1、1淄博实验中学高三年级第二学期第一次诊断考试试题 数学（文）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设 为虚数单位.若复数 是纯虚数，则复数 在复面上对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数 是纯虚数求出 ，化简 为 ，问题得解。【详解】因为复数 是纯虚数，所以 ，解得： ，所以复数 可化为 ，所以复数 在复面上对应的点的坐标为 .故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。2.已知集合 若 ，则实=|=2(234),=|23+220)， 数 的取值范围为（
2、）A. B. C. D. (4， +) 4， +) (2， +)2， +)【答案】B【解析】【分析】分别求出集合 A,B，利用 列不等式即可求解。【详解】由 得： 或 .2340 4所以集合 .=4由 得： .23+220) 1000 可以分别填入( )A. 和 B. 和1000=+1 1000=+2C. 和 D. 和1000=+1 1000=+2【答案】D【解析】由题意，因为 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 ，321000 1000故填 ，又要求 为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填 ，故选 D.1000 =+2点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、
3、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.4.已知函数 ，若 ，则 为（ ）()= 2+1+12,2223,2(,0) (3)=65 A. B. C. D. 13425 22 34【答案】D【解析】由题意可得：，(3)=21=1,(3)=(1)=4+12=92,(3)=(92)=4532=653解得： .=34本题选择 D 选项.5.函数 （ 且 ）的图象可能为（ ）()=(1) 0【答案】D【解析】因为 ，故函数是奇函数，所以排除 A，B；取()=(+1)=(1)=()，则 ，故选 D.= ()=(1)
4、=(1)0,0) 1， 2有点 满是 ，则双曲线的离心率为（ ） |=|2|,2=13A. B. C. D. 6+3 6 63 3【答案】A【解析】【分析】设 ， ，在 及 中利用余弦定理，分别表示出 .再利用双曲2=1= 2 1 ,线定义列方程即可求解。【详解】设 ， ， 由题可得： ,2=1= |=|2|=在 中，由余弦定理可得： ，整理得： .2 2=2+22213 =2337在 中，由余弦定理可得： ，整理得： .1 2=2+2+2213 =263由双曲线定义得： ，即： .整理得： .=2263233=2 =6+3故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。12.
5、已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，已知 ， 1=15+123=25+1 ,，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 494 498 14 28【答案】C【解析】分析：先利用数列的递推公式和整体思想得到数列的通项公式，则判定哪些项为非正值，进而求出 的最小值.详解：因为 ，且 ，+123=25+1 125=153=5所以数列 是以 为首项、1 为公差的等差数列，25 5则 ，25=5+(1)=6即 ，=(25)(6)令 ，得 ，0526又 ， ， =3,4,5,6则 的=+1+2+最小值为 .3+4+5+6=3650=14点睛：解决本题的难点是合理将求 的最小值问题转化为判定数列 的
6、哪些项为非 正值，只要把这些非正值相加即得 的最小值.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知 则当 a 的值为 时 取得最大值.0,0,=8, 22(2)【答案】4【解析】试题分析：由题意得，当 取得最大值时， 和 都是正数，所以22(2) 2 2(2)，再利用基本不等式可得18，当且仅当 时，等22(2)(2+2(2)2 )2=(2(2)2 )2=(2162)2=4 =2=4号成立，即当 时， 取得最大值.=4 22(2)考点：基本不等式求最值【此处有视频，请去附件查看】14.若平面区域 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两
7、条平行直线间的+30,230,2+30距离的最小值是_.【答案】 2【解析】【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离【详解】作出平面区域如图所示：当直线 y x+b 分别经过 A， B 时，平行线间的距离相等联立方程组 ，解得 A（2，1） ，+3=023=0 联立方程组 ，解得 B（1，2） +3=02+3=0 两条平行线分别为 y x1， y x+1，即 x y10， x y+10平行线间的距离为 d ，=|11|2 =2故答案为： 2【点睛】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属9于基础题15.已知平面 ，直线 .给出下列
8、命题：, , 若 ，则 ； 若 ，则 ；/,/,/ / /,/,/ / 若 ，则 ； 若 ，则 ., , 其中是真命题的是_ （填写所有真命题的序号） 【答案】【解析】【分析】利用线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答【详解】对于，若 ，则 与 可能相交，此时 m 与 n 都平行于交线时/,/,/满足条件，但不满足 ，故错误；/对于，若 ， m， n，则 m 与 n 的位置关系有：平行、相交或者异面，故错误；对于，若 m， n， m n，利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以判断 ，故正确；对于，若 ， m， n，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可以得到
9、 m n；故正确；故答案为：【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理16.若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适, ()=2+(0,0) ,2当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_+【答案】9【解析】试题分析：由 可知 同号，且有 ，假设 ，因为排序后可组成等差数列，可知其排序必为 ，可列等式，又 排序后可组成等比数列，可知其排序必为 ，可10列等式 ，联解上述两个等式，可得，则 考点：等差数列中项以及等比数列中项公式的运用【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出 a，b 均为正值，当他们与-2 成等差数列时
10、，共有 6 种可能，当-2 为等差中项时，因为 ，所以不可取，则-2 只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又 a,b 与-2 可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2 必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解 p，q【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某公司为了提高利润，从 2012 年至 2018 年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年 份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018投资金额（万元） 4.5 5.0 5.5 6.
11、0 6.5 7.0 7.5年利润增长（万元） 6.0 7.0 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1（1）请用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程；如果 2019 年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是 8 万元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留 2 位小数）（2）现从 20122018 年这 7 年中抽取 2 年进行调查，记 =年利润增长投资金额，求这两年都是 2（万元）的概率.参考公式：回归方程 中， =+=1()()=1()2 =1=122, =.7=1=359.6,7=12=259.【答案】 （1） ，11.43；（2）=1.571.132711【解析】【分析
12、】（1）由题意计算平均数和回归系数，写出回归直线方程，利用方程计算 x8 时 的值即可；（2）设 2012 年-2018 年这 7 年分别定为 1,2,3,4,5,6,7；则由题意列举出所有总的基本事件，找到符合条件的个数，计算概率即可【详解】 （1） ， ， ，=6 =8.37=348.6 ，=7=177=1272=359.6348.6259736=1171.571，=8.31.5716=1.1261.13那么回归直线方程为： =1.571.13将 代入方程得=8 =1.5781.13=11.43即估计该公司在该年的年利润增长大约为 11.43 万元. （2）由题意可知，年份2012 201
13、3 2014 2015 2016 2017 2018 1.5 2 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6设 2012 年-2018 年这 7 年分别定为 1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,2） ， （1,3） ，（1,4） ， （1,5） ， （1,6） ， （1,7） ， （2,3） ， （2,4） ， （2,5） ， （2,6） ， （2,7） ， （3,4） ， （3,5） ，（3,6） ， （3,7） ， （4,5） ， （4,6） ， （4,7） ， （5,6） ， （5,7） ， （6,7） ，共有 21 种结果， 选取的两年都是 万元的情况为：（4,5） ， （4
14、,6） ， （4,7） ， （5,6） ， （5,7） ， （6,7） ，共26 种，所以选取的两年都是 万元的概率 .2 =621=27【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，考查了概率的求法问题，是中档题18.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 22=.23（1）求角 ；（2）若 ， 的面积为 ， 为 的中点，求 的长.=6 43 12【答案】 （1） .（2） .=6 =27【解析】【分析】（1）利用正弦定理把角的关系转化为 ，由余弦定理可得 的值.2=2+23 （2）由 可以得到 ，从而 为等腰三角形，利用面积公式得到边长后用余弦定理计, 算 的长.【详解】 （1）由
15、正弦定理， 可化为22=23，整理得到 ，(2)2(2)2=(2)2322 22=23即 .2=2+23又由余弦定理，得 .=2+222 =32因为 ，所以 .00) 1,2 12 个动点。当 为 的上顶点时， 的面积为 。 12 3（1）求 的方程；（2）设斜率存在的直线 与 的另一个交点为 。若存在点 ，使得 ，求的2 (,0) |=|取值范围。【答案】 （1） ；（2）24+23=1 0,14)【解析】【分析】（1）结合椭圆性质，计算 a,b 的值，得到椭圆方程，即可。 （2）设出直线 PQ 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，建立等式，用 k 表示 t，结合函数的性质，计算范围，即可。
16、【详解】 （1）设椭圆的半焦距为 c。因为 ，所以， ， 12=122=3 =3又 ， =12,2=2+215所以 . =2,=3,=1所以 C 得方程为 24+23=1（2）设直线 PQ 的方程为 ， PQ 的中点为 .=(1),(1,1),(2,2) (0,0)当 k=0 时， t=0 符合题意. 当 k0 时，由 =(1)24+23=1 得 (42+3)282+4212=0则 1+2=8242+3,12=421242+3所以 0=1+22 =4242+3,0=(01)= 342+3即 (4242+3, 342+3)因为 ，|=|所以 TN PQ,则 KTNk=-1， 所以 342+342
17、42+3=1,故 = 242+3=14+32因为 ，所以 . 4+324 (0,14)综上，t 的取值范围为 .0,14)【点睛】考查了椭圆方程求解，考查了直线与椭圆的位置关系，难度一般。21.已知函数 .()=（1）若函数 与函数 在点 处有共同的切线，求的值；()=() ()=21 =1（2）证明： ；|()|()+12（3）若不等式 对所有 ， 都成立，求实数 的取值范围.()+ 0,32 1,2 【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) =2 2【解析】试题分析：(1)由题意可知： ，据此得到关于实数 t 的方程，解方程可得： t=2；(1)=(1)(2)构造新函数 ，结合导函数讨论
18、函数的最大值即可证得题中的结论；()=()16(3)将原问题转化为 对所有的 ， 都成立，讨论函数 0,32 1,2， 的性质，结合函数的性质可得实数 的取值范围是 .()= 0,32 2试题解析：（1） ， ，()=2 ()=()= ()=()= 与 在点 处有共同的切线，()=() ()=21 =1 ，即 .=(1)=(1) =2（2）令 ，则 ，()=() ()=11=1则 在 上是增函数，在 上是减函数，() (0,1) (1,+) 的最大值为 ， 的最小值是 1.() (1)=1 |()|设 ， ，()=()+12=+12 ()=12故 在 上是增函数，在 上是减函数，故 ，() (
19、0,) (,+) ()=1+12()+12（3）不等式 对所有的 ， 都成立，()+ 0,32 1,2则 对所有的 ， 都成立， 0,32 1,2令 ， ， 是关于 的一次函数，()= 0,32 1,2 ， ， 当 时， 取得最小值 ，1,2 0,2 =0 () 即 ，当 时，恒成立，故 . 1,2 2点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用
20、导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22.平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （a 为参数） ，在以原点为极点， =3=轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 L 的极坐标方程为 . (4)=217（1）求曲线 的普通方程和直线 L 的倾斜角；（2）已知点 ，且直线 L 和曲线 交于 ， 两点，求 (0,2) |+|【答案】 （） , （） 29+2=14 1852【解析】【分析】（1）消参写出曲线 C 的普通方程，利用极坐标公式写出直线 l 的普通方程和直线的倾斜角.(2)先写出直线的参数方
21、程，代入曲线 C 的普通方程，再利用韦达定理和参数方程 t 的几何意义解答.【详解】解：(1)由 消去参数 ，得 ，=3= 29+2=1即 C 的普通方程为 .29+2=1由 sin ，得 sin cos 2，(*)(4) 2将 代入(*)，化简得 yx2，=所以直线 l 的倾斜角为 .4(2)由(1)知，点 P(0，2)在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，=4=2+4即 (t 为参数)，=22=2+22代入 并化简，得 5t218 t270，29+2=1 2(18 )245271080，2设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1t 2 0，所以 t10
22、,且 =| (0,0) 1 (2)+(2)+11【答案】(1)a=2 (2)见证明【解析】【分析】（1）由题意知 不满足题意，当 时，由 得 ，即可求0 0 |+2|解；（2）由题意，对于任意实数 ，存在 ，使得 ，只需 1 (+2)+(2)+11，分类讨论求得 ，再利用基本不等式，即可求解；()(+11) ()=3【详解】 （1）由题意知 不满足题意，当 时，由 得 ，则 ,则 a=2（2）设 ，对于任意实数 ，存在 ，使得 ，只需 ，因为 ，当 时，由 ，仅当 取等号所以原命题成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式求解及应用，其中解答中把对于任意实数 ，存在，使得 ，转换为 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.1920
