1、工程硕士(GCT)数学-158 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.下列命题中，正确的是_。（分数：4.00）A.方程 x2=2x 只有一个实数根B.方程 x2-6=0 有两个相等的实数根C.方程 2x2-3x+2=0 没有实数根D.方程 x2+6x-1=0 有两个相等的实数根2.设方程 x 2 -1=0 的两个实数根分别为 x 1 ，x 2 ，则 的值为_。 A1 B-1 C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.设方程 2x 2 -(k+1)x+k+3=0 的两根之差为 1，则 k 的值是_。（分数：4.00）A.9
2、 和-3B.9 和 3C.-9 和 3D.-9 和-34.若 zC，且 ，则|z+1-i|的最大值为_。 A3 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.如果 （分数：4.00）A.1B.0C.-1D.-26.5 个人抓 1 个有物之阉，则第二个人抓到的概率为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知数列a n 的前 n 项和为 S n =3+2 n ，则这个数列是_。（分数：4.00）A.等差数列B.等比数列C.既非等差数列，又非等比数列D.既是等差数列，又是等比数列8.设 ， 满足 ，则 的值为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知三
3、角形三边的长为 2，x，9，若 x 为奇数，则此三角形的周长是_。（分数：4.00）A.15B.17C.26D.2010.把一个半径为 R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为 1:2，则其中较小球的半径为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.11.已知 m，n 是夹角为 60的两个单位向量，则 a=2m+n 和 b=-3m+2n 的夹角是_。（分数：4.00）A.30B.60C.120D.15012.椭圆 的焦点在 x 轴上，则其离心率的取值范围是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.参数方程 (02)表示_。 A双曲线的一
4、支，这支过点 B抛物线的一部分，这部分过点 C双曲线的一支，这支过点 D抛物线的一部分，这部分过点 （分数：4.00）A.B.C.D.14.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.415.已知数列通项为 （分数：4.00）A.无穷大B.无穷小C.有界变量且非无穷小D.无界变量且非无穷大16.设函数 x=f(y)的反函数 y=f -1 (x)及 ff -1 (x)，ff -1 (x)均存在，且 ff -1 (x)0，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.17.设 y(0)=_，则 x 3 +y 3 +e -xy =0。 A B C D
5、（分数：4.00）A.B.C.D.18. 的值为_。 A0 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.19.下列等式中，正确的是_。 Af(x)dx=f(x) Bdf(x)=f(x) C （分数：4.00）A.B.C.D.20.设函数 f(x)连续，则下列变上限定积分定义的函数中必为偶函数的是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.21.已知 ，则 （分数：4.00）A.2mB.3mC.6mD.12m22.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 则 A 的伴随矩阵 A * 的逆矩阵为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，有
6、以下 5 个命题： (1)(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 (2)(A-B)(A+B)=A 2 -B 2 (3)(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) (4)A 2 A 5 =A 5 A 2 (5)(A-E)(A k +A k-1 +A+E)=A k+1 -tE 则上述命题中，正确的共有_。（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个24.已知向量 1 =(1，-1，1，0) T ， 2 =(0，1， ，1) T ， 3 =(-2，0，1，-2) T ， 4 =(1，-1，0，0) T ， 5 =(0，-2，1，-2) T ，则齐次线性方程组 （分数：4.00）A.
7、1,2B.2,5C.3,4D.3,4,525.A 与对角形矩阵 （分数：4.00）A.|A|0B.|A|=0C.A 的特征值有重根D.A 的特征值可能无重根工程硕士(GCT)数学-158 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1.下列命题中，正确的是_。（分数：4.00）A.方程 x2=2x 只有一个实数根B.方程 x2-6=0 有两个相等的实数根C.方程 2x2-3x+2=0 没有实数根 D.方程 x2+6x-1=0 有两个相等的实数根解析：解析 A 中方程 x 2 =2x 的解为 x 1 =0，x 2 =2，与方程只有一个实数根
8、矛盾，不正确；B 中方程x 2 -6=0，解得 2.设方程 x 2 -1=0 的两个实数根分别为 x 1 ，x 2 ，则 的值为_。 A1 B-1 C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 提示：x 1 +x 2 =-1，x 1 x 2 =-1，故 3.设方程 2x 2 -(k+1)x+k+3=0 的两根之差为 1，则 k 的值是_。（分数：4.00）A.9 和-3 B.9 和 3C.-9 和 3D.-9 和-3解析：解析 x 1 -x 2 =1(x 1 x 2 )，又 ，即(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 4.若 zC，且 ，则|z+1-i|的最大值为_。
9、A3 B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 故|z+1-i|的最大值为 5.如果 （分数：4.00）A.1B.0C.-1 D.-2解析：解析 两项中分子和分母中 x 的指数之比是 。据反比例关系分配 124=3，即当后一项乘方次数为 3 时，该项为常数项，这就是说展开式第 4 项是常数项，即 6.5 个人抓 1 个有物之阉，则第二个人抓到的概率为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 Ai=第 i 个人抓到有物之阄(i=1，2，3，4，5)，有 根据事件相同对应概率相等，有 又因为 ，所以有 7.已知数列a n 的前 n 项和为 S n
10、=3+2 n ，则这个数列是_。（分数：4.00）A.等差数列B.等比数列C.既非等差数列，又非等比数列 D.既是等差数列，又是等比数列解析：解析 根据已知条件，有 a 1 =S 1 =3+2 1 =5 当 n2 时，a n =S n -S n -1=(3+2 n )-(3+2 n-1 )=2 n-1 把 n=1 代入 a n =2 n-1 中，得 a 1 =2 1-1 =1，与 a 1 =S 1 =5 不相符。 8.设 ， 满足 ，则 的值为_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.已知三角形三边的长为 2，x，9，若 x 为奇数，则此三角形的周长是_。（分数
11、：4.00）A.15B.17C.26D.20 解析：解析 三线段 a，b，c 能构成三角形的条件是 a-c6a+c(或 b-cab+c，a-bca+b)，由x 为奇数，则可求出 x 的值。 因 2+9=11，9-2=7，又根据三角形的三边关系定理，得 7x11。 又因 x 为奇数，故 x=9，三角形的周长为 2+x+9=2+9+9=20，故选 D。10.把一个半径为 R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为 1:2，则其中较小球的半径为_。 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设较小球的半径为 r，则 11.已知 m，n 是夹角为 60的两
12、个单位向量，则 a=2m+n 和 b=-3m+2n 的夹角是_。（分数：4.00）A.30B.60C.120 D.150解析：解析 不妨设 m=(1，0)， 则 因此， 12.椭圆 的焦点在 x 轴上，则其离心率的取值范围是_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 焦点在 x 轴上 ，故有 13.参数方程 (02)表示_。 A双曲线的一支，这支过点 B抛物线的一部分，这部分过点 C双曲线的一支，这支过点 D抛物线的一部分，这部分过点 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 ，所以曲线方程为 14.设 f(x)在 x=1 处连续，且 （分数：4.00）A.1B
13、.2 C.3D.4解析：解析 由连续性定义，f(1)=f(x)，由已知条件 ，分母 x-10，故分子 f(x)-2 也必须趋向0，故有15.已知数列通项为 （分数：4.00）A.无穷大B.无穷小C.有界变量且非无穷小D.无界变量且非无穷大 解析：解析 16.设函数 x=f(y)的反函数 y=f -1 (x)及 ff -1 (x)，ff -1 (x)均存在，且 ff -1 (x)0，则 =_。 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 f|f -1 (x)|0，由反函数的导数公式有 17.设 y(0)=_，则 x 3 +y 3 +e -xy =0。 A B C D （分数：
14、4.00）A. B.C.D.解析：解析 由隐函数求导有 3x2+3y2y-e -xy(y+xy)=0令 x=0，得 y(0)=-1， 。 对上式再求导得 6x+6y(y) 2+3y2y+e -xy(y+xy) 2-e-xy(2y+xy)=0将 x=0，y=-1， 代入，得 18. 的值为_。 A0 B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 在 内，x 2 是偶函数， 为奇函数，所以有 19.下列等式中，正确的是_。 Af(x)dx=f(x) Bdf(x)=f(x) C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由微分与积分的互逆运算关系可知，C 是正确的。20.设函数
15、f(x)连续，则下列变上限定积分定义的函数中必为偶函数的是_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 当 f(x)为奇函数时，21.已知 ，则 （分数：4.00）A.2mB.3mC.6m D.12m解析：解析 22.已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 则 A 的伴随矩阵 A * 的逆矩阵为_。 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 AA * =|A|E，知 A * =|A|A -1 ， ，而(A -1 ) -1 =A，因此由 23.设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，有以下 5 个命题： (1)(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 (2
16、)(A-B)(A+B)=A 2 -B 2 (3)(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) (4)A 2 A 5 =A 5 A 2 (5)(A-E)(A k +A k-1 +A+E)=A k+1 -tE 则上述命题中，正确的共有_。（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：解析 矩阵的乘法没有交换律，所以命题(1)，(2)均错误。 (A+B) 2 =A 2 +AB+BA+B 2 (A-B)(A+B)=A 2 +AB-BA-B 2 (A-E)(A+E)=A 2 -E 2 =(A+E)(A-E) 故命题(3)正确。乘法有结合律，故命题(4)也正确。利用分配律可知命题(5)也
17、正确，故应选 C。24.已知向量 1 =(1，-1，1，0) T ， 2 =(0，1， ，1) T ， 3 =(-2，0，1，-2) T ， 4 =(1，-1，0，0) T ， 5 =(0，-2，1，-2) T ，则齐次线性方程组 （分数：4.00）A.1,2B.2,5C.3,4 D.3,4,5解析：解析 n-r(A)=4-2=2，所以基础解系由 2 个线性无关的向量组成，故排除 D。 由于 1 =(1，-1，1，0，) T 不满足第 2 个方程，不是方程组的解，故排除 A。 由 25.A 与对角形矩阵 （分数：4.00）A.|A|0B.|A|=0C.A 的特征值有重根D.A 的特征值可能无重根 解析：解析 对角形矩阵 A的特征值为 a 1 ，a 2 ，a n ，故 A 的特征值为 a 1 ，a 2 ，a n 。 根据|A|=a 1 ?a 2 ?a n ，|A|是否等于 0，由 a 1 ，a 2 ，a n 中有无 0 而确定，因此 A、B 都不正确。 A 的特征值有无重根取决于 a 1 ，a 2 ，a n 有无重值，故 C 不正确。 故 D 为正确答案。
