1、1问题 04 函数中的存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1) 设 )0()(2acbxxf ,（1） Rxf在0)(上恒成立 0且a；（2）Rxf在0)(上恒成立 且 .(2)
2、对于一次函数 ,)(nmxkf有： 0)(0)(,)(0)( nffnfxf 恒 成 立恒 成 立(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域(4) 利用分离参数法来确定不等式 ,fx,（ Dx,为实参数）恒成立中参数 的取值范围的基本步骤:将参数与变量分离,即化为 gf（或 gf）恒成立的形式；求 fx在 D上的最大（或最小）值；解不等式 max()gf(或 minfx) ,得 的取值范围.(5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,
3、得出答案或列出条件,求出参数的范围.(6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.三、知识拓展2(1)恒成立问题. x D,均有 f(x)A 恒成立 ,则 f(x)minA；. x D,均有 f(x) A 恒成立 ,则 f(x)maxg(x)恒成立,则 F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x)min 0；. x D,均有 f(x) g(x)恒成立,则 F(x)= f(x)- g(x) g(x2)恒成立,则 f(x)min g(x)
4、max；. x1 D, x2E,均有 f(x1) A 成立,则 f(x) max A；. x0 D,使得 f(x0) A 成立,则 f(x) min g(x0)成立,设 F(x)= f(x)- g(x), F(x) max 0；. x0 D,使得 f(x0) g(x2)成立,则 f(x) max g(x) min；. x1 D, x2 E,均使得 f(x1) g(x2)成立,则 f(x)min g(x) min； x1 D, x2E, 使得 f(x1) x310 中 x21,4,所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论【牛刀小试】 【2017 山西大学附中第二次模拟】设函数 21xfeax,其中
5、 1,若存在唯一的整数 t,使得 0ft,则 a的取值范围是（ ）A 3,12e B 3,24e C 3,24e D 3,12e【答案】D【解析】令 1,xghxa.由题意知存在唯一整数 t,使得 gt在直线 hx的下方. 2xe,当 2时,函数单调递减,当 12x,函数单调递增,当 12x时,函数取得最小值为1.当 0时, ()1g,当 x时, ()0ge,直线 ha过定点 ,0,斜率为 a,4故 0ag且 13ea,解得 3,12me.(二)分离参数法【例 2】已知函数 ()lnfxax的图象在点 x（ 为自然对数的底数）处的切线的斜率为 3(1)求实数 a的值；(2)若 2()fk对任意
6、 0成立,求实数 k的取值范围.【分析】 （1）由 ()ln1fxa结合条件函数 ()lnfxax的图象在点 ex处的切线的斜率为 3,可知 (e)3f,可建立关于 的方程： le3,从而解得 1；（2）要使 2()fk对任意0x恒成立,只需 max2()fk即可,而由（1）可知 ()lfxx,问题即等价于求函数1ln()xg的最大值,可以通过导数研究函数 g的单调性,从而求得其最值：22(l)ln()xx,令 ()0,解得 1x,当 0x时, ()0g, ()x在 0,1上是增函数；当 1时, ()0g, 在 ,上是减函数,因此 在 1处取得最大值 g, k即为所求.(2)由（1）知, ()
7、lnfxx, 2()fxk对任意 0成立 1lnxk对任意 0成立, 令 lng,则问题转化为求 ()g的最大值,221(l)ln()xx,令 ()0,解得 1x, 当 0时, ()0g, 在 ,1上是增函数；5当 1x时, ()0g, ()x在 1,)上是减函数 故 ()在 处取得最大值 g, k即为所求. 【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新
8、函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式 ,0fx,（ ,xD为实参数）恒成立中参数 的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为 gf（或 gfx）恒成立的形式；(2)求 fx在 D上的最大（或最小）值；(3)解不等式 maxgf (或 minfx) ,得 的取值范围.【牛刀小试】 【2017 湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数 ()logafx,()2lo(2)axxt,其中 0且 1,tR(1)若 4t,且 1,时, ()()Fxgfx的最小值是2,求实数 的值；(2)若 0,且 24x时,有 f恒成立,求实数 t的取值范围.【答案】(1) 5；(2) ).(2)
9、()fxg恒成立,即 log2l(2)aaxt恒成立,6 1logl(2)2aaxt.又 0, 1,4, 2xt,tx恒成立, max(2).令 2171()(,2)484yxx, ma.故实数 t的取值范围为 ,.(三)主参换位法【例 3】已知函数 ()ln)(xfea为 常 数 ） 是实数集 R上的奇函数,函数 ()singxfx是区间 1,上的减函数,(1)求 a的值；(2)若 21,gtx在上恒成立,求 t的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母： 及 t,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将 视作自变量,
10、则上述问题即可转化为在,1内关于 的一次函数大于等于 0 恒成立的问题,问题即可求解.【解析】(1) a (2)由(1)知： ()fx, ()singxx,()gx在 1， 上单调递减,cos0x在 1， 上恒成立,， max()()sin1g,只需 2sin1t,2()0tt（其中 1）恒成立,由上述结论：可令 2()sin0(1ftt）,则 2t10sin,2it,而 2sin10t恒成立, 1t.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变7量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得
11、出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于 的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的 x 为参数,以 为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数 应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.【牛刀小试】若不等式 21xm对任意 1,恒成立,求实数 x 的取值范围. 【答案】 32【解析】 x可转化为 20x,设 210fmx,则fm是关于 m 的一次型函数,要使 fm恒成立,只需 21f,解得312x.(四)数形结合法【例 4】已知函数 2fxk,在 1x恒有 fxk,求实数 k的取值范围.【分析】为了使题中的条件 f在 ,恒成立,应能
12、想到构造出一个新的函数 Fxfk,则可把原题转化成所构造新的函数在区间 1,时恒大于等于 0的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决. 8【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数 20yaxbc大于 0 恒成立,则有0a,同理,若二次函数20yaxbc小于 0 恒成立,则有.若是二次函数在指定区间上的恒成
13、立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【牛刀小试】 【2017 河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在 R上的奇函数 fx满足:当 0时,3fx,若不等式 24ftfmt对任意实数 t恒成立,则实数 m的取值范围是（ ）A 2 B 2,0C. ,0, D ,【答案】A9(五)存在性之常用模型及方法【例 5】设函数 21lnafxxb, R且 1a.曲线 yfx在点 1,f处的切线的斜率为 0.（1）求 b的值；（2）若存在 1,x,使得 1afx,求 的取值范围.【分析】 （1）根据条件曲线 y在点 f处的切线的斜率为 0,可以将其转化为关于 a,b的方程,进而求得 b的值
14、： fxaxb , 011ab；（2）根据题意分析可得若存在 ,),使得不等式 1f成立,只需 min()fx即可,因此可通过探求()fx的单调性进而求得 (fx的最小值,进而得到关于 的不等式即可,而由（1）可知21lnaf,则 xaxf,因此需对 a的取值范围进行分类讨论并判断 ()fx的单调性,从而可以解得 的取值范围是 21,.【解析】 （1） 1afxxb, 由曲线 y在点 ,f处的切线的斜率为 0,得 f, 即 0ab, ； 4 分（2）由（1）可得, 21lnaxx,11 aaxfxax, 令 0f,得 1, 2,而 2,当 2a时, ,在 1上, fx, f为增函数, min1
15、12afxf,10令 12a,即 210a,解得 21a. 当 时, ,x1,a1a,1af 0xA极小值 A2minln111aaaff,不合题意,无解,10 分当 a时,显然有 ()0fx, 1a,不等式 ()1afx恒成立,符合题意, 综上, 的取值范围是 2,. 【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为 “,()“xMP的否定为“,()“xMP；原命题为 “,()“xMP的否定为“ ,.处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知 )(f21, )(gax)1
16、ln,(1)若存在 ,0,21x,使得 21xf,求实数 的取值范围；(2)若存在 ,使得 )(,求实数 的取值范围.五、迁移运用1 【2018 届江西省上高县高三上学期第四次月考】若不等式 230xalog对任意 10,3x恒成立,则实11数 a的取值范围为（ ）A. 1,27） B. 1,27 C. 10,27 D. 10,27【答案】A【解析】构造函数 f（x）=3x 2,g（x）=-log ax, 10,3x不等式 3x2-logax0 对任意 10,3x恒成立,f（ 13）g（ ） 3 19- 13alog00a1 且 a 127实数 a 的取值范围为 127， ）,故选 A2 【2
17、018 届广西贵港市高三上学期 12 月联考】若不等式 3lnln3xx对任意的,1x恒成立,则 a的取值范围是（ ）A. 0,3 B. , C. 2, D. ,2【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有： 2133lnlnxxxa,由对数函数的单调性有： 2133xxa,整理可得： 2xa,由恒成立的条件有： 2min13xa,其中2123xxy,当且仅当 0x时等号成立.即 0x时,函数23xy取得最小值 .综上可得： a.本题选择 D 选项.3.【2018 届福建省闽侯高三 12 月月考】已知函数 2,0xf,若关于 的不等式20fxaf恰有 个整数解,则实数 的最大值是（ ）A.
18、B. C. 5 D. 【答案】D124 【2018 届甘肃省高台高三上学期第五次模拟】已知函数 1xfe,若对任意 xR, fax恒成立,则实数 a的取值范围是（ ）A. ,1e B. 1,e C. 1,e D. ,【答案】B【解析】函数 xfe， 对任意 R, fxa恒成立, 1xae恒成立,即 1xaex恒成立；设 1,1gxha,x R；在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示；则满足不等式恒成立的是 h(x)的图象在 g(x)图象下方,求 gx的导数 xe,且过 gx图象上点 0,y的切线方程为 0ye,且该切线方程过原点(0,0),13则 0xye,即 00xxe,解得 01；切线
19、斜率为 0xke,应满足 a1e,即 a1e；又 a10, a1,实数 a 的取值范围是(1 e,1.故选 B.5 【2018 届广东省五校高三 12 月联考】已知函数 ln24()fxax,若有且只有两个整数 1x, 2使得 10fx,且 20fx,则 的取值范围是（ ）A. ln3 B. ln3 C. l3 D. 0,l3【答案】C【解析】由题意可知, 0fx,即 ln240,xaa, 2ln40xaxa,设2ln4,gxh,由 12 xg,可知 lg,在 12上为减函数,在 1,上为增函数, xa的图象恒过点 ,0,在同一坐标系中作出 ,gxh的图象如下：若有且只有两个整数 12,使得
20、10f,且 2fx,则01 3ahg,即0 3aln,解得 ln3a,故选 C.6 【2018 届陕西省西安高三上学期期中】已知函数 321fxax,若对于任意的 12,0,x,都有12fxf成立,则实数 a的取值范围是（ ）A. 3, B. 23, C. 223,0,3 D. 23,0,314【答案】A7 【东北师范大学附属中学 2018 届高三第五次模拟】已知函数 ， ，当 时，()=(0,+)不等式 恒成立，则实数 的取值范围为(1)2(2)1 0) ()=(1)22当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；012 ()0 ()=(21) (12,+)所以 的图像如图所示：直线 恒过点 ，
21、=22(1,0)设过 的直线与曲线 相切于点 且切线方程为：(1,0) ()=(21)，代入 ，故 ，(201)0=(20+1)0(0) (1,0) 22030=0解得 或者 ，0=00=3216当 时， ，所以当 时，直线 可与 在 轴下方的图像相交0=32 (32)=2322 因为 有且只有一个整数解，故曲线 上的点 在直线下方， 在直线上方(0,1)(1,3)或在直线上，故 即 ，故选 B10 A B C D (,32) (,94) (,3)【答案】C1712 【福建省厦门外国语学校 2019 届高三上学期第一次月考】已知函数 ， ，若对任意的 ， ，都有 成立，则 的取值范围是( )(
22、1)(2)2 A B C D (0,+) 1,+) (,0) (,1【答案】B【解析】由于 ，则 ，函数 在 上单调递减，在()=325 ()=322=(32) ()12,23上单调递增， ， (12)=18145=418 (2)=845=1由于任意 ， ， 恒成立，所以 ，(1)(2)2即 时， 恒成立，即 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，令 ，则 ，()=2而 ，当 时， ，()=32所以 在 单调递减，由于 ，所以 时， ， 时， ，所以 ，即 ()0 (1,2) ()0 ()(1)=1 113 【2018 届江苏南通市高三第二次阶段测试】若不等式 215xen在实数集 R 上恒成立,
23、则正整数n的最大值是_参考数据： 2157e【答案】 4【解析】 1814 【2018 届河南省漯河高三上学期第四次模拟】已知 21bfxc（ , c为常数）和14gx是定义在 =|14Mx上的函数,对于任意的 M,存在 0x使得0ff, 0g,且 0fgx,则 f在 上的最大值为_.【答案】5【解析】 1124gxx,(当且仅当 x=2 时,等号成立), 2bfc, 2bc, 2211bbfxcx, 32 xfx,f(x)在 x=2 处有最小值, 0f,即 b=8,故 c=5,故 3221885,ffxx,故 f(x)在1,2上是减函数,在2,4上是增函数,而 7,45ff,故 f(x)的最
24、大值为 5. 15.设函数 f(x) axsin xcos x若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A,B,使得曲线 y f(x)在点 A,B处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围为 【答案】 1,1916.【2017 山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数 2()lnfxax, 1()xeg,其中 aR,e2.718 为自然对数的底数.（1）讨论 ()fx的单调性；（2）证明：当 时, ()0gx；（3）确定 a的所有可能取值,使得 ()fgx在 (1,)区间内恒成立.【解析】 （1）由 2()lnfxa,得212(0)axf .当 0a时, f在 0,)成立,则 ()fx为 0,)上的
25、减函数；当 时,由 ()fx,得 12a,当 2(0,)ax时, ()0f,当 (,)2xa时, ()0fx.则 ()f在 ,)2a上为减函数,在 (,)上为增函数.综上,当 0时, ()fx为 0,)上的减函数；当 0a时, ()fx在 20,)a上为减函数,在2(,)a上为增函数.20（3）由 ()fxg,得 21ln0xaxe.设 21ln0tae,由题意知, ()t在 (1,)内恒成立. (1)0,有 122() 0xxtxae在 (,)内恒成立.令 12xxe,则 11332() xae,当 时, (),令 3()hx, 46xh,函数在 1,2)上单调递增. min()(1)hx.
26、又 21a, 0xe, 12, (0.综上所述, , (), )x在区间 ,)单调递增, ()tx,即 t在区间 (,单调递增, 12a.17.【2017 四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数 ()lnbfxx(其中 abR， ).() 当 4b时,若 ()fx在其定义域内为单调函数,求 的取值范围；() 当 1a时,是否存在实数 b,使得当 2ex， 时,不等式 ()0fx恒成立,如果存在,求 b的取值范围,如果不存在,说明理由（其中 e是自然对数的底数, 2.71828）.【解析】() 由题 0x,4()lnfaxx,2244()1)afaxx.当 0a时,知 ()f,则 是单调递减
27、函数；当 时,只有对于 x,不等式 240ax 恒成立,才能使 f为单调函数,只需2(4)160a,解之得 1或 ,此时 121综上所述, a的取值范围是 (,01,) () ()lnbfxx,其中 0,2()1bxbfx() 当 0时, ()0f,于是 ()fx在 )，上为减函数,则在2e，上也为减函数,知 max1()ee0bf恒成立,不合题意,舍去 () 当 0b时,由 ()0fx得24b列表得 x(0,24b)24b(24b, )()f 0 x 极大值 若24eb,即21b,则 ()fx在2e，上单调递减, 知 max()()()eff,而21ee()01b,于是 ax()0f恒成立,
28、不合题意,舍去若24,即2eb,则 ()f在( e,24b)上为增函数,在(2b, )上为减函数,要使在2，恒有 ()0fx恒成立,则必有2(e)0f， ，则2e0b， ，所以24322e1.b，由于3232e(1)e10,则24432ee1,所以e1b18. 【2017 湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数 2()xfxea ()RI当 a时,求 ()fx的单调区间；当 (0+x时, yf的图象恒在 32(1)yaxx的图象上方,求 的取值范围.22(i) 当 01a时, ln0,故：(,l)x时, ()fx, ()f单调递增,n时, , 单调递减,(0,)x时, ()0fx, ()
29、f单调递增； (ii) 当 1a时, l, (1)xxeae0恒成立,()fx在 )上单调递增,无减区间； 综上,当 0时, (fx的单调增区间是 (0,),单调减区间是 (,)；当 1a时, )的单调增区间是 lna()和 ,单调减区间是 (ln,0)a；当 时, (fx的单调增区间是 (,),无减区间. I由 知 )xea当 (0,+x时, ()yf的图象恒在 32(1)yaxx的图象上方,即 321eaxax对 (0,+)恒成立即 20x对 (,)恒成立 记 ()xge x,(21xgeahx2ha(i) 当 1时, 20xhea恒成立, ()gx在 0,)上单调递增,()0gx, ()
30、g在 ,)上单调递增23()0gx,符合题意； (ii) 当 12a时,令 0hx得 ln(2)a(,ln)x时, ,gx在 0,l上单调递减0,时, ()x ()在 ,n(2)a上单调递减,(l2)xa时, ,不符合题意 综上可得 的取值范围是 1(,2. 19. 【2017 广东省惠州市第二次调研】已知函数 ()lnfx, ()()hxaR.（）函数 ()fx的图象与 ()hx的图象无公共点,求实数 的取值范围；（）是否存在实数 m,使得对任意的 1(,)2,都有函数 ()myfx的图象在 ()xeg的图象的下方？若存在,请求出整数 的最大值；若不存在,请说理由.（参考数据： ln20.6
31、931,ln0986, 31.487,.956ee）.【解析】 （）函数 ()fx与 h无公共点,等价于方程 lnxa在 (0,)无解 令 l()tx,则 2lt令 (),tx得 e0,e (,)e()t 0 x增 极大值 减因为 e是唯一的极大值点,故 max1()te4 分故要使方程 lnax在 (0,)无解,当且仅当 1e,故实数 的取值范围为 (,)e2420.【2017 河南省天一大联考】已知函数 ()lnfxb（1）当 b时,求函数 2()Gxf在区间 1,2e上的最大值与最小值；（2）若在 ,e上存在 0,使得 00()bfx成立,求 的取值范围【解析】 （1）当 b时, 2()
32、xf2ln(0)x,(2)xG,令 0,得 ,当 x变化时, ()x, 的变化情况如下表： x(0,1)1 (,)25()gx0 G极小值因为 11()lnl224G, (1)0,()ee,所以 2()xfx在区间 ,2e上的最大值与最小值分别为：2max1Ge, min()(1)0G（2）设 ()lnbhx若在 ,e上存在 0x,使得 001()bfx,即001lnxbx成立,则只需要函数 1()lnbhx在 ,e上的最小值小于零又2(1)()bxbh2()x,令 0x,得 1（舍去）或 当 1be,即 时, ()hx在 1,e上单调递减,故 ()hx在 ,上的最小值为 ,由 0b,可得21eb因为21e,所以21eb当 b,即 0时, ()hx在 ,上单调递增,故 ()hx在 1e上的最小值为 1,由 ()10b,可得 2（满足 ） 当 b,即 0e时, ()hx在 ,)上单调递减,在 (1,)be上单调递增,故 ()hx在1,e上的最小值为 (1)2ln1hb因为 0ln(),所以 (),26所以 2ln(1)2b,即 (1)2hb,不满足题意,舍去综上可得 或 e,所以实数 b的取值范围为21(,)(,)e
