1、湖北省专升本（高等数学）-试卷 12及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，分数：30.00)1.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_2.设 f(x)=ln(x1)+2，则其反函数 f 1 (x) 1（分数：2.00）填空项 1:_3.设 （分数：2.00）填空项 1:_4.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_5.曲线 y=1+ （分数：2.00）填空项 1:_6.函数 F(x)= 0 x t 2 (t1)dt 的极小值点 x为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 y+lny2xlnx=0 确定函数 y=y(x)，则 y=
2、 1（分数：2.00）填空项 1:_8.定积分 1 1 (x+ （分数：2.00）填空项 1:_9.过点(3，2，1)且与向量 a=1，2，3平行的直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)=xe x ，f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)=f(x)，且在(0，+)内，f(x)0，则曲线 y=f(x)在(，0)内的凸凹性为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 z= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y+3y+2y=e 2x 的特解形式可设为 y * = 1（分数
3、：2.00）填空项 1:_15.极限 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.已知函数 y=x+x sinx ，求 y（分数：2.00）_19.求不定积分xtan 2 xdx（分数：2.00）_20.计算定积分 （分数：2.00）_21.设 z= ，其中 f(u)可导，求 （分数：2.00）_22.计算二重积分 其中区域 D为 （分数：2.00）_23.求幂级数 （分数：2.00）_24.已知连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）_三、综合题(总
4、题数：2，分数：4.00)25.用 a元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的 12 倍，求水池的长与宽各多少米，才能使水池的容积最大?（分数：2.00）_26.由曲线 y=x 3 和直线 x=2，y=0 围成一平面图形，试求： (1)该平面图形的面积； (2)该平面图形绕 y轴旋转一周形成的旋转体体积（分数：2.00）_四、证明题(总题数：1，分数：2.00)27.设 I n =tan n xdx(n2)，证明：I n = （分数：2.00）_湖北省专升本（高等数学）-试卷 12答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题
5、数：15，分数：30.00)1.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 f(x)= ，于是 ff(x)=2.设 f(x)=ln(x1)+2，则其反函数 f 1 (x) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e x2 +1）解析：解析：因函数为：y=ln(x1)+2，故其反函数为：y=e x2 +13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：4.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因 ，由 f(x)在 x=0处连续知，5.曲线 y
6、=1+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=1 及 x=1）解析：解析：因 y=1+ ，所以 ，于是曲线有水平渐近线 y=1：又6.函数 F(x)= 0 x t 2 (t1)dt 的极小值点 x为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=1）解析：解析：因 F(x)= 0 x t 2 (t1)dt，于是 F(x)=x 2 (x1)，令 F(x)=0得驻点 x=0，x=1；于是，x0 时，F(x)0；0x1 时，F(x)0；x1 时，F(x)0；故 F(x)在 x=1处取得极小值，极小值点为 x=17.设 y+lny2xlnx=0 确定函数 y=y(
7、x)，则 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 y+lny2xlnx=0，令 F(x，y)=y+lny2xlnx， 则8.定积分 1 1 (x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：9.过点(3，2，1)且与向量 a=1，2，3平行的直线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因直线与向量 a=(1，2，3)平行，故向量 a即为直线的方向 向量；又直线过点(3，2，1)，故由标准方程可得直线的方程为：10.设 f(x)=xe x ，f (n) (x)= 1（分数：2.00
8、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+n)e x）解析：解析：因 f(x)=xe x ，于是 f(x)=e x +xe x =(x+1)e x ，f(x)=e x +(x+1)e x =(x+2)e x ，f(x)=e x +(x+2)e x =(x+3)e x ，f (n) (x)=(x+n)e x 11.设 f(x)=f(x)，且在(0，+)内，f(x)0，则曲线 y=f(x)在(，0)内的凸凹性为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：凸的）解析：解析：因 f(x)=f(x)，所以函数 y=f(x)为奇数，曲线 y=f(x)关于坐标原点对称；又在(0，+)内，
9、f(x)0，进而曲线为凹的；由对称性知，在(，0)内，曲线 y=f(x)是凸的12.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x (x+)）解析：解析：13.设 z= ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.微分方程 y+3y+2y=e 2x 的特解形式可设为 y * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y * =Ae 2x (A为待定常数)）解析：解析：因方程的特征方程为：r 2 +3r+2=0，故有特征根：r 1 =2，r 2 =1；又方程的自由项f(x)=e 2x ，=2 不是特征根，故微分方
10、程的特解可设为：y * =Ae 2x (A为待定常数)15.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.已知函数 y=x+x sinx ，求 y（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：yx=x sinx ，ln(yx)=sinxlnx，方程两端 y对 x求导得 (y1)= )解析：19.求不定积分xtan 2 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算定积
11、分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=u，dx=du，x=2，u=2，x=2， )解析：21.设 z= ，其中 f(u)可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算二重积分 其中区域 D为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由被积函数可知：该题必须先积 x )解析：23.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1，n，所以幂级数收敛半径为 R=1，在端点 x=1处，级数都收敛，所以该级数收敛域为1，1，设在收敛域内级数收敛于和 f(x)，即： )解析：24.已知连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：
12、(正确答案：方程两端对 x求导 f(x)=3f(x)+2e 2x ， 即：y=3y+2e 2x ，为常系数一阶线性非齐次微分方程 因特征根 r=3，所以齐次方程 y=3y的通解为 Y=Ce 3x ，设 y * =Ae 2x 为原方程的特解，则 y * =2Ae 2x ，将 y * ，y * 代入方程 y=3y+2e 2x ，比较系数可得 A=2，所以 y * =2e 2x ，故原方程的通解为：y=Ce 3x 2e 2x ，当 x=0，f(x)=1，所以 C=3，所以所求函数为 f(x)=3e 3x 2e 2x )解析：三、综合题(总题数：2，分数：4.00)25.用 a元钱购料，建造一个宽与深
13、相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的 12 倍，求水池的长与宽各多少米，才能使水池的容积最大?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设长方体水池的长为 x，宽为 y，并设底面单位面积材料费为 m元；由题意：x.y+2(xy+y 2 )12m=a；而长方体水池的容积为：V=xy 2 该题即求 V=xy 2 在条件 x.y+2(xy+y 2 )12= 下的条件极值 由题意可知，当长方体的长为 )解析：26.由曲线 y=x 3 和直线 x=2，y=0 围成一平面图形，试求： (1)该平面图形的面积； (2)该平面图形绕 y轴旋转一周形成的旋转体体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)曲线 y=x 3 与直线 x=2，y=0 围成的平面图形如图：所 求平面图形的面积为：S= 0 2 x 3 dx=4(平方单位)； (2)该平面图形绕 Y轴旋转形成的旋转体的体积为： V=2 2 8 (立方单位) )解析：四、证明题(总题数：1，分数：2.00)27.设 I n =tan n xdx(n2)，证明：I n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
