1、1第 3 课时 深化提能与圆有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题解决此类问题的关键是数形结合思想的运用与圆有关的轨迹问题典例 已知圆 x2 y24 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若 PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2 x2,2 y)因为 P 点在圆 x2 y24 上，所以(2 x2) 2(2 y)24.故线段
2、 AP 中点的轨迹方程为( x1) 2 y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x， y)在 Rt PBQ 中，| PN| BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON PQ，所以| OP|2| ON|2| PN|2| ON|2| BN|2，所以 x2 y2( x1) 2( y1) 24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2 y2 x y10.方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的 4 种方法针对训练1(2019厦门双十中学月考)点 P(4，2)与圆 x2 y24 上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )A( x2) 2( y1) 21 B( x2) 2( y1) 24C( x4) 2( y2
3、) 24 D( x2) 2( y1) 21解析：选 A 设中点为 A(x， y)，圆上任意一点为 B(x， y)，由题意得，Error!则Error!故(2 x4) 2(2 y2) 24，化简得，( x2) 2( y1) 21，故选 A.2已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y28 y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，2线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当| OP| OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积解：(1)圆 C 的方程可化为 x2( y4) 216，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4.设 M(x， y)，则 (
4、 x， y4)， (2 x,2 y)CM MP 由题设知 0，CM MP 故 x(2 x)( y4)(2 y)0，即( x1) 2( y3) 22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是( x1) 2( y3) 22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 为半径的圆2由于| OP| OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上又 P 在圆 N 上，从而 ON PM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 ，13故 l 的方程为 x3 y80.又| OM| OP|2 ， O 到 l 的距离为 ，24105所以| PM| ， S POM ，4105 12
5、4105 4105 165故 POM 的面积为 .165与圆有关的最值或范围问题例 1 (2019兰州高三诊断)已知圆 C：( x1) 2( y4) 210 和点 M(5， t)，若圆C 上存在两点 A， B 使得 MA MB，则实数 t 的取值范围是( )A2,6 B3,5C2,6 D3,5解析 法一：当 MA， MB 是圆 C 的切线时， AMB 取得最大值若圆 C 上存在两点 A， B 使得 MA MB，则 MA， MB 是圆 C 的切线时， AMB90， AMC45，且 AMC90，如图，所以| MC| ，所以 16( t 4)220，所 5 1 2 t 4 210sin 45 20以
6、 2 t6，故选 C.法二：由于点 M(5， t)是直线 x5 上的点，圆心的纵坐标为 4，所以实数 t 的取值范3围一定关于 t4 对称，故排除选项 A、B.当 t2 时，| CM|2 ，若 MA， MB 为圆 C 的切5线，则 sin CMAsin CMB ，所以 CMA CMB45，即 MA MB，所以 t21025 22时符合题意，故排除选项 D.选 C.答案 C例 2 已知实数 x， y 满足方程 x2 y24 x10.求：(1) 的最大值和最小值；yx(2)y x 的最大值和最小值；(3)x2 y2的最大值和最小值解 原方程可化为( x2) 2 y23，表示以(2,0)为圆心， 为
7、半径的圆3(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，yx所以设 k，即 y kx.yx当直线 y kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时 ，解得|2k 0|k2 1 3k .3所以 的最大值为 ，最小值为 .yx 3 3(2)y x 可看成是直线 y x b 在 y 轴上的截距当直线 y x b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时 ，|2 0 b|2 3解得 b2 .6所以 y x 的最大值为2 ，最小值为2 .6 6(3)x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知， x2 y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值因为圆心到原点的
8、距离为 2， 2 0 2 0 0 2所以 x2 y2的最大值是(2 )274 ，3 3最小值是(2 )274 .3 3方 法 技 巧 与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：常见类型 解题思路4 型y bx a 转化为动直线斜率的最值问题t ax by 型 转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解m( x a)2( y b)2型 转化为动点与定点的距离的平方的最值问题针 对 训 练 1(2019新余一中月考)直线 x y t0 与圆 x2 y22 相交于 M， N 两
9、点，已知 O是坐标原点，若| | |，则实数 t 的取值范围是_OM ON MN 解析：由| | | |，OM ON MN ON OM 两边平方，得 0，OM ON 所以圆心到直线的距离 d 1，|t|2 22 2解得 t ，2 2故实数 t 的取值范围是 ， 2 2答案： ， 2 22已知点 P(x， y)在圆 x2( y1) 21 上运动，则 的最大值与最小值分别为y 1x 2_解析：设 k，则 k 表示点 P(x， y)与点 A(2,1)连线的斜率y 1x 2当直线 PA 与圆相切时， k 取得最大值与最小值设过(2,1)的直线方程为 y1 k(x2)，即 kx y12 k0.由 1，解
10、得 k .|2k|k2 1 33答案： ，33 333(2019大庆诊断考试)过动点 P 作圆：( x3) 2( y4) 21 的切线 PQ，其中 Q 为切点，若| PQ| PO|(O 为坐标原点)，则| PQ|的最小值是_解析：由题可知圆( x3) 2( y4) 21 的圆心 N(3,4)设点 P 的坐标为( m， n)，则|PN|2| PQ|2| NQ|2| PQ|21，又| PQ| PO|，所以| PN|2| PO|21，即( m3)2( n4) 2 m2 n21，化简得 3m4 n12，即点 P 在直线 3x4 y12 上，则| PQ|的最5小值为点 O 到直线 3x4 y12 的距离，点 O 到直线 3x4 y12 的距离 d ，故| PQ|的125最小值是 .125答案：125
