1、2009年陕西省专升本(高等数学)真题试卷及答案解析(总分:46.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(分数:2.00)_2.当 x0 时,函数 f(x)=sinax与 g(x)=ln(12x)为等价无穷小,则常数 a的值为 ( )(分数:2.00)A.一 1B.1C.一 2D.23.已知函数 f(x)=sinx,则 f (2009) (x)=( )(分数:2.00)A.sinxB.cosxC.sinxD.cosx4.已知(x)dx=2x+C,则 (分数:2.00)A.B.C.D.5.幂级数 (分数:2
2、.00)A.(一 2,2)B.一 2,2)C.(一 2,2D.-2,26.已知闭曲线 L:x 2 +y 2 =4,则对弧长的曲线积 L (4x 2 +4y 2 6)ds=( )(分数:2.00)A.40B.12C.6D.4二、填空题(总题数:5,分数:10.00)7.定积分 -1 1 (3x 2 +4sinx)dx的值为 1(分数:2.00)填空项 1:_8.极限 (分数:2.00)填空项 1:_9.过点(1,1,1)且与向量 a=1,1,0和 b=一 1,0,1)都垂直的直线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_10.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_11.已知函数 z=sin(
3、x 2 y),则 dz (1,) 1(分数:2.00)填空项 1:_三、综合题(总题数:10,分数:20.00)12.设函数 (分数:2.00)_13.设参数方程 确定函数 y=y(x),求 (分数:2.00)_14.求函数 f(x,y,z)=ln(x 2 +y 2 +z 2 )在点 P(-1,1,一 1)处沿从点 P到点 Q(-2,一 1,1)的方向的方向导数(分数:2.00)_15.设函数 z=f(xy,x 2 一 y 2 ),其中 f具有二阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_16.设方程 0 x e t dt 0 y e t dt一 sin(xy)=0确定函数 y=y(x),求 (分数
4、:2.00)_17.求函数 (分数:2.00)_18.计算二重积分 其中 D是由直线 y=x,曲线 (分数:2.00)_19.计算对坐标的曲线积分 I= L (3x 2 +2y)dx+(12x+y)dy,其中 L是从点 B(2,0)经过点 A(1,2)到点O(0,0)的折线段(分数:2.00)_20.将函数 (分数:2.00)_21.求微分方程 y一 y=e x 的通解(分数:2.00)_四、证明题(总题数:2,分数:4.00)22.求由曲线 y=e -x 与该曲线过原点的切线和 y轴所围图形的面积(分数:2.00)_23.设函数 F(x)= 1 x sinx.f(t)ft,其中 f(t)在1
5、,上连续,求 F(x)并证明在(1,)内至少存在一点 ,使得 cos. 1 f(x)dx+sin.f()=0(分数:2.00)_2009年陕西省专升本(高等数学)真题试卷答案解析(总分:46.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(分数:2.00)_解析:2.当 x0 时,函数 f(x)=sinax与 g(x)=ln(12x)为等价无穷小,则常数 a的值为 ( )(分数:2.00)A.一 1B.1C.一 2 D.2解析:解析:因为 f(x)与 g(x)为等价无穷小量所以3.已知函数 f(x)=sinx,则
6、 f (2009) (x)=( )(分数:2.00)A.sinxB.cosx C.sinxD.cosx解析:解析:f(x)=cosx,f(x)=一 sinx,f(x)=一 cosx,f (4) (x)=sinx,周期为 4因为2009=2008+1,f (2009) (x)=f(x)=cosx4.已知(x)dx=2x+C,则 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:5.幂级数 (分数:2.00)A.(一 2,2)B.一 2,2) C.(一 2,2D.-2,2解析:解析:6.已知闭曲线 L:x 2 +y 2 =4,则对弧长的曲线积 L (4x 2 +4y 2 6)ds=( )(分数:2.
7、00)A.40 B.12C.6D.4解析:解析:二、填空题(总题数:5,分数:10.00)7.定积分 -1 1 (3x 2 +4sinx)dx的值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:8.极限 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e1)解析:解析:9.过点(1,1,1)且与向量 a=1,1,0和 b=一 1,0,1)都垂直的直线方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设所求直线方向向量为(x,y,z),则由题意可求得 x=1,y=-1,z=1,所以(1,一 1,1)为直线方向向量又因为过点(1
8、,1,1),所以直线方程为10.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: ,所以,所以,两边积分,lny=一 lnx+C 1 所以 lnx+lny=C 1 ,lnxy=C 1 ,所以xy=e C1 ,所以 11.已知函数 z=sin(x 2 y),则 dz (1,) 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2ndxdy)解析:解析:三、综合题(总题数:10,分数:20.00)12.设函数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13.设参数方程 确定函数 y=y(x),求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析
9、:14.求函数 f(x,y,z)=ln(x 2 +y 2 +z 2 )在点 P(-1,1,一 1)处沿从点 P到点 Q(-2,一 1,1)的方向的方向导数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 其方向余弦为 )解析:15.设函数 z=f(xy,x 2 一 y 2 ),其中 f具有二阶连续偏导数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.设方程 0 x e t dt 0 y e t dt一 sin(xy)=0确定函数 y=y(x),求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程两边对 x求导数,有 )解析:17.求函数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(x
10、)的定义域为 解得 x=1是 f(x)的驻点,x=0 是 f(x)不可导的点当 x(一,0)时,f(x)0,f(x)在(一,0内单调增加。当 x(0,1)时,f(x)0,f(x)在0,1上单调减少当 x(1,+)时,f(x)0,f(x)在1,+)内单调增加从而 f(x)在点 x=0处取得极大值 )解析:18.计算二重积分 其中 D是由直线 y=x,曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.计算对坐标的曲线积分 I= L (3x 2 +2y)dx+(12x+y)dy,其中 L是从点 B(2,0)经过点 A(1,2)到点O(0,0)的折线段(分数:2.00)_正确答案:(正确
11、答案:设直线段 OB为 L 1 :y=0(0x2)令 P=3x 2 +2y Q=12x+y;D 是以 O,B,A 为顶点的三角形区域由格林公式可得 )解析:20.将函数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.求微分方程 y一 y=e x 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先求 y一 y=0。的通解 Y(x)特征方程为 r 2 一 1=0,特征根为 r 1 =1,r 2 =一 1;Y(x)=C 1 e x +C 2 e -x 其次求 y一 y=e x 的特解 y * (x)设 y * (x)=axe x ,y * (x)=a(x+1)e x ;y * (x)=
12、a(x+2)e x ,代入微分方程并消去 e x , )解析:四、证明题(总题数:2,分数:4.00)22.求由曲线 y=e -x 与该曲线过原点的切线和 y轴所围图形的面积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设切点为(x 0 ,y 0 ),y=一 e -x 所以所求切线方程为 y=一 e -x x由 解得切点坐标为(一 1,e)从而切线为 y=一 ex所求面积 )解析:23.设函数 F(x)= 1 x sinx.f(t)ft,其中 f(t)在1,上连续,求 F(x)并证明在(1,)内至少存在一点 ,使得 cos. 1 f(x)dx+sin.f()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 F(x)在1,上连续,在(1,)内可导,且 F(1)=F()=0 由罗尔定理知,在(1,)内至少有一点 ,使 F()=0 即 )解析: