其中一人教一个班，一人教两班，一人教 3 个班，则共有分配方法( )（分数：4.00）A.720 种B.360 种C.120 种D.60 种6.设矩阵 （分数：4.00）A.2B.3C.4D.57.设复数 z 满足 （分数：4.00）A.0B.1C.D.28.已知 f(x)对一切 x 满足 （分数：4.00）A.f(x0)是 f(x0)的极小值B.f(x0)是 f(x0)是极大值C.f(x0，f(x 0)为曲线 y=f(x0)的拐点D.f(x0)不是 f(x0)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x0)的拐点9.设 A，B 是 x 轴上的两点，点
3、 P 的横坐标为 2 且|PA|=|PB|，若直线 PA 的万程为 x-y+1=0，则直线 PB 的方程是( )（分数：4.00）A.x+y 一 5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=010.己知三阶矩阵 （分数：4.00）A.0B.3C.0 或 3D.0 或 111.若 x=a2-bc，y=b 2-ac，z=c 2-ab，a，b，c 是不完全相等的任意实数，则 x，y，z( )（分数：4.00）A.至少有一个大于 0B.都大于 0C.至少有一个小于 0D.都不小于 012.求 （分数：4.00）A.4e2-6B.8e2+6C.2e2+6D.-2e2-613.己知三阶
4、矩阵 A 的 3 个特征值为 1= 2=2， 3=8，A 与特征值 2 对应的特征向量为 1=(1，-1，0)T， 2=(1，0，-1) T；与 8 对应的特征向量 3=(1，1，1) T，则 A=( )（分数：4.00）A.B.C.D.14.某人的藏书中，文学类占 ，科技类占 ，已知其文学类和科技类图书共有 960 本，这个人的图书共有( )本 （分数：4.00）A.B.C.D.15.已知 ，A 为任意 3 阶可逆矩阵，且 X=A(A-BA)-1C，则 X=( )（分数：4.00）A.B.C.D.16.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 （分数：4.00）A.0 个
5、B.1 个C.2 个D.无穷多个17.过点(2，0)作曲线 y=x3的切线，则切线与曲线 y=x3围成图形的面积为( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.如右图所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 AB=1，D 在棱 BB1上，且 BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 =( )（分数：4.00）A.B.C.D.19.设 ，其中则 g(x)在区间(0，2)内( ) （分数：4.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续20.不等式 （分数：4.00）A.(-，-5)1，3B.(，-5)(1，3)C.(-5，3)D.(-，8)21.与曲线 相切并与直线 x+y=
6、4 垂直的切线方程为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.22.四元线性方程组 （分数：4.00）A.(0，0，0，0) TB.(0，0，2，0) TC.(1，0，-1，0) TD.(0，0，2，0) T和(0，0，2，1) T23.已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|a+3b|=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.24.设 0A.事件 A 和 B 互不相容B.事件 A 和 B 互相对立C.事件 A 和 B 互不独立D.事件 A 和 B 相互独立25.母亲比女儿大 28 岁，5 年后母亲的年龄是女儿的 5 倍，母亲现在的年龄是女儿的( )倍（分数：4.00）A.5B
7、.7C.14D.15工程硕士(GCT)数学-91 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.一抛物线以 y 轴为对称轴，且过 点及原点，一直线 L 经过 和 点，则直线 L 被抛物线截得的线段的长度为( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 直线 L 过 两点，其方程为设抛物线方程为 y=ax2，过 点，可得求两线交点 得故两点间的距离2.已知方程(x 2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的 4 个根组成一个首项为 的等差数列，则|m-n|=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为原方程有
8、4 个根，所以方程 x2-2x+m=0 和 x2-2x+n=0 各有个两根又因这两个方程的两根之和都等于 2，且这 4 个根组成等差数列a n，可设这 4 个根为 a1,a2，a 3，a 4则有 a1+a4=a2+a3=2不妨设上述两方程的根分别为 a1,a4和 a2，a 3则 a2+a3=a1+a4=2 设公差为 d，则有 2a1+3d=2解得则故(C)为正确答案3.已知 （分数：4.00）A.x=2，y=0B.x=2，y=0C.x=0，y=2D.x=0，y=-2 解析：解析 若 AB，则 4.设 （分数：4.00）A.24 B.36C.D.解析：解析 令 有 根据题意有 解得 所以5.三位
9、教师分配到 6 个班级任教，若其中一人教一个班，一人教两班，一人教 3 个班，则共有分配方法( )（分数：4.00）A.720 种B.360 种 C.120 种D.60 种解析：6.设矩阵 （分数：4.00）A.2B.3C.4 D.5解析：解析 因 AB，故 A-2EB-2E A-EB-E，从而有 r(A-2E)=r(B-2E)；r(A-E)=r(B-E) 7.设复数 z 满足 （分数：4.00）A.0B.1C. D.2解析：解析 设 Z=a+bi 则原式化为 化简得 (1-a)-bi=-b+(1+a)i ，解得 所以8.已知 f(x)对一切 x 满足 （分数：4.00）A.f(x0)是 f(
10、x0)的极小值 B.f(x0)是 f(x0)是极大值C.f(x0，f(x 0)为曲线 y=f(x0)的拐点D.f(x0)不是 f(x0)的极值，(x 0，f(x 0)也不是曲线 y=f(x0)的拐点解析：解析 f(x 0)=0，x=x 0为驻点，对9.设 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且|PA|=|PB|，若直线 PA 的万程为 x-y+1=0，则直线 PB 的方程是( )（分数：4.00）A.x+y 一 5=0 B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=0解析：10.己知三阶矩阵 （分数：4.00）A.0B.3C.0 或 3 D.0 或 1解析：解析 当
11、|E-A|=0 时，齐次方程(E-A)x=0 有非零解 11.若 x=a2-bc，y=b 2-ac，z=c 2-ab，a，b，c 是不完全相等的任意实数，则 x，y，z( )（分数：4.00）A.至少有一个大于 0 B.都大于 0C.至少有一个小于 0D.都不小于 0解析：解析 解法一， 因为 a,b,c 不全相等，所以有 12.求 （分数：4.00）A.4e2-6B.8e2+6C.2e2+6 D.-2e2-6解析：解析 13.己知三阶矩阵 A 的 3 个特征值为 1= 2=2， 3=8，A 与特征值 2 对应的特征向量为 1=(1，-1，0)T， 2=(1，0，-1) T；与 8 对应的特征
12、向量 3=(1，1，1) T，则 A=( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 (A)、(B)中的矩阵不合题意由题意，A 应有 3 个线性无关的特征向量，而(C)中的矩阵，对应于特征值 2 没有 2 个线性无关的特征向量由排除法，应选(D)事实上，以 A 的 3 个线性无关的特征向量 1， 2， 3为列构造矩阵 P，则 故14.某人的藏书中，文学类占 ，科技类占 ，已知其文学类和科技类图书共有 960 本，这个人的图书共有( )本 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由于文学类和科技类图书占总藏书量的 所以总藏书总量与 的乘积为 960 本，故总藏书量为15.已知
13、 ，A 为任意 3 阶可逆矩阵，且 X=A(A-BA)-1C，则 X=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 X=A(A-BA) -1C=A(E-B)A-1C=AA-1(E-B)-1C=(E-B)-1C所以16.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则方程 （分数：4.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.无穷多个解析：解析 令 则 F(x)在(a，b)上连续，且 按连续函数的介值定理，必存在 (a，b)使F()=0， 即 又在(a，b)内， 故 F(x)在(a，b)内严格单调递增，因而零点不多于 1 个 故(B)为正确答案17.过点(2，0)作曲线 y=x3
14、的切线，则切线与曲线 y=x3围成图形的面积为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设切点 切线为切线过(2，0)点，解得 x0=0 或 x0=318.如右图所示，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 AB=1，D 在棱 BB1上，且 BD=1，若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 ，则 =( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 取 AC 中点 N，连结 BN，过点 D 作 MDBN 交平面 AA1C1C 于点 M，因为ABC 为正三角形，所以BNAC；又因为 C1CBN，C 1C，AC 平面 AAIClC，所以 BN平面 A1AC1C，那么 DM平面
15、A1AC1C，连接 AM，则 MAD 即为所求角 在等边ABC 中，因为 AB=1，所以在 RtDBA 中，AB=1，BD=1，得 AD= 那么 即 故(D)为正确答案19.设 ，其中则 g(x)在区间(0，2)内( ) （分数：4.00）A.无界B.递减C.不连续D.连续 解析：解析 对于 由于被积函数连续，故 g(x)连续同样，对 1x2， 也是连续的，又 g-(1)=g+(1)=即 g(x)在点 x=1 也是连续的综上所述，可知 g(x)实际上是闭区间0，2上的连续函数，当然在(0，2)内也连续，故(D)为正确答案20.不等式 （分数：4.00）A.(-，-5)1，3 B.(，-5)(1
16、，3)C.(-5，3)D.(-，8)解析：解析 直接对不等式求解显然很麻烦，用“根排序法”会很轻松对原不等式作同解变形：21.与曲线 相切并与直线 x+y=4 垂直的切线方程为( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由已知条件知切线斜率为 1，方程两边对 x 求导得 令 联立曲线方程得切点坐标为 故切线方程为 和 即为 和22.四元线性方程组 （分数：4.00）A.(0，0，0，0) TB.(0，0，2，0) T C.(1，0，-1，0) TD.(0，0，2，0) T和(0，0，2，1) T解析：解析 这是一个系数矩阵 A34的齐次线性方程组 AX=O，求解该方程组就需要对 A
17、 进行初等行变换未知量个数=4，r(A)=3，自由未知量个数=4-3=1故基础解系包括一个解向量，AX=0 的同解方程组为23.已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|a+3b|=( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由已知 所以24.设 0A.事件 A 和 B 互不相容B.事件 A 和 B 互相对立C.事件 A 和 B 互不独立D.事件 A 和 B 相互独立 解析：解析 由 得 即 于是25.母亲比女儿大 28 岁，5 年后母亲的年龄是女儿的 5 倍，母亲现在的年龄是女儿的( )倍（分数：4.00）A.5B.7C.14D.15 解析：解析 只要求出了母女的年龄，也就得到了年龄之间的倍数设女儿现在的年龄为 x 岁，则 所以 x=2，故
