1、1辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三数学上学期期末考试试题 理时间：120 分钟 分值：150 分一、选择题（每题一个选项，每题 5 分共 60 分）1复数 z满足 1iz，则在复平面内复数 z所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知集合 2xyx， 230x， R表示实数集，则下列结论正确的是（ ）A BB ARC BARD BAR3小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为 40 秒，黄灯 5 秒，红灯 45 秒如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于 20 秒的概率是
2、（ ）A 34B 23C 12D 134设05a，04b， 34logc，则（ ）A cB abC cbaD abc5若实数 x， y满足约束条件102xy，则 2zxy的最大值是（ ）A3 B7 C5 D16在等差数列 na中， 158a， 92a，则 5a（ ）A4 B5 C6 D77偶函数 fx在 ,0上是增函数，且 1f，则满足 231xf的实数 x的取值范围是（ ）A 1,2B 1,C 0,D ,8执行如图所示的程序框图，若输入 5n， 4A， 1x，则输出的 A的值为（ ）2A 2B 1C3 D29一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A90 B72 C68 D6
3、010已知 C 中， 2A， 1，点 P是 AB边上的动点，点 Q是 AC边上的动点，则 QP的最小值为（ ）A 4B C 1D011过双曲线 21,0xyab的左焦点 F作圆 22xya的切线，切点为 T，延长FT交双曲线右支于点 P若线段 的中点为 M， O为坐标原点，则 OM与ba的大小关系是（ ）A OMbaB TbaC TD无法确定12已知函数 ,ln10exf，函数 1egxf零点的个数为（ ）A3 B4 C1 D23二、填空题(每小题分，每题分共分) 13 723x的展开式中 4x的系数是_(用数字作答 )14过抛物线 24y的焦点 F作直线，交抛物线于 1,Pxy， 2,xy两
4、点，若126y，则 12P_15若 4xy，则 xy的取值范围为_16已知函数 32fa在 1,上没有最小值，则 a的取值范围是_三解答题：(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 （12 分）已知函数 2sin3coscsfxxxx（1）求函数 f的单调递增区间；（2）已知在 ABC 中， ， ， 的对边分别为 a， b， c，若 32fA， a，4bc，求 b， c18 （12 分）在信息时代的今天，随着手机的发展， “微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了 100 人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如
5、下表：（注：年龄单位：岁）年龄 15,25,35,45,5,65,7频数 10 30 30 20 5 54赞成人数 8 25 24 10 2 1（1）若以“年龄 45 岁为分界点” ，由以上统计数据完成下面的 22 列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计赞成不赞成合计（2）若从年龄在 5,6， ,75的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的 4 人中赞成“使用微信交流”的人数为 X，求随机变量 X的分布列及数学期望参考数据： 20PKk.50.1.05.0103
6、.846.37.89.28参考公式： 22nadbcKd，其中 nabcd19 （12 分）如图所示，在四棱锥 EABCD中， ， 90ABC，24CDABE， 120， 255（1）证明：平面 BCE平面 D；（2）若 4，求二面角 AB的余弦值20. （12 分）已知椭圆 210xyaba右焦点 1,0F，离心率为 2，过 F作两条互相垂直的弦 AB， CD，设 ， 中点分别为 M， N（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线 MN必过定点，并求出此定点坐标21. （12 分）已知函数 21lnfxax；（1）当 0a时， ，使 0f成立，求 的取值范围；（2）令 1gxfax， ,e，证
7、明：对 1x， 2,a，恒有126选做题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xoy中，曲线 1C的参数方程为 3cosinxy， （ 为参数） ，以原点 O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 sin24（1）求曲线 1的普通方程与曲线 的直角坐标方程；（2）设 P为曲线 C上的动点，求点 P到 2C上点的距离的最小值23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】设函数 21fxx（1）求不等式 f的解集；（2）若对于任意 xR，不等式 21fx
8、t恒成立，求实数 t的取值范围7高三期末数学试卷答案（理）一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案A B D C B C A D B B A C二、填空题13、84 14、815、 ,2 16、 1,三、解答题17. （1） 23sincoscsfxxxx ， 231o1icoiinsin26f x，由 22,6kxkZ，函数 f的单调递增区间是 ,63kZ（2）由 32fA，得 1sin2x， sin216x， 0， 0， 6A， A， 3， a， 4bc，根据余弦定理得， 222cos 16bcbcbc， c，联立 得 18.（1）根据频数分布，填写 22 列
9、联表如下；年龄不低于 45 岁的人数 年龄低于 45 岁的人数 合计赞成 13 57 70不赞成 17 13 308合计 30 70 100计算观测值 2 22 1031754.10.820nadbcKd，对照临界值表知，在犯错误的概率不超过 .的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关” ；（2）根据题意， X所有可能取值有 0，1，2，3，2345C900Px， 21344255CPx，12234455， 2145x； X的分布列是： X0 1 2 3P95253015 X的期望值是 1312700E19. （1）证明：因为 ABCD ， 9，所以 CDB因为 4CD， 2， 5，所以
10、 22E，所以 CE，因为 BE，所以 平面 又 平面 ，所以平面 BCE平面 D（2）以 C为原点，建立空间直角坐标系 xyz如图所示，则 4,02A， ,0B， 1,30E， ,4D，所以 4,02AD，5,3E，9设平面 ADE的法向量为 1,xyzn，则 10ADEn，即 42053xzy，令 1x，解得 32yzx，即 1,32，显然平面 ABD的一个法向量为 20,n，所以 121236cos 84, 1n，所以二面角 EADB的余弦值为 36820. （1）由题意： c， a， 2a， 1bc，则椭圆的方程为21xy（2） AB， CD斜率均存在，设直线 AB方程为 ykx，再设
11、 1,xy， 2,xy，则有 1212,xMk，联立得 20kxy，消去 得 2240xk，1224kx，即22,1kM，将上式中的 k换成 ，同理可得 2,kN，若221，解得 1k，直线 斜率不存在，此时直线 MN过点 ,03；下证动直线 过定点 ,P，若直线 N斜率存在，则 224231 1MNkkk，直线 M为 22231kkyxk，令 0，得 31x，综上：直线 N过定点 ,031021. （1）当 0a，由 afx，令 0fx， xa，列表得： x0,aa,af0fx减函数 极小值 增函数这时 minln2afxf 0，使 0成立， l0a， e， a的取值范围为 ,e（2）因为对
12、 1,xa， 1 0xg，所以 gx在 1,a内单调递减，所以 212 lnga要证明 1x，只需证明 11l，即证明 3ln02a令 13ln2haa， 223 03haa，所以 l2在 1,e是单调递增函数，所以 30e2ha，故命题成立22. （1）由曲线 1C： cosinxy得 cosinxy，即曲线 1的普通方程为213；由曲线 2C： sin4得 sinco22，即曲线 2的直角坐标方程为 40xy（2）由（1）知椭圆 1与直线 2C无公共点，椭圆上的点 3cos,inP到直线1140xy的距离为 2sin43cosin432d，当 2sin13时， 的最小值为 23. （1）由题意 13,2,xfx，当 12x时， 32x，解得 5， x；当 时， 1，解得 1， 2；当 x时， 32x，解得 x， x；综上，不等式 f的解集为 5或 （2）当 12x时， 3x， 2fx；当 时， 1f；当 x时， 35fx min2f不等式 1fxt恒成立等价于 2min1tfx，即 215t，解得 152t
