1、128.2 解直角三角形及其应用28.2.1 解直角三角形学习目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系 .2.会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 .学习过程一、复习旧知1.在三角形中共有几个元素?答:2.直角三角形 ABC 中, C=90,a,b,c, A, B 这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系: . (2)三边之间关系: . (3)锐角之间关系: . 二、自主探究【探究 1】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角 一般要满足 50 75 .现有一个长 6 m 的梯子,问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精
2、确到 0.1 m)?(2)当梯子底端距离墙面 2.4 m 时,梯子与地面所成的角 等于多少(精确到 1)?这时人是否能够安全使用这个梯子?问题(1)可以归结为:在 Rt ABC 中,已知 A=75,斜边 AB=6,求 A 的对边 BC 的长 .解:问题(2)可以归结为在 Rt ABC 中,已知 AC=2.4,斜边 AB=6,求锐角 的度数解:【探究 2】1.在直角三角形中,除直角外的 5 个元素中知道几个,就可以求其余元素?答:2.解直角三角形: . 三、尝试应用21.在 ABC 中, C 为直角, A, B, C 所对的边分别为 a,b,c,且 b= ,a= ,解这2 6个三角形 .解:2.
3、在 Rt ABC 中, C=90, B=35,b=20,解这个三角形(结果保留小数点后一位) .解:四、补偿提高1.在 Rt ABC 中, C=90,根据下列条件解直角三角形;(1)a=30,b=20;(2) B=72,c=14.2.在 Rt ABC 中 , C=90,AC=15, A 的平分线 AD=10 ,解这个直角三角形 .3解:五、学后反思通过本节课的学习你有哪些收获?答:评价作业(满分 100 分)1.(6 分)在 Rt ABC 中, C=90,sin A= ,则 B 等于( )12A.30 B.45C.60 D.902.(6 分)在 Rt ABC 中, C=90, B=35,AB=
4、7,则 BC 的长为( )A.7sin 35 B.7cos353C.7cos 35 D.7tan 353.(6 分)在 Rt ABC 中, C=90,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是( )A.sin B= B.cos B=55 25C.tan B=2 D.AB= 34.(6 分)在 Rt ACB 中, C=90,AB=10,sin A= ,则 BC 的长为( )35A.6 B.7.5C.8 D.12.55.(6 分)如果等腰三角形的底角为 30,腰长为 6 cm,那么这个三角形的面积为( )A.4.5 cm2 B.9 cm23C.18 cm2 D.36 cm236.(8 分)在 Rt A
5、BC 中, C=90,b=10, A=30,则 a= . 7.(8 分)如图所示,在 Rt ABC 中,斜边 BC 上的高 AD=4,cos B= ,则 AC= . 458.(8 分)如图所示,在 ABC 中, AB=2,AC= ,以点 A 为圆心,1 为半径的圆与边 BC 相切2于点 D,则 BAC 的度数是 . 第 8 题图 第 9 题图9.(8 分)如图所示,在 ABC 中, A=30, B=45,AC=2 ,则 AB 的长为 . 310.(10 分)根据下列条件解直角三角形 .(1)在 Rt ABC 中, C=90,AB=10,BC=5.(2)在 Rt ABC 中, C=90, A=6
6、0,BC= .311.(12 分)如图所示,在菱形 ABCD 中, DE AB 于点 E,cos A= ,BE=4,求 tan DBE 的值 .35412.(16 分)如图所示,已知 Rt ABC 中, ACB=90,CD 是斜边 AB 上的中线,过点 A 作AE CD,AE 分别与 CD,CB 相交于点 H,E,AH=2CH.(1)求 sin B 的值;(2)如果 CD= ,求 BE 的长 .5参考答案学习过程一、复习旧知1.答:共有六个元素,其中有三条边和三个角 .2.(1)sin A= cos A= tan A=bc absin B= cos B= tan B=bc ac ba(2)a2
7、+b2=c2(勾股定理) .(3) A+ B=90二、自主探究【探究 1】(1)解: 当 BAC=75时,梯子能安全使用且它的顶端最高;在 Rt ABC 中,有 sin BAC= ,BCABBC=AB sin BAC=6sin 755 .8;答:使用这个梯子最高可以安全攀上的墙高约为 5.8 m.(2)解:在 Rt ABC 中,有 cos BAC= =0.4,ACAB利用计算器求得 BAC66, 506675, 这时人能安全使用这个梯子 .答:人能够安全使用这个梯子 .【探究 2】51.答:知道 5 个元素中的 2 个(其中有 1 个是边),就可以求其余元素 .2.由直角三角形中的已知元素,求
8、出其余未知元素的过程 .三、尝试应用1.解: tan A= , A=60, B=90- A=90-60=30,AB=2AC=2BCAC= 62= 3.22.解: A=90- B=90-35=55. tan B= ,a= 28 .6.ba btanB= 20tan35 sin B= ,c= 34 .9.bc bsinB= 20sin35四、补偿提高1.解:(1)由勾股定理得, c= =10 ,a2+b2= 302+202 13 tan A= ,ab=23 A=33.69, B=90-33.69=56.31;(2)b=csin B=140.951 113 .315,a=ccos B=140.309
9、 04 .326, A=90-72=18.2.解:如右图所示, Rt ABC 中, C=90,AC=15, A 的平分线 AD=10 ,3 sin ADC= ,ACAD= 15103= 32 ADC=60, CAD=30, CAB=60, B=30,AB= 2AC=30,BC=15 ,3即 CAB=60, B=30,BC=15 ,AB=30.3五、学后反思答:1 .解直角三角形的概念:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形 .2.解直角三角形的基本类型有两种: 已知两条边; 已知一条边和一个锐角 .3.解直角三角形的一般步骤:(1)画示意图;(2)分析已知量与未知量
10、的关系,选择适当的边角关系;(3)求解 .评价作业1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 6. 7.5 8.1059.3+1033 3610.解:(1)根据勾股定理可得 AC= =5 ,又 sin A= , A=30,102-52 3BCAB=12 B=90- A=60.(2)在 Rt ABC 中, C=90, B=90- A=30.又 sin A= ,AB= 2,由勾股BCAB= 32定理可得 AC= =1.22-( 3)211.解: 四边形 ABCD 是菱形, AD=AB , cos A= ,BE=4,DE AB, 设 AD=AB=5x,AE=3x,则355x-3x=4,x= 2,即 AD=10,AE=6,在 Rt ADE 中,由勾股定理得 DE= =8,在 Rt BDE 102-62中,tan DBE= =2.DEBE=8412.解:(1) AE CD, ACB=90, AHC= ACB=90,CD 是 AB 上的中线, CD=AD=BD= AB,12 DAC= DCA, B= DCB, B= CAH,AH= 2CH,CHAHAC= 1 2 ,5 sin B=sin CAH= .CHAC= 55(2)由(1)可知ACBCAB= 1 2 ,CEAC AE=1 2 ,CD= ,AB= 2 ,AC= 2,BC=4,CE=1,5 5 5 5BE=BC-CE= 4-1=3.
