1、NORME INTERNATIONALE ISO 11453 Premire dition 1996-05-01 Interprtation statistique des donnes - Tests et intervalles de confiance portant sur les proportions Statistical interpretation of data - Tests and confidence in tet-vals rela ting to proportions Numro de rfrence ISO 11453:1996(F) ISO 11453:19
2、96(F) Sommaire 1 Domaine dapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Rfrence normative . 3 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Symboles 5 Estimateur ponctuel de la proportion p 6 Limites de confiance pour la proportion p 7 Tests de signification sur les proportions p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Gnralits . . . . . . . .
4、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Comparaison dune proportion avec une valeur donne p. 7.3 Comparaison de deux proportions . 8 Formulaires . 8.1 Formulaires A: Intervalle de confiance
5、 pour la proportion p . 8.2 Formulaires B: Comparaison de la proportion p avec une valeur donne po . 8.3 Formulaires C: Comparaison de deux proportions . Annexes A Calcul des caractristiques defficacit du test selon les formulaires B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Exemples de formulaires complts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ISO 1996 Page 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 6 10 16 40 43 57 Droits de reproduction rservs. Sauf prescription diffrente, aucune partie de cette publi- cation ne peut tre reproduite ni utilise sous quelque forme que ce soit e
8、t par aucun pro- cd, lectronique ou mcanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans laccord crit de lditeur. Organisation internationale de normalisation Case postale 56 l CH-l 211 Genve 20 l Suisse Imprim en Suisse ii ISO ISO 11453:1996(F) Avant-propos LISO (Organisation internationale de
9、 normalisation) est une fdration mondiale dorganismes nationaux de normalisation (comits membres de IISO). Llaboration des Normes internationales est en gnral confie aux comits techniques de IISO. Chaque comit membre intress par une tude a le droit de faire partie du comit technique cr cet effet. Le
10、s organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen- tales, en liaison avec IISO participent galement aux travaux. LISO colla- bore troitement avec la Commission lectrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation lectrotechnique. Les projets de Normes internati
11、onales adopts par les comits techniques sont soumis aux comits membres pour vote. Leur publication comme Normes internationales requiert lapprobation de 75 % au moins des co- mits membres votants. La Norme internationale ISO 11453 a t labore par le comit technique ISO/TC 69, Application des mthodes
12、statistiques, sous-comit SC 3, Application des mthodes statistiques en normalisation. Lannexe A fait partie intgrante de la pr sente Norme internationale. Les annexes B et C sont donnes uniquement titre dinformation. Page blanche NORME INTERNATIONALE ISO ISO 11453:1996(F) Interprtation statistique d
13、es donnes - Tests et intervalles de confiance portant sur les proportions 1 Domaine dapplication La prsente Norme internationale dcrit des mthodes statistiques adaptes pour aborder les questions suivantes. a) tant donn une population dindividus partir de laquelle un chantillon de yt individus a t pr
14、lev, x des individus chantillonns se rvlent avoir un caractre spcifi. Quelle proportion de la population possde ce caractre? (Voir formulaires A, paragraphe 8.1.) b) La proportion estime en a) est-elle diffrente dune valeur nominale (spcifie)? (Voir formulaires B, paragraphe 8.2.) c) tant donn deux
15、populations distinctes, les proportions du caractre dans les deux populations sont-elles diffrentes? (Voir formulaires C, paragraphe 8.3.) d) En b) et c) combien dindividus doivent tre chantillonns dans les populations pour tre suffisamment assur que le rsultat du test est correct? (Voir 7.2.3 et 7.
16、3.3.) II est essentiel que le prlvement des chantillons nait pas deffet apprciable sur la population. Si lchantillon tir au hasard est infrieur 10 % de la population, cest habituellement satisfaisant; mais si lchantillon est suprieur, on peut obtenir des rsultats fiables uniquement en replaant chaqu
17、e individu chantillonn avant de prlever lindividu suivant au hasard dans la population. 2 Rfrence normative La norme suivante contient des dispositions qui, par suite de la rfrence qui en est faite, constituent des dispositions valables pour la prsente Norme internationale. Au moment de la publicati
18、on, ldition indique est en vigueur. Toute norme est sujette rvision et les parties prenantes des accords fonds sur la prsente Norme internationale sont invites rechercher la possibilit dappliquer ldition la plus rcente de la norme indique ci- aprs. Les membres de la CEI et de IISO possdent le regist
19、re des Normes internationales en vigueur un moment donn. ISO 3534-l :1993, Statistique - Vocabulaires et symboles - Partie 7: Probabilit et termes statistiques gnraux. 3 Dfinitions Pour les besoins de la prsente Norme internationale, les dfinitions donnes dans IISO 3534-l et la dfinition suivante sa
20、ppliquent. 3.1 individu cible: Individu chez lequel on trouve le caractre spcifi. ISO 11453:1996(F) 4 Symboles a a 1-a P n; y; 02 X x P . Ps,u Pi,u Ps,b Pi,b T ci, c w Ci,b Cs,b Po P pa fi lf2 FlJ2 FyvlIf2) niveau de signification choisi niveau de signification obtenu niveau de confiance choisi prob
21、abilit derreur de seconde espce effectif dchantillon, effectif de lchantillon 1, effectif de lchantillon 2 nombre dindividus cibles dans lchantillon (variable alatoire) valeur de X proportion des individus cibles dans la population limite suprieure de lintervalle de confiance unilatral pour p limite
22、 infrieure de lintervalle de confiance unilatral pour p limite suprieure de lintervalle de confiance bilatral pour p limite infrieure de lintervalle de confiance bilatral pourp valeur du tableau 2 pour dtermination des limites de confiance pour n s 30 valeur critique du test de lhypothse nulle Ho: p
23、 a po valeur critique du test de lhypothse nulle Ho: p s po valeur critique infrieure du test de lhypothse nulle HO: p = po valeur critique suprieure du test de lhypothse Mo: p = po valeur donne pour p valeur de p pour laquelle la probabilit de ne pas rejeter lhypothse nulle (P,) doit tre dtermine p
24、robabilit de ne pas rejeter lhypothse nulle nombre de degrs de libert pour la loi F statistiques de test quantile dordre q de la loi F avec fi et f2 degrs de libert statistiques de test quantile dordre q dune loi normale centre-rduite valeurs auxiliaires 5 Estimateur ponctuel de la proportion p Lest
25、imateur de p partir dun chantillon de 2 individus comprenant x individus cibles est =x/n Cet estimateur est sans biais si lchantillon est prlev au hasard, quels que soient leffectif de lchantillon et leffectif de la population mme si lchantillon forme une partie apprciable de la population. 6 Limite
26、s de confiance pour la proportion p Le calcul de lintervalle de confiance pour p est dcrit dans les formulaires A-l A-3. Les limites de confiance dpendront de leffectif dchantillon (n), du nombre dindividus cibles dans lchantillon (x), et du niveau de confiance dsir (1 -a). II nest en gnral pas poss
27、ible datteindre exactement le niveau de confiance dsir, car la loi de probabilit rgissant les occurrences de x est discrte. La procdure permet donc datteindre le niveau de confiance le plus proche suprieur ou gal (1 -a). 2 0 ISO ISO 11453:1996(F) La procdure utilise dans la prsente Norme internation
28、ale pour dterminer les limites de confiance bilatrales pour le niveau de confiance dsir (1 -a) utilise pour limites les limites suprieure et infrieure unilatrales, chacune au niveau de confiance (l- 1/2). Cela garantit que lerreur de probabilit est infrieure ou gale a/2 de chaque ct de lintervalle.
29、7 Tests de signification sur les proportionsp 7.1 Gnralits Pour les applications pratiques, les formulaires B-l B-3 et C-l C-3 prsentent les hypothses nulles concernant les proportions et les rgles pour effectuer les tests. Au dbut des procdures, lhypothse nulle approprie et leffectif dchantillon n
30、(effectifs dchantillon nl et n2) doivent tre dtermins et le seuil de signification doit tre choisi. Les lois sous-jacentes a lchantillonnage tant discrtes, les procdures sont tablies pour le plus proche niveau de signification infrieur ou gal au niveau (nominal) dsir. Les hypothses alternatives ne s
31、ont pas donnes dans les formulaires car pour chaque application celle-ci est implicitement suppose tre complmentaire lhypothse nulle. EXEMPLES Au dbut de la procdure d es formulaires B (pour la comparaison du ne proportion avec une valeur donne), des trois hypothses nulle S suivantes Ho (avec lhypot
32、hse alternative CO mplmentaire HI) doit tre choisie: lune a) test unilatral avec Ho: p 2 po H1:PcPo b) test unilatral avec Ho:p s po WPPo c) test bilatral avec Ho: p = po WPfPO o po est une valeur donne Le rsultat de chaque test est soit de rejeter soit de ne pas rejeter lhypothse nulle. Rejeter lhy
33、pothse nulle signifie adopter lhypothse alternative. Ne pas rejeter lhypothse nulle ne signifie pas ncessairement accepter lhypothse nulle (voir 7.2.2). 72 . Comparaison dune proportion avec une valeur donne p. 7.21 Procdure de test Les procdures de test pour lhypothse nulle HO:P2 Po Ho:p Po Ho: P =
34、 Po (o po est une valeur donne) sont dcrites dans les formulaires B-l B-3. Elles sont particulirement faciles appliquer si la (les) valeur(s) critique(s) pour les valeurs spcifies de n, p et a est (sont) connues. La (les) valeur(s) critique(s) Peu(ven)t avoir t dtermine(s) par lexcution rpte du test
35、 selon les formulaires B. Autrement, la procdure normale pour dterminer les valeurs critiques est donne dans ces mmes formulaires. 7.2.2 Caractristiques defficacit Le calcul des caractristiques defficacit (y compris la probabilit derreur de premire espce, le niveau de signification obtenu et la prob
36、abilit derreur de seconde espce) est dcrit dans lannexe A. cet effet, la (les) valeur(s) critique(s) doi(ven)t tre connue(s) (voir 7.2.1) et lhypothse alternative, p = 1, pour laquelle la probabilit de lerreur de seconde espce doit tre calcule, doit tre choisie. ISO 11453:1996(F) 0 ISO 7.2.3 Dtermin
37、ation de leffectif dchantillon n Si leffectif dchantillon nest pas dj spcifi (par exemple pour des raisons conomiques ou techniques) sa valeur minimale doit tre dtermine de sorte que, pour une hypothse nulle donne Ho (voir 7.2.1) et une valeur particulire donne p = p, les valeurs obtenues du niveau
38、de signification a et la probabilit derreur de seconde espce fi respectivement ne doivent pas tre plus grandes que les valeurs choisies ou donnes. cet effet po et p doivent tre marqus sur lchelle p et a, (l- a), a/2, (l-(x/2) sur lchelle P, et les droites 1 et 2 dfinies par la procdure donne au tabl
39、eau 1 sont traces dans le nomogramme de Larson (figure 2). Tableau 1 - Procdure pour dterminer leffectif dchantillon partir du nomogramme de Larson (figure 2) Cas Ho: P a Po Ho: P s Po Ho: P = Po Ho: P = Po Valeur donne P Po P 2; b) que le test est effectu avec deux chantillons de mme effectif nl =
40、n2 = n. Le niveau de signification est a. On peut alors obtenir une valeur approximative trs prcise de la puissance par la transformation arc sinus (propose par Walters Il) somme suit: l- p =(z-uJ 4 ISO ISO 11453:1996(F) o est la fonction de rpartition de la loi normale centre-rduite; 1 est le quant
41、ile (1 -a) de cette loi normale, et z= rL 2n arc sin JTi/Z - arc sinJm p1 Cette approximation peut aussi tre utilise pour le cas bilatra si dans la formule, a est remplac par a/2. I Ho: p1 =p2 avec lhypothse alternative HI: p1 p2 7.3.3 Dtermination de leffectif dchantillon n Si les effectifs dchanti
42、llon ut1 et n2 ne sont pas prdtermins, leurs valeurs minimales doivent tre dtermines de telle sorte que la puissance du test soit dau moins (1 - fi) tandis que le niveau de signification est de a. On suppose que lhypothse nulle est Ho: p1 p2 si a est remplac par a/2. Les valeurs exactes de leffectif
43、 dchantillon sont donnes dans les tableaux 5 et 6 (publis lorigine par Haseman 21) pour les valeurs slectionnes de a et de fi. Ces tableaux supposent un effectif dchantillon commun n = nl = n2. Pour les configurations de a, PI, p2 et (l-fi) non couvertes par les tableaux, on peut utiliser lapproxima
44、tion suivante qui permet aussi des effectifs dchantillon ingaux. Pour cela, il faut que le rapport r des effectifs dchantillon nlln2 ait t choisi lavance. o 1 d l 2 Ul-a (y + IF 4 + q-p &-PJ (1 - pj 1 + p2 (1 - p2 , n= r(Pl - P2j2 YPJ + P2 p,- r+l 8 Formulaires Pour faciliter lapplication, cocher la
45、 case reprsentant la partie adquate du formulaire. (La position horizontale de la case symbolise la position de la partie associe dans le plan du formulaire, dcroissant de droite gauche.) Ensuite, suivre la procdure en entrant les donnes ncessaires et en effectuant les actions requises. ISO 11453:19
46、96(F) 8.1 Formulaires A: Intervalle de confiance pour la proportion p 8.1.1 Formulaire A-l: Intervalle de confiance unilatral avec limite suprieure pour la proportion p Caractre: Procdure de dtermination: Individus: Critre didentification des individus cibles: Notes: Niveau de confiance choisi: 1 -a
47、 = Effectif dchantillon: n = Nombre dindividus cibles dans lchantillon: x = Dtermination des limites de confiance: a) Procdure pour n s 30 cl 1) Casx=n cl Ps,u = 1 2) Casx 30 cl 1) Casx=O cl Calcul: Ps,u = 1 -alln= 2) Casx=n cl Ps,u = 1 3) Cas 0 x n cl Lire sur le tableau 3 pour q = l-a: ulva = Lire d correspondant au niveau de confiance choisi: l-a 0,90 0,95 0,99 d 0,411 0,677 1,353 Calcul: Ps,u = P* +(1-2P*)dl( p* (l- p* Il - d/h + l)/bz + 1) = avec p* =(x+l)/(n+l) Rsultat: P s Ps,u= ISO ISO 11453:1996(F) 8.1.2 Formulaire A-2: Intervalle de confiance unilatral avec limite infrieure pour l
