1、工程硕士(GCT)数学-163 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.某商店将成本为 2000 元/套的服装按原价提高 50%后，再按 7 折“优惠”的广告宣传进行销售，这样每售出一套服装可以获利 625 元，则每套服装比按原价销售_。（分数：4.00）A.多赚 100 元B.少赚 100 元C.多赚 125 元D.少赚 125 元2.已知 x 为实数，且 （分数：4.00）A.1B.-3 或 1C.3D.-1 或 33.将方程 （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知等比数列a n )的公比 q1(nN)，第 17 项的平
2、方等于第 24 项，则使 （分数：4.00）A.n9B.n9C.n19D.n165.(3-2x) 4 的二项展开式中，x 2 项的系数是_。（分数：4.00）A.126B.148C.205D.2166.计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，且水彩画不能放在两端，那么不同的陈列方法有_种。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知(x+i) 3 是一个实数，则实数 x=_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.在ABC 中，若 c-a 等于 AC 边上的高 h，则 等于_。 A-1
3、B C （分数：4.00）A.B.C.D.9.把 x-2y+c=0 按向量 a=(-1，2)平移，得到的直线与圆 x 2 +y 2 +2x-4y=0 相切，则 c 等于_。 A （分数：4.00）A.B.C.D.10.抛物线 y 2 =4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 （分数：4.00）A.4B.3C.2D.111.设 x0 时，e x2 -(ax 2 +bx+c)是比 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 是常数，则_。（分数：4.00）A.a=1，b=2，c=0B.a=c=1，b=0C.a=c=2，b=0D.a=b=1，c=012.已知，圆的周长为 6，则夹角 60的扇
4、形的面积为_。 A B C （分数：4.00）A.B.C.D.13. （分数：4.00）A.B.C.D.14.设 ，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.15.若 ，则 =_。 A （分数：4.00）A.B.C.D.16.设 f(x)是方程 y-2y+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，f(x 0 )=0，则 f(x)在 x 0 点_。（分数：4.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增D.某邻域内单调减17.由 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.318.双曲线 在点 p 0 (x 0 ，y 0 )处的切线及 x=a(a 为切线在 x 轴上的截距
5、)所围图形的面积为A(右图中阴影部分)，则以下选项中正确的是_。 （分数：4.00）A.x0 越大，面积 A 越大B.面积 A 与 x0 无关，恒为常数C.x0 越大，面积 A 越小D.面积 A 不是 x0 的单调函数19.设函数 f(x)在(-，+)内可导，且 f(1)=f(1)=1， （分数：4.00）A.0B.1C.2D.320.设 ，则 =_。 A B Cln 2 x D （分数：4.00）A.B.C.D.21.三阶行列式 的值为_。 A(1+a 1 )(1+a 2 )(1+a 3 ) B C （分数：4.00）A.B.C.D.22.设 A 为 n 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，
6、若|A|=a0，则|2A * |=_。 A2a n-1 B2 n a n-1 C2 n a n+1 D （分数：4.00）A.B.C.D.23.已知向量组 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关，则向量组_。（分数：4.00）A.a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a1 线性无关B.a1-a2，a2-a3，a3-a4，a4-a1 线性无关C.a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4-a1 线性无关D.a1+a2，a2+a3，a3-a4，a4-a1 线性无关24.设 x 1 、x 2 是非齐次线性方程组 Ax=B 的两个不同解， 1 、 2 是其导出组 Ax=0 的基础解系，c 1
7、 、c 2 为任意常数，则方程组 Ax=B 的通解是_。（分数：4.00）A.(x1-x2)/2+c11+c22B.(x1+x2)/2+c11+c2(1+2)C.x1-x2+c11+c2(1+2)D.(x1-x2)/2+c1x1+c2(1+2)25.设 ，则 A n =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-163 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.某商店将成本为 2000 元/套的服装按原价提高 50%后，再按 7 折“优惠”的广告宣传进行销售，这样每售出一套服装可以获利 625 元
8、，则每套服装比按原价销售_。（分数：4.00）A.多赚 100 元B.少赚 100 元C.多赚 125 元 D.少赚 125 元解析：解析 本题解题的关键是成本、销售价、“优惠价”、利润的概念。 由题意，“优惠价”为 2000 元+625 元=2625 元，故原价为 262570%(1+50%)=2500 元，故多赚了 2625元-2500 元=125 元，故选 C。2.已知 x 为实数，且 （分数：4.00）A.1 B.-3 或 1C.3D.-1 或 3解析：解析 设 y=x 2 +3x，则原方程变为 ，即 y 2 +2y-3=0，解得 y 1 =1，y 2 =-3，又因 3.将方程 （分数
9、：4.00）A. B.C.D.解析：解析 去分母，得 x 2 -4=2x+2-3，整理，得 x 2 -2x-3=0，故正确答案为 A。4.已知等比数列a n )的公比 q1(nN)，第 17 项的平方等于第 24 项，则使 （分数：4.00）A.n9B.n9C.n19 D.n16解析：解析 由已知 ，知(a 1 q 16 ) 2 =a 1 q 23 。 因 q1，a 1 0，得 a 1 =q -9 。 又 ，故 5.(3-2x) 4 的二项展开式中，x 2 项的系数是_。（分数：4.00）A.126B.148C.205D.216 解析：解析 由二项式定理，(3-2x) 4 的二项展开式的第 k
10、 项为 ，令 x k-1 =x 2 ，得 k=3， 6.计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画、4 幅油画、5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，且水彩画不能放在两端，那么不同的陈列方法有_种。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 将油画、国画分别看作整体，有 种排法，而油画内有 种排法，国画内有种排法，故共有7.已知(x+i) 3 是一个实数，则实数 x=_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 (x+i) 3 =x 3 +3x 2 i+3xi 2 +i 3 =(x 3 -3x)+i(3x 2 -1)它是一个实
11、数，所以 3x 2 -1=0，即 或 8.在ABC 中，若 c-a 等于 AC 边上的高 h，则 等于_。 A-1 B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 又 c-a0，故 CA， 9.把 x-2y+c=0 按向量 a=(-1，2)平移，得到的直线与圆 x 2 +y 2 +2x-4y=0 相切，则 c 等于_。 A （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 xx+1 y=y+2，直线方程变为(x+1)-2(y-2)+c=0，即 x-2y+5+c=0， 由10.抛物线 y 2 =4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 （分数：4.00）A.4B.3C.2 D.1
12、解析：解析 11.设 x0 时，e x2 -(ax 2 +bx+c)是比 x 2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 是常数，则_。（分数：4.00）A.a=1，b=2，c=0B.a=c=1，b=0 C.a=c=2，b=0D.a=b=1，c=0解析：解析 由题设 ，所以 c=1。 又因为 即 12.已知，圆的周长为 6，则夹角 60的扇形的面积为_。 A B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设圆的半径为 r，则由 l=2r，得 r=3，于是圆的面积 A=r 2 =9。 故所求扇形的面积为 13. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查重要极限 ，对函数 进行适
13、当变形，利用公式 即可完成。 14.设 ，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 (1)先证x n 单调增加 ，假设当 n=k 时，有 x k x k-1 ，那么由 A+x k A+x k-1 ，知 ，即 x k+1 x k ，故对任意的 n=k+1，有 x n x n-1 成立，由数学归纳法知x n 单调增加。 (2)再证数列x n )有上界 ，设当 n=k 时，有 ，那么当 n=k+1 时， ，因此有上界，从而x n 单调递增有上界，由单调有界定理知X n 收敛。 (3)再求 设 ，对 两端取极限，得 ，解得 ，由(1)知 a0，因此 15.若 ，则 =
14、_。 A （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 ，取 ，则16.设 f(x)是方程 y-2y+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，f(x 0 )=0，则 f(x)在 x 0 点_。（分数：4.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.某邻域内单调增D.某邻域内单调减解析：解析 对任何 x，f(x)满足方程 y-2y+4y=0，故对 x 0 也有 f(x 0 )-2f(x 0 )+4f(x 0 )=0，且 f(x 0 )0，f(x 0 )=0 解得 f(x 0 )=-4f(x 0 )0，由极值存在的充分条件可知 x 0 点是极大值点，f(x 0 )为极大值，故选A。17.由 （分数
15、：4.00）A.0 B.1C.2D.3解析：解析 在方程两边对 x 求导，得 令 y=0(x0)，得驻点 x=1。 当 0x1 时，y0，函数 y(x)单调减少；当 x1 时，y0，函数 y(x)单调增加。 因此，y(x)在 x=1 处有极小值 y(1)，且 18.双曲线 在点 p 0 (x 0 ，y 0 )处的切线及 x=a(a 为切线在 x 轴上的截距)所围图形的面积为A(右图中阴影部分)，则以下选项中正确的是_。 （分数：4.00）A.x0 越大，面积 A 越大B.面积 A 与 x0 无关，恒为常数 C.x0 越大，面积 A 越小D.面积 A 不是 x0 的单调函数解析：解析 切线斜率为
16、 ，所以切线方程为 当 y=0 时，x=a=2x 0 ，所以有 19.设函数 f(x)在(-，+)内可导，且 f(1)=f(1)=1， （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析 (x)=f(e x )?e x -f(x+1)1 (x)=f(e x )?e x ?e x +e x ?f(e x )-f(x+1)1 (0)=f(e 0 )?(e 0 ) 2 ve 0 ?f(e 0 )-f(1+0)=f(1)1+1f(1)-f(1)=f(1)=1 故 B 为正确答案。20.设 ，则 =_。 A B Cln 2 x D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设 ，由已知可得 故
17、 F(1)=f(1)+C=0，得 C=0 故 21.三阶行列式 的值为_。 A(1+a 1 )(1+a 2 )(1+a 3 ) B C （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 用拆项法计算三阶行列式 D 3 中每个元素为二数之和，共拆成 8 个行列式，其中不为 0 的行列式有 4 个，即 22.设 A 为 n 阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若|A|=a0，则|2A * |=_。 A2a n-1 B2 n a n-1 C2 n a n+1 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用|rA|=|r n A|及|A*|=|A| n-1 ，可知 B 为正确答案。23.已知向
18、量组 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关，则向量组_。（分数：4.00）A.a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a1 线性无关B.a1-a2，a2-a3，a3-a4，a4-a1 线性无关C.a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4-a1 线性无关 D.a1+a2，a2+a3，a3-a4，a4-a1 线性无关解析：解析 由(a 1 +a 2 )-(a 2 +a 3 )+(a 3 +a 4 )-(a 4 +a 1 )=0 (a 1 -a 2 )+(a 2 -a 3 )+(a 3 -a 4 )+(a 4 -a 1 )=0 (a 1 +a 2 )-(a 2 +a 3 )+(a 3 -
19、a 4 )+(a 4 -a 1 )=0 知 A、B、D 中向量组均线性相关。事实上，设 R 1 (a 1 +a 2 )+R 2 (a 2 +a 3 )+R 3 (a 3 +a 4 )+R 4 (a 4 -a 1 )=0 由 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 线性相关，有 解得 R 1 =R 2 =R 3 =R 4 =0，故选 C。24.设 x 1 、x 2 是非齐次线性方程组 Ax=B 的两个不同解， 1 、 2 是其导出组 Ax=0 的基础解系，c 1 、c 2 为任意常数，则方程组 Ax=B 的通解是_。（分数：4.00）A.(x1-x2)/2+c11+c22B.(x1+x2)/2+c
20、11+c2(1+2) C.x1-x2+c11+c2(1+2)D.(x1-x2)/2+c1x1+c2(1+2)解析：解析 因为(x1+x2)/2 是 Ax=B 的一个解， 1 ， 2 是导出组 Ax=O 的解，所以 1 + 2 也是 Ax=0 的解，易证 1 ， 1 + 2 线性无关，故 1 ， 1 + 2 也是 Ax=0 的一个基础解系，所以(x 1 +x 2 )/2+C 1 1 +C 2 ( 1 + 2 )是方程组 Ax=B 的通解。 A、C、D 中不含 Ax=B 的特解，故 B 为正确答案。25.设 ，则 A n =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 其中 因此，
