1、工程硕士(GCT)数学-164 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.P 是数轴上的一定点，坐标为-1，Q 是数轴上的一动点，若要求 Q 与 P 的距离不超过 1，则点 Q 的坐标x 的取值范围为_（分数：4.00）A.|x-1|1B.|x-1|1C.|x+1|1D.|x+1|12.已知 a，b，c 是从小到大的 3 个相邻奇数若 ab132，bc342，且 b 是合数，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.某洗衣机生产厂家，为了检测其产品无故障的启动次数，从生产的一批洗衣机中任意抽取了 5 台，如果测
2、得的每台无故障启动次数分别为 11300，11000，10700，10000，9500，那么这批洗衣机的平均无故障启动次数大约为_（分数：4.00）A.10300B.10400C.10500D.106004.某产品由甲、乙两种物品混合而成，甲、乙两种物品所占比例分别为 x 和 y若甲物品的价格在 60 元的基础上上涨 10%，乙物品的价格在 40 元的基础上下降 10%时，该产品的成本保持不变，那么 x 和 y 分别等于_（分数：4.00）A.50%，50%B.40%，60%C.60%，40%D.45%，55%5.已知函数 f(x)是定义在(-，+)上的偶函数，且在0，+)上单调递增若实数 a
3、 满足 f(log 2 a)f(1)，则 a 的取值范围是_ A1，2 B C （分数：4.00）A.B.C.D.6.某车间生产的一种零件中，一等品的概率是 0.9生产这种零件 4 件，恰有 2 件一等品的概率是_（分数：4.00）A.0.0081B.0.0486C.0.0972D.0.067.已知 ，i 为虚数单位若 ，则 a=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.有下列 3 个不等式：x-1(x-1) 2 ， （分数：4.00）A.和的解集相同B.和的解集相同C.和的解集相同D.，和的解集各不相同9.已知方程(x 2 -2x+p)(x 2 -2x+q)=0 的四个根构成
4、一个首项为 的等差数列，则|p-q|=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.10.已经数列满足 a 1 =1，且 n2 时有 a n =1+a 1 +a 2 +a n-1 则当 n1 时，a n =_ A2 n B （分数：4.00）A.B.C.D.11.记PQR 的面积为 S PQR 已知ABC 的重心是 G，P 是ABC 内的一点， 若 （分数：4.00）A.在GAB 内B.在GBC 内C.在GCA 内D.与 G 点重合12.ABC 为锐角三角形已知 |BC|=5，则ABC 的面积等于_ A5 B C （分数：4.00）A.B.C.D.13.若一个平行四边形的周长为 10
5、，相邻边的乘积为 6，则此平行四边形的对角线平方之和为_（分数：4.00）A.36B.26C.25D.1314.如果直线 l：x-2y+2=0 过椭圆 (ab0)的左焦点 F 1 和短轴上的顶点(0，b)，则该椭圆的离心率等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.棱长为 1 的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的面积等于_ A2 B （分数：4.00）A.B.C.D.16.设 f(x)具有连续导数，且 （分数：4.00）A.f(0)=0 且 f“(0)=2B.f(0)=0 且 f“(0)=1C.f(0)=-1 且 f“(0)=2D.f(0)=-1 且 f“(0)=11
6、7.设 （分数：4.00）A.f(x)在 x=0 处间断B.f(x)在 x=0 处连续但不可导C.f(x)在 x=0 处可导，但导数在 x=0 处不连续D.f(x)在 x=0 处有连续导数18.设函数 f(x)在区间1，+)内二阶可导，且 f(1)=f“(1)=0，当 x1 时，f“(x)0，则 （分数：4.00）A.在(1，+)内单调增加B.在(1，+)内单调减少C.存在 (1，+)，使得 g()=0D.存在 (1，+)，使得 g“()=019. 在e，e 2 上的最大值为_ A0 B1 C2ln2 D （分数：4.00）A.B.C.D.20.若 lnx 是 f(x)的一个原函数，则xf(e
7、 -x )dx=_ A.xe-x+e-x+C B.-xe-x-e-x+C C.xex-ex+C D.-xex+ex+C（分数：4.00）A.B.C.D.21.f(x)为连续函数， (a 为常数)，则 I=_ A （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=0若 A 的秩为 3，则 A 的特征值为_（分数：4.00）A.1，1，1，0B.1，1，-1，0C.1，-1，-1，0D.-1，-1，-1，023.设矩阵 （分数：4.00）A.0B.1CnD.无法确定24.向量组 1 =(-1，-2，-1，1) T ， 2 =(1，3，2，-1) T ， 3 =
8、(0，1，1，0) T ， 4 =(1，4，3，-4) T 的极大线性无关组是_（分数：4.00）A.1，2，3B.1，2，4C.1，2D.3，425.设 1 ， 2 是线性方程组 （分数：4.00）A.(k1+1)1+k22B.(k1-1)1+k22C.(k+1)1-k2D.(k-1)1-k2工程硕士(GCT)数学-164 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.P 是数轴上的一定点，坐标为-1，Q 是数轴上的一动点，若要求 Q 与 P 的距离不超过 1，则点 Q 的坐标x 的取值范围为_（分数：4.00）A.|x-1|1B.|
9、x-1|1C.|x+1|1D.|x+1|1 解析：解析 P 点的坐标为-1，Q 点的坐标为 x，如下图所示，P 与 Q 的距离为|x-(-1)|=|x+1|，又 P 与Q 的距离不超过 1，即|x+1|1 故选 D 2.已知 a，b，c 是从小到大的 3 个相邻奇数若 ab132，bc342，且 b 是合数，则 _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 ab132121=11 2 ，ab342361=19 2 可知 11abc19根据 b 是合数可知a，b，c 分别是 13，15，17，所以 3.某洗衣机生产厂家，为了检测其产品无故障的启动次数，从生产的一批洗衣机
10、中任意抽取了 5 台，如果测得的每台无故障启动次数分别为 11300，11000，10700，10000，9500，那么这批洗衣机的平均无故障启动次数大约为_（分数：4.00）A.10300B.10400C.10500 D.10600解析：解析 这 5 台洗衣机的平均无故障启动次数为 4.某产品由甲、乙两种物品混合而成，甲、乙两种物品所占比例分别为 x 和 y若甲物品的价格在 60 元的基础上上涨 10%，乙物品的价格在 40 元的基础上下降 10%时，该产品的成本保持不变，那么 x 和 y 分别等于_（分数：4.00）A.50%，50%B.40%，60% C.60%，40%D.45%，55%
11、解析：解析 每生产一单位的产品，需要甲物品和乙物品的量分别是 x 和 y，其成本为 60x+40y当甲、乙物品的价格改变后，其成本为 66x+36y，所以 60x+40y=66x+36y， 从而 5.已知函数 f(x)是定义在(-，+)上的偶函数，且在0，+)上单调递增若实数 a 满足 f(log 2 a)f(1)，则 a 的取值范围是_ A1，2 B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 f(log 2 a)f(1)且 f(x)是在0，+)上单调递增的偶函数，所以： 当 log 2 a0 时，log 2 a1，即 1a2； 当 log 2 a0 时，log 2 a-1，即
12、 综上可知 a 的取值范围是 6.某车间生产的一种零件中，一等品的概率是 0.9生产这种零件 4 件，恰有 2 件一等品的概率是_（分数：4.00）A.0.0081B.0.0486 C.0.0972D.0.06解析：解析 4 件产品中，2 件一等品，2 件非一等品的概率为 7.已知 ，i 为虚数单位若 ，则 a=_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设得 8.有下列 3 个不等式：x-1(x-1) 2 ， （分数：4.00）A.和的解集相同B.和的解集相同C.和的解集相同D.，和的解集各不相同 解析：解析 不等式化成 x 2 -3x+20，其解集为(-，1)(
13、2，+) 不等式化成不等式组 9.已知方程(x 2 -2x+p)(x 2 -2x+q)=0 的四个根构成一个首项为 的等差数列，则|p-q|=_ A1 B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 方程的 4 个根是二次方程 x 2 -2x+p=0 和 x 2 -2x+q=0 的根 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 它们构成一个等差数列，设其公差为 d不妨设 x 2 =x 1 +d，x 3 =x 1 +2d，x 4 =x 1 +3d 因此有 x 1 +x 4 =x 2 +x 3 而两个二次方程各自两根之和都等于 2，所以 x 1 和 x 4 ，x 2 和 x 3 分别为两个方
14、程的根，可以设 x 1 +x 4 =2，x 1 x 4 =p， x 2 +x 3 =2，x 2 x 3 =q 已设 所以 即得 从而有 于是得 10.已经数列满足 a 1 =1，且 n2 时有 a n =1+a 1 +a 2 +a n-1 则当 n1 时，a n =_ A2 n B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由已知条件 a 1 =1， a 2 =1+a 1 =2， a 3 =1+a 1 +a 2 =4， a 4 =1+a 1 +a 2 +a 3 =8 可归纳出 n1 时，a n =2 n-1 (事实上可以用数学归纳法证明，但做选择题就不必了) 故选 C 也可以利用 a n
15、+1 =1+a 1 +a 2 +a n-1 +a n =a n +a n =2a n 又 a 1 =1，所以a n 是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，故通项 a n =2 n-1 11.记PQR 的面积为 S PQR 已知ABC 的重心是 G，P 是ABC 内的一点， 若 （分数：4.00）A.在GAB 内 B.在GBC 内C.在GCA 内D.与 G 点重合解析：解析 画出ABC，如下图所示，对重心 G 有 对于 P 点，已知 PAB 和GAB 有共同的底边 AB，所以PAB 在 AB 边上的高为GAB 在 AB 边上高的一半，即 P 在GAB 平行于 AB 的中位线或其延长线上同理
16、分析PCA 在 CA 边上的高与AGC 在 CA 边上的高相等，若连 PG，则 PG/AC即可判定 P在GAB 内 故选 A 12.ABC 为锐角三角形已知 |BC|=5，则ABC 的面积等于_ A5 B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为B 和C 均为锐角，由已知得 所以 由正弦定理 13.若一个平行四边形的周长为 10，相邻边的乘积为 6，则此平行四边形的对角线平方之和为_（分数：4.00）A.36B.26 C.25D.13解析：解析 设平行四边形相邻两边的长分别为 a，b，则 14.如果直线 l：x-2y+2=0 过椭圆 (ab0)的左焦点 F 1 和短轴上的顶点(
17、0，b)，则该椭圆的离心率等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 左焦点 F 1 的坐标为(-c，0)，F 1 在 l 上，所以-c+2=0，c=2 顶点(0，b)也在 l 上，所以-2b+2=0，b=1，故 a 2 =b 2 +c 2 =1 2 +2 2 =5， 所以 离心率 15.棱长为 1 的正方体各顶点都在同一个球面上，则该球面的面积等于_ A2 B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 正方体的对角线是球的一条直径，设球的半径为 r，则 即得 16.设 f(x)具有连续导数，且 （分数：4.00）A.f(0)=0 且 f“(0)=2B.f(0
18、)=0 且 f“(0)=1C.f(0)=-1 且 f“(0)=2 D.f(0)=-1 且 f“(0)=1解析：解析 因此 17.设 （分数：4.00）A.f(x)在 x=0 处间断B.f(x)在 x=0 处连续但不可导C.f(x)在 x=0 处可导，但导数在 x=0 处不连续D.f(x)在 x=0 处有连续导数 解析：解析 首先注意到 因此有 这表明 在 x=0 附近有界且 所以 (无穷小量乘有界量为无穷小量)，因而 f(x)在 x=0 处连续 当 x0 时， 18.设函数 f(x)在区间1，+)内二阶可导，且 f(1)=f“(1)=0，当 x1 时，f“(x)0，则 （分数：4.00）A.在
19、(1，+)内单调增加B.在(1，+)内单调减少 C.存在 (1，+)，使得 g()=0D.存在 (1，+)，使得 g“()=0解析：解析 因为 而 f(x)在1，+)内二阶可导，所以 19. 在e，e 2 上的最大值为_ A0 B1 C2ln2 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 xe，e 2 时，I“(x)0，所以 I(x)在e，e 2 是单调递增函数，I(x)在e，e 2 上的最大值是 20.若 lnx 是 f(x)的一个原函数，则xf(e -x )dx=_ A.xe-x+e-x+C B.-xe-x-e-x+C C.xex-ex+C D.-xex+ex+C（分数：4.0
20、0）A.B.C. D.解析：解析 由原函数定义有 所以 21.f(x)为连续函数， (a 为常数)，则 I=_ A （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 在 中令 a-x=t，当 x=0 时，t=a；当 x=a 时，t=0；dx=-dt所以 从而 于是 22.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=0若 A 的秩为 3，则 A 的特征值为_（分数：4.00）A.1，1，1，0B.1，1，-1，0C.1，-1，-1，0D.-1，-1，-1，0 解析：解析 因为 A 的秩为 3，所以 4 阶实对称矩阵 A 有一个零特征值和三个非零特征值设其非零特征值为 ，与 对应的特征向量为 x
21、，则由 A 2 +A=0 可知(A 2 +A)x=( 2 +)x=0故 2 +=0，即=-1 故选 D23.设矩阵 （分数：4.00）A.0B.1 CnD.无法确定解析：解析 其中 24.向量组 1 =(-1，-2，-1，1) T ， 2 =(1，3，2，-1) T ， 3 =(0，1，1，0) T ， 4 =(1，4，3，-4) T 的极大线性无关组是_（分数：4.00）A.1，2，3B.1，2，4 C.1，2D.3，4解析：解析 25.设 1 ， 2 是线性方程组 （分数：4.00）A.(k1+1)1+k22B.(k1-1)1+k22C.(k+1)1-k2 D.(k-1)1-k2解析：解析 设 则线性方程组可写为 Ax=b由于此方程组有两个不同的解，故 r(A，b)=r(A)3又因 A 中有一个二阶子式
