1、工程硕士(GCT)数学-14 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.设 F=0.48181是无穷循环小数，其中 8和 1是循环位，如把 F写成既约分数，其分母比分子大( )（分数：4.00）A.13B.14C.29D.572.4名男生 2名女生站成一排，要求两名女生不站在两端，则不同排法的种数为( )（分数：4.00）A.48B.96C.144D.2883.设 A1，A 2，A 3为三个独立事件，且 P(Ak)=p(k=1，2，3，其中 0p1)，则这三个事件不全发生的概率是( )（分数：4.00）A.(1-p)3B.3(1
2、-p)C.(1-p)3+3p(1-p)D.3p(1-p)2+3p2(1-p)4.如 是 x3=1的一个虚根，则(1-+ 2)(1+- 2)=( )（分数：4.00）A.4B.C.2D.15.内接于半径为 R的球面且有最大体积的长方体的体积为( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 43矩阵 A的秩 r（分数：4.00）A.=2，B=B.1C.2D.37.甲盒内有红球 4只，黑球 2只，白球 2只；乙盒内有红球 5只，黑球 3只；丙盒内有黑球 2只，白球 2只从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是( )（分数：4.00）A.0.5625B.0.5C.0.45D.0.3758
3、.设 1， 2， s， 是线性相关的 n维向量组，则( )（分数：4.00）A. 可由 1， 2， s线性表示B. 不可由 1， 2， s线性表示C.若秩 r( 1， 2， s，)=s，则 可由 1， 2， s线性表示D.若 1， 2， s线性无关，则 可由 1， 2， s线性表示9.若(2x-1) 6(2-3x)9=a0x15+a1x14+a15，则 a0+a1+a2+a14=( )（分数：4.00）A.-1-29B.-29C.1-29D.21510.以复数 z1=cos-i，z 2=sin+i(0 )和原点为顶点的三角形的面积的最大值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.11.当 x0
4、 时，(x)=kx 2与 （分数：4.00）A.B.C.D.12.数列 an中，a 1=2，且满足 an+1=an+2n(n1)，则 a100等于( )（分数：4.00）A.9700B.9702C.9900D.990213.设 （分数：4.00）A.B.C.D.14.A是 45的矩阵，且 A的行向量组线性无关，则正确的有( )(1)ATX=0只有 0解；(2)ATAX=0必有非 0解；(3)ATAX=b必无解；(4)对于任意四维向量 b，AX=b 总有无穷多解；（分数：4.00）A.(1)(2)(3)B.(1)(2)C.(1)(2)(4)D.(2)(3)(4)15.如 0 （分数：4.00）A
5、.B.C.D.16.设有三条不同的直线 aix+biy=ci(i=1，2，3)，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为 2而增广矩阵的行列式等于-3，则这三条直线可能的位置关系是( )（分数：4.00）A.B.C.D.17.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7 1/2，0)，直线 y=x-1与其相交于 M，N 两点，MN 的中点的横坐标为 ，则该双曲线的方程为( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.A是 4阶矩阵，设 A=( 1， 2， 3， 4)，其中向量组 2， 3， 4线性无关，且 1=3 2-2 3，则齐次线性方程组 AX=0( )（分数：4.00）A.有非零解，且通解为 X=
6、k(1，-3，2，0) T(k为任意实数)B.有非零解，且通解为 X=k(1，-3，-2) T(k为任意实数)C.有非零解，且通解为 X=k(1，-2，3，1) T(k为任意实数)D.只有零解19.甲花费 50000元购买了股票，随后他将这些股票转卖给乙，获利 10%，不久乙又将这些股票返卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给他的价格的 9折把这些股票卖掉了，不计交易费，甲在上述股票交易中( )（分数：4.00）A.不亏不盈B.盈利 50元C.盈利 100元D.亏损 50元20.作 y=x3的切线，则切线与曲线 y=x3及 x轴在第一象限围成的面积是( )（分数：4.00）A.6.25B.
7、8C.7.25D.6.7521.如图 60所示，M 为平行四边形 ABCD的 AB边上的中点，AC 交 MD于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD面积的比是( )（分数：4.00）A.B.C.D.22.设函数 在 x=0处极限存在，则 a=( )（分数：4.00）A.B.C.D.23.某培训班有学员 96人，其中男生占全班人数的 （分数：4.00）A.B.C.D.24.（分数：4.00）A.B.C.D.25.设(A=I) -1= （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-14 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：
8、100.00)1.设 F=0.48181是无穷循环小数，其中 8和 1是循环位，如把 F写成既约分数，其分母比分子大( )（分数：4.00）A.13B.14C.29D.57 解析：解析 F=0.48181=*，分母比分子大 110-53=57，选(D)2.4名男生 2名女生站成一排，要求两名女生不站在两端，则不同排法的种数为( )（分数：4.00）A.48B.96C.144 D.288解析：解析 采用插空法，第一步先排男生，第二步再排女生，共有*，选(C)3.设 A1，A 2，A 3为三个独立事件，且 P(Ak)=p(k=1，2，3，其中 0p1)，则这三个事件不全发生的概率是( )（分数：4
9、.00）A.(1-p)3B.3(1-p)C.(1-p)3+3p(1-p) D.3p(1-p)2+3p2(1-p)解析：解析 三个事件不全发生的反面是全都发生，故概率为*，而(1-p) 3+3p(1-p)=1-p3，选(C)4.如 是 x3=1的一个虚根，则(1-+ 2)(1+- 2)=( )（分数：4.00）A.4 B.C.2D.1解析：解析 (1-)(1+ 2)=0， 是虚根，从而有 1+ 2=0，则(1-+ 2)(1+- 2)=- 4+2 3- 2+1=4-(1+ 2)=4，选(A)5.内接于半径为 R的球面且有最大体积的长方体的体积为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析
10、显然当内接长方体为正方体时，体积恰为最大值，所以有*=*，体积为*，选(D)6.设 43矩阵 A的秩 r（分数：4.00）A.=2，B=B.1C.2 D.3解析：解析 A 为 43的矩阵，B 为 33的矩阵，则 AB为 43的矩阵，又 B为满秩矩阵，则 r(AB)=r(A)=2，选(C)7.甲盒内有红球 4只，黑球 2只，白球 2只；乙盒内有红球 5只，黑球 3只；丙盒内有黑球 2只，白球 2只从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是( )（分数：4.00）A.0.5625B.0.5C.0.45D.0.375 解析：解析 选取任意一只盒子的概率是*，而从甲盒里取到红球的概率为*，
11、从乙盒里取到红球的概率是*，从丙盒内去红球的概率为 0，故取到红球的概率为*=0.375，选(D)8.设 1， 2， s， 是线性相关的 n维向量组，则( )（分数：4.00）A. 可由 1， 2， s线性表示B. 不可由 1， 2， s线性表示C.若秩 r( 1， 2， s，)=s，则 可由 1， 2， s线性表示D.若 1， 2， s线性无关，则 可由 1， 2， s线性表示 解析：解析 根据线性相关的定义及性质，选(D)9.若(2x-1) 6(2-3x)9=a0x15+a1x14+a15，则 a0+a1+a2+a14=( )（分数：4.00）A.-1-29B.-29C.1-29 D.21
12、5解析：解析 令 x=1，则 a0+a1+a2+a14+a15=1，a 15=(-1)629，从而 a0+a1+a2+a14=1-a15=1-29，选(C)10.以复数 z1=cos-i，z 2=sin+i(0 )和原点为顶点的三角形的面积的最大值是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然当三角形是等腰三角形时面积可取最大值，此时有|z 1|=|z2|，可得 cos2=sin 2，即*，从而面积是*，选(C)11.当 x0 时，(x)=kx 2与 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 题设相当于已知*，由此确定 k即可由题设，*，得*选(D)12.数列 an中，a
13、1=2，且满足 an+1=an+2n(n1)，则 a100等于( )（分数：4.00）A.9700B.9702C.9900D.9902 解析：解析 a n+1-an=2n，a n-an-1=2(n-1)，a 2-a1=2，相加得 an+1-a1=2(1+2+n)*an+1=(n+1)(n+1-1)+2，即 an=n(n-1)+2，所以 a100=10099+2=9902，选(D)13.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *=在(-，-1)、(1，+)上 f(x)为增函数，在(-1，1)上是减函数，在 x=-1处取到最大值为 2，在 x=1处取到最小值为 0，选(C)14.A是
14、45的矩阵，且 A的行向量组线性无关，则正确的有( )(1)ATX=0只有 0解；(2)ATAX=0必有非 0解；(3)ATAX=b必无解；(4)对于任意四维向量 b，AX=b 总有无穷多解；（分数：4.00）A.(1)(2)(3)B.(1)(2)C.(1)(2)(4) D.(2)(3)(4)解析：解析 显然 r(A)=4，则 r(AT)=4，所以 ATX=0只有 0解；A TA为 55的矩阵，而 r(ATA)=4，所以ATAX=0必有非 0解；A TAX=b可能有解也可能无解；AX=b 方程个数小于未知数个数，所以对于任意四维向量 b，AX=b 总有无穷多解，选(C)15.如 0 （分数：4
15、.00）A. B.C.D.解析：解析 (sin+cos) 2=1+2sin2=a 2，(sin+cos) 2=1+2cos2=b 2，又 022*，故sin2sin2，从而 a2b 2，又 a，b0，则 ab，选(A)16.设有三条不同的直线 aix+biy=ci(i=1，2，3)，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为 2而增广矩阵的行列式等于-3，则这三条直线可能的位置关系是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据线性代数，系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，该线性方程组无解，即三条直线没有交点，只有(D)选项符合17.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7 1/2，0)，直线
16、 y=x-1与其相交于 M，N 两点，MN 的中点的横坐标为 ，则该双曲线的方程为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设双曲线方程为*，与 y=x-1相交，即方程*=1 有两个实根 x1和 x2，且*，则根据根与系数的关系有*=1，选(D)18.A是 4阶矩阵，设 A=( 1， 2， 3， 4)，其中向量组 2， 3， 4线性无关，且 1=3 2-2 3，则齐次线性方程组 AX=0( )（分数：4.00）A.有非零解，且通解为 X=k(1，-3，2，0) T(k为任意实数) B.有非零解，且通解为 X=k(1，-3，-2) T(k为任意实数)C.有非零解，且通解为 X=k(1
17、，-2，3，1) T(k为任意实数)D.只有零解解析：解析 显然齐次线性方程组 AX=0的系数矩阵的列向量线性相关，有非零解而 A=(3 2-2 3， 2， 3， 4)，又因 A(1，-3，2，0) T=0，故通解为 X=k(1，-3，2，0) T，选(A)19.甲花费 50000元购买了股票，随后他将这些股票转卖给乙，获利 10%，不久乙又将这些股票返卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给他的价格的 9折把这些股票卖掉了，不计交易费，甲在上述股票交易中( )（分数：4.00）A.不亏不盈B.盈利 50元 C.盈利 100元D.亏损 50元解析：解析 第一次甲获利 5000元，第二次甲购买
18、的价格是 50000(1+10%)(1-10%)=49500，卖出的价格是 50000(1+10%)(1-10%)0.9=44550，获利-4950，故结果是获利 50，选(B)20.作 y=x3的切线，则切线与曲线 y=x3及 x轴在第一象限围成的面积是( )（分数：4.00）A.6.25 B.8C.7.25D.6.75解析：解析 先求切线，显然切线方程为*，过(2，0)点，则 x0=3，如图 68所示，所以所围成的面积为*，选(A)*21.如图 60所示，M 为平行四边形 ABCD的 AB边上的中点，AC 交 MD于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD面积的比是( )（分数：
19、4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意，有 E时 AC的三等分点令平行四边形 ABCD的面积是 1，S ACM =*，故阴影部分面积是*，选(A)22.设函数 在 x=0处极限存在，则 a=( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *，则有*=*，选(B)23.某培训班有学员 96人，其中男生占全班人数的 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然女生有*，故 30岁以下的有 4085%=34，选(D)24.（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方法一*而*，故原式*选(A)。方法二 因为*所以原式=*选(A)25.设(A=I) -1= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 (A+I)(A-I) -1=(A-I+2I)(A-I)-1=I+2(A-I)-1=*，故特征值之和为 3+15+5=23，选(C)
