1、贵州省专升本考试高等数学真题 2015 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.-1，1B.0，1C.(-，1D.-2，12.下列函数中，是奇函数的为_（分数：2.00）A.y=x4+x2+1B.y=xsinx2C.y=x3-e-x2D.y=ln2x3.当 x0 时，下列函数是其他三个函数高阶无穷小量的是_ Ax+x 2 B1-cosx Ca x -1 D （分数：2.00）A.B.C.D.4.对于函数 （分数：2.00）A.x=-1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点B.x=-1 是第二类间断
2、点，x=1 是第一类间断点C.x=-1 是第一类间断点，x=1 是第一类间断点D.x=-1 是第二类间断点，x=1 是第二类间断点5.下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是 A Bf(x)=(x-4) 2 ，x-2，4 C （分数：2.00）A.B.C.D.6.若 f“(x 0 )存在，则 （分数：2.00）A.mf“(x0)B.nf“(x0)C.(m+n)f“(x0)D.(m-n)f“(x0)7.函数 y=x 4 -4x 上切线平行于 x 轴的点为_（分数：2.00）A.(0，0)B.(1，1)C.(1，-3)D.(2，8)8.设函数 则 dy=_ A B （分数：2.00）A.B.C.D
3、.9.设函数 y=f(x)有 f“(x 0 )=2，则当 x0 时，f(x)在 x=x 0 处的微分 dy 是_（分数：2.00）A.与 x 等价的无穷小B.与 x 同阶但不等价的无穷小C.比 x 高阶的无穷小D.比 x 低阶的无穷小10. _ Aarctanx B （分数：2.00）A.B.C.D.11.函数 y=ax 2 +c 在区间(0，+)内单调增加，则 a、c 满足_（分数：2.00）A.a0，且 c0B.a0，且 c0C.a0，且 c 为任意实数D.a0，且 c 为任意实数12.函数 y=x 3 -3x 的单调减少的区间为_（分数：2.00）A.(-，+)B.(-，-1)C.(1，
4、+)D.(-1，1)13.函数 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.414.曲线 （分数：2.00）A.x=1B.y=1C.y=x-1D.y=1 和 x=115.f(x)有一个原函数 则f“(x)dx=_ A-cosx+C B C （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 f(x)=e -x ，则 _ A B-lnx+C C （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 则常数 a=_ A3 B （分数：2.00）A.B.C.D.18. 则 p=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19. _ A （分数：2.00）A.B.C.D.20.常微分方程(y“) 3 +y“=y
5、是_（分数：2.00）A.一阶方程B.二阶方程C.三阶方程D.二阶线性方程21.设 a，b 为非零向量，且 ab，则下列等式一定成立的是_（分数：2.00）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|-|b|C.|a+b|=|a-b|D.a+b=a-b22.空间直线 （分数：2.00）A.互相垂直B.互相平行C.不平行也不垂直D.直线在平面上23.下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为抛物面的是_（分数：2.00）A.x2+3y2=zB.x2+y2+z2=1C.4x2-y2+4z2=4D.y2-x2=024.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 （分数：2.0
6、0）A.z=f(x，y)在点(x0，y0)一定连续B.z=f(x，y)在点(x0，y0)一定不连续C.z=f(x，y)在点(x0，y0)连续是否和两个偏导数值有关D.和 z=f(x，y)在点(x0，y0)连续与否无关25.设 z=e xy ，则 dz=（分数：2.00）A.exy(xdx+ydy)B.exy(xdx-ydy)C.exy(ydx+xdy)D.exy(ydx-xdy)26.交换积分次序 后，I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.设 D 为(x-2) 2 +(y-1) 2 =1， （分数：2.00）A.I1=I2B.I1I2C.I1I2D.I1I228.下列
7、级数中，收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛级数B.条件收敛级数C.发散级数D.敛散性不定的级数30.幂级数 在区间(-3，3)内的和函数 S(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知函数 f(2x+6)的定义域为-3，4)，则函数 f(x)的定义域为 1 （分数：2.00）32.极限 （分数：2.00）33.已知函数 y=sinx，则 y (2016) = 1 （分数：2.00）34.设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y)=x 3 y+sin
8、x 确定，则 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.过原点且与直线 （分数：2.00）37.设函数 z 由 xcosy+ycosz+zcosx=1 所确定，则全微分 dz= 1 （分数：2.00）38.设 L 是抛物线 y=x 2 上从点(-1，1)到点(1，1)的一段弧，则 L (x 2 -2xy)dx+(y 2 -2xy)dy= 1 （分数：2.00）39.微分方程 xy“+y“+x=0 的通解为 y= 1 （分数：2.00）40.方程 y“-3y“+2y=e x +x 的特解形式应设为 y*= 1 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （
9、分数：5.00）_42.求函数 y=(1+x 2 ) sinx 的导数 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.求通过两点 P 1 (1，1，1)及 P 2 (0，1，-1)且垂直于平面 x+y+z=0 的平面方程 （分数：5.00）_46.求函数 （分数：5.00）_47.已知 z=e x2+xy-y2 ，求全微分 dz （分数：5.00）_48.求幂级数 （分数：5.00）_49.计算 （分数：5.00）_50.求解微分方程 2xy“=y+2x 2 满足 y| x=1 =1 的特解 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数
10、：14.00)51.曲线过点(1，0)，且曲线上任一点(x，y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程 （分数：7.00）_52.在区间0，1上给定函数 y=x 2 ，问当 t 为何值时，图中阴影部分 S 1 和 S 2 的面积之和最小?何时最大? （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在0，c可导，f“(x)单调递减且 f(0)=0，用拉格朗日中值定理证明：对任意a，b，0aba+bc，恒有 f(a+b)f(a)+f(b) （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学真题 2015 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择
11、题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.-1，1B.0，1 C.(-，1D.-2，1解析：解析 要使函数有意义，须2.下列函数中，是奇函数的为_（分数：2.00）A.y=x4+x2+1B.y=xsinx2 C.y=x3-e-x2D.y=ln2x解析：解析 选项 A 仅含 x 的偶次幂项，故为偶函数；选项 B 中，x 为奇函数，sinx 2 为偶函数，进而xsinx 2 为奇函数；选项 C 中，x 3 为奇函数，e -x2 为偶函数，进而 x 3 -e -x2 是非奇非偶函数；选项 D 中，ln 2 x 的定义域不关于坐标原点对称，非奇非偶函数3.当 x0 时，下列函
12、数是其他三个函数高阶无穷小量的是_ Ax+x 2 B1-cosx Ca x -1 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 A 的等价无穷小为 x+x 2 ；B 的等价无穷小为 C 的等价无穷小为 xlna；D 的等价无穷小为 4.对于函数 （分数：2.00）A.x=-1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点B.x=-1 是第二类间断点，x=1 是第一类间断点C.x=-1 是第一类间断点，x=1 是第一类间断点 D.x=-1 是第二类间断点，x=1 是第二类间断点解析：解析 首先肯定，x=1 皆为函数的间断点，因此两点处函数皆无定义又 x-1 时，y0，所以 x=-1 是函数的第一
13、类间断点；又 x1 + 时，y-；x1 - 时，y；故 x=1 也为函数的第一类间断点故选 C5.下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是 A Bf(x)=(x-4) 2 ，x-2，4 C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题意得， 所以 又因为 f(x)在 上连续，且 f“(x)=cosx 在 上可导，所以 f(x)=sinx 在区间6.若 f“(x 0 )存在，则 （分数：2.00）A.mf“(x0)B.nf“(x0)C.(m+n)f“(x0) D.(m-n)f“(x0)解析：解析 7.函数 y=x 4 -4x 上切线平行于 x 轴的点为_（分数：2.00）A.(0，0)B
14、.(1，1)C.(1，-3) D.(2，8)解析：解析 令 y“=4x 3 -4=0，得 x=1，于是所求的点为(1，f(1)，即(1，-3)8.设函数 则 dy=_ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 9.设函数 y=f(x)有 f“(x 0 )=2，则当 x0 时，f(x)在 x=x 0 处的微分 dy 是_（分数：2.00）A.与 x 等价的无穷小B.与 x 同阶但不等价的无穷小 C.比 x 高阶的无穷小D.比 x 低阶的无穷小解析：解析 10. _ Aarctanx B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为定积分11.函数 y=ax 2 +c 在区间
15、(0，+)内单调增加，则 a、c 满足_（分数：2.00）A.a0，且 c0B.a0，且 c0C.a0，且 c 为任意实数D.a0，且 c 为任意实数 解析：解析 因 y=ax 2 +c 在(0，+)内递增，有 y“=2ax0，x(0，+)，于是应有 a0由于对 c无要求，故 c 可以取任意实数故选 D12.函数 y=x 3 -3x 的单调减少的区间为_（分数：2.00）A.(-，+)B.(-，-1)C.(1，+)D.(-1，1) 解析：解析 y“=3x 2 -3=3(x 2 -1)，令 y“=0，得 x=1，在(-，-1)(1，+)内 y“0；在(-1，1)内 y“0，即 y=x 3 -3x
16、 单调减少的区间为(-1，1)13.函数 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 因为14.曲线 （分数：2.00）A.x=1B.y=1C.y=x-1D.y=1 和 x=1 解析：解析 15.f(x)有一个原函数 则f“(x)dx=_ A-cosx+C B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由原函数的定义可知 而 16.设 f(x)=e -x ，则 _ A B-lnx+C C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 又 f(x)=e -x ， 故 17.设 则常数 a=_ A3 B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 于是由已知
17、条件得，18. 则 p=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 19. _ A （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 20.常微分方程(y“) 3 +y“=y 是_（分数：2.00）A.一阶方程B.二阶方程 C.三阶方程D.二阶线性方程解析：解析 因微分方程的阶数是由方程中出现的最高阶导数的阶数确定的故选 B21.设 a，b 为非零向量，且 ab，则下列等式一定成立的是_（分数：2.00）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|-|b|C.|a+b|=|a-b| D.a+b=a-b解析：解析 由向量的加法、减法的几何意义可知，应选 C22.空间
18、直线 （分数：2.00）A.互相垂直B.互相平行 C.不平行也不垂直D.直线在平面上解析：解析 因为空间直线23.下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为抛物面的是_（分数：2.00）A.x2+3y2=z B.x2+y2+z2=1C.4x2-y2+4z2=4D.y2-x2=0解析：解析 选项 B 为球面，选项 C 为单叶双曲面，选项 D 为两张垂直相交的平面，选项 A 为椭圆抛物面24.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 （分数：2.00）A.z=f(x，y)在点(x0，y0)一定连续B.z=f(x，y)在点(x0，y0)一定不连续C.z=f(x，y)在点(x0，y0
19、)连续是否和两个偏导数值有关D.和 z=f(x，y)在点(x0，y0)连续与否无关 解析：解析 函数 在(0，0)点不连续，但在(0，0)点的两个偏导数 这说明函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数 25.设 z=e xy ，则 dz=（分数：2.00）A.exy(xdx+ydy)B.exy(xdx-ydy)C.exy(ydx+xdy) D.exy(ydx-xdy)解析：解析 因为 z=e xy ，故 dz=e xy (ydx+xdy)，故选 C26.交换积分次序 后，I=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因已知积分的积分区域 D 可表
20、示为：D=D 1 +D 2 ，其中 其图形如图所示： 区域 D 又可表示为 于是，原积分交换积分次序可化为 27.设 D 为(x-2) 2 +(y-1) 2 =1， （分数：2.00）A.I1=I2B.I1I2 C.I1I2D.I1I2解析：解析 作积分区域 D 的图形可知，1x3，0y2， 1x+y5，(x+y) 2 (x+y) 3 ，当 x+y=1 时等号成立，但满足 x+y=1 的点不属于 D，(x+y) 2 (x+y) 3 ，(x，y)D，I 1 I 2 28.下列级数中，收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 对于选项 A： 显然 于是级数 具有相
21、同的敛散性；而 的 p-级数，发散，故 A 选项中的级数发散；对于选项 B： 故级数发散；对于选项 C： 因 q1，于是 即选项 C 中的级数是公比大于 0 小于 1 的等比级数，收敛；对于选项 D： 于是 故级数发散故选C29.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛级数 B.条件收敛级数C.发散级数D.敛散性不定的级数解析：解析 因为 故已知级数的绝对值级数为 又因 且级数 收敛，于是级数30.幂级数 在区间(-3，3)内的和函数 S(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知函数 f(2x+6)的定义域为-
22、3，4)，则函数 f(x)的定义域为 1 （分数：2.00）解析：0，14)解析 函数 f(2x+6)的定义域是指 2x-6 中 x 的取值范围，f(2x+6)的定义域为-3，4)，即-3x4，可得 02x+614，所以函数 f(x)的定义域为0，14)32.极限 （分数：2.00）解析：1解析 所以 y1，x+，即33.已知函数 y=sinx，则 y (2016) = 1 （分数：2.00）解析：sinx解析 34.设函数 y=y(x)由方程 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，则 （分数：2.00）解析：1解析 方程两边对 x 求导，得 注意到当 x=0 时，y=1，故35.
23、 （分数：2.00）解析：0解析 因为36.过原点且与直线 （分数：2.00）解析：2x+y-3z=0解析 所求平面的法向量可取直线的方向向量2，1，-3，又因平面过点(0，0，0)，故平面的点法式方程为：2x+y-3z=037.设函数 z 由 xcosy+ycosz+zcosx=1 所确定，则全微分 dz= 1 （分数：2.00）解析： 解析 两边同时微分，有 cosydx+x(-siny)dy+coszdy+y(-sinz)dz+dzcosx+z(-sinx)dx=0， 于是 38.设 L 是抛物线 y=x 2 上从点(-1，1)到点(1，1)的一段弧，则 L (x 2 -2xy)dx+(
24、y 2 -2xy)dy= 1 （分数：2.00）解析： 解析 由题意得，y=x 2 ，-1x1，则 39.微分方程 xy“+y“+x=0 的通解为 y= 1 （分数：2.00）解析： 解析 微分方程可化为 xy“+y“=-x，即(xy“) x =-x，两边关于 x 积分，有 从而 故两边积分，有 40.方程 y“-3y“+2y=e x +x 的特解形式应设为 y*= 1 （分数：2.00）解析：axe x +bx+c 解析 特征方程为 r 2 -3r+2=0，有特征根 r=1，r=2，于是对于方程 y“-3y“+2y=e x ，应设特解为 y* 1 =axe x ，对于方程 y“-3y“+2y
25、=x 应设特解 y* 2 =bx+c，故原方程的特解应设为 y*=y* 1 +y* 2 =axe x +bx+c三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.求函数 y=(1+x 2 ) sinx 的导数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：两边取对数，得 lny=sinxln(1+x 2 )， 两边对 x 求导，得 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求通过两点 P 1 (1，1，1)及 P 2 (0，1，-1)且垂直于平面 x+y+z=0 的平面
26、方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设所求平面的法向量 n=A，B，C，又因为平面过点 P 1 (1，1，1)，所以该平面方程为 A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0， 又由于点 P 2 在平面上，从而由得 A(0-1)+B(1-1)+C(-1-1)=0， 即 A+2C=0， 由于 n 与已知平面的法向量1，1，1垂直，故有 A+B+C=0， 方程与联立求解得 C=B，A=-2B， 取 B=1 得，n=-2，1，1，则平面方程为 2x-y-z=046.求函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：所给函数的定义域是(-，+)，且 令 y“=0，得驻点 x 1 =-1，x 2
27、 =1，而 x=0 时 y“不存在这三个点将定义域分成四个区间，列表讨论如下：x (-，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+) y“ - 0 + 不存在 - 0 + y 单调递减 极小值 单调递增 极大值 0 单调递减 极小值 单调递增 由上述讨论知，x=-1 是函数的极小值点，极小值为 47.已知 z=e x2+xy-y2 ，求全微分 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 z=e x2+xy-y2 ， 所以 dz=de x2xy-y2 =e x2+xy-y2 d(x 2 +xy-y 2 )=e x2+xy-y2 (dx 2 +dxy-dy 2 )=e x2+
28、xy-y2 (2xdx+ydx+xdy-2ydy)=e x2+xy-y2 (2x+y)dx+(x-2y)dy48.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：该幂级数的收敛半径为 当 x=2 时，原级数为 发散；当 x=-2 时，原级数为 49.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域 D 如图所示，从被积函数的特点知，该积分应化为“先对 y 积分，后对 x 积分”的二次积分 区域 D 可表示为： 50.求解微分方程 2xy“=y+2x 2 满足 y| x=1 =1 的特解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为原方程可化为 此为一阶线性微分方程 由通解公式可得 通解
29、为 将初始条件 y| x=1 =1 代入通解中，得 故所求特解为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.曲线过点(1，0)，且曲线上任一点(x，y)处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程 （分数：7.00）_正确答案：()解析：设 P(x，y)为所求曲线上任意一点，过该点的切线斜率为 y“而直线 OP 的斜率为 由于过 P 点切线垂直 OP，所以 ydy=-xdx， 所以 52.在区间0，1上给定函数 y=x 2 ，问当 t 为何值时，图中阴影部分 S 1 和 S 2 的面积之和最小?何时最大? （分数：7.00）_正确答案：()解析： 记 令 S“(t)=2t(2t-1)=0，得驻点 而边界点为 t=0，t=1 因此，当 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在0，c可导，f“(x)单调递减且 f(0)=0，用拉格朗日中值定理证明：对任意a，b，0aba+bc，恒有 f(a+b)f(a)+f(b) （分数：6.00）_正确答案：()解析：当 a=0 时，显然成立 当 a0 时，因为 f(x)满足拉格朗日中值定理条件，所以必有 1 (0，a)，使得 2 (b，a+b)，使得 又因为 2 1 ，且 f“(x)单调递减，所以 f“( 1 )f“( 2 )，从而
