1、1山东师范大学附属中学 2019 届高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 ， ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知得 ，故 ，故选 A考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知点 A（1，1） ，B（2，3） ，向量 =（-4，-3） ，则向量 =（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出 ，从而根据 ，即可求出向量 的坐标【详解】由题意，点 ，所以 ，则 ，=(4,3)(1,2)=(5,5)故选：A【点睛】本题主要考查了坐标求向量坐标的方法，向量坐标的减法运算，其中解答中熟记
2、向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.设 a，bR，那么“ 1”是“ab0”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析： ，但 ，故 是 的必要不充分条件.=2,=1,1 1 02考点：充要条件4.如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 ， 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，若点 A，B 的坐标为（ ， ）35 45和（- ， ） ，则 cos（+）的值为（ ）45 35A. B. C. 0 D. 2425 725 2425
3、【答案】A【解析】，故选 A。=35,=45,=45,=35(+)=2425点睛：利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：(1)角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 ；(2)纵坐标 y；(3)该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)5.设 a=log2 ，b= ， ，则（ ）1 23 =(14)23A. B. C. D. 1,022=1，3根据指数幂的运算，可得 ，则 acb=(14)230 ()=22,(2)=223，函数单调递减，排除 C 选项.由于 ，排除 D 选项.
4、故选 A.()(2) (100)= 21001010【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. 4 D. 43 42433【答案】C【解析】由三视图复原几何体可得：它是一个侧放的四棱锥，它的底面是直角梯形，一条侧棱的长垂直于底面，高为 2，这个几何体的体积： .故选 C.132+4222=4点睛：根据几何体求体积，主要熟悉椎体的计算公式即可.10.在三棱锥 P-ABC 中，|PA|=|AB|=|BC|=1，|AC|=|PB|= ，|PC|= ，则异面直线 PC 与2 3AB 所成角的正弦值为（
5、 ）A. B. C. D. 33 63 23 24【答案】B【解析】6【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥 P-ABCD，其中 PA底面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，AD=2，BC=4，ADAB，AP=2，AB=2即可得出【详解】由题意，在三棱锥 P-ABC 中，PA=AB=BC=1，AC=PB= ，PC= ，2 3则 AB2+BC2=AC2，PA 2+AB2=PB2，PA 2+AC2=PC2，所以 ABBC，PAAB，PAAC，ABAC=A，PA平面 ABC，以 A 为原点，在平面 ABC 中，过 A 作 AC 的垂线为 x 轴，AC 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立
6、空间直角坐标系，则 A（0，0，0） ，B（ ， ，0） ，C（0， ，0） ，P（0，0，1） ，22 22 2=（ ， ，0） ， =（0， ，-1） ，22 22 2设异面直线 PC 与 AB 所成角为 ，则 cos= ，则 sin 33 = 63异面直线 PC 与 AB 所成角的正弦值为 63故选：B【点睛】本题考查了几何体的三视图及线面角的求解，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.11.已知
7、 f（x）= ，不等式 f（x+a）f（2a-x）在a，a+1上恒成立，24+3,022+3,0 则实数 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. (,2) (,0) (0,2) (2,0)【答案】A【解析】7试题分析：二次函数 的对称轴为 ，则该函数在 上单调递减，则=24+3 =2 (,0)，同样函数 在 上单调递减，24+33 =22+3 (0,+) 22+3(2) +1() ()+()1 ()+()0，则 ，易知 在 R 上单调递增，且 任一点处斜率()=() ()() () ()=()比 相应点的斜率大，又 ，知 0，故作出 及 的草图，= (0)=0 (0)= =() =1如下
8、：通过图像分析 的解集为 ，故选 A()1 (0,+)点睛：构造函数 ，通过分析 与 的图像关系，作出图像，是解决()=() () =()本题的关键.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知向量， ，其中|= ，|=2，且（-），则向量和的夹角是_3【答案】6【解析】【分析】利用向量垂直的数量积为 0 列出方程，利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角【详解】由题意，设两个向量的夹角为 ，8因为| |= ，| |=2，且（ - ） ， 3 所以（ - ） =| |2- =| |2-| | |cos=3-2 cos=0 ， 3解得 cos=
9、 ，因为 0，所以 ，32 =6故答案为： 6【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式，其中解答中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题14.曲线 y=x+lnx 在（1，f（1） ）处的切线方程为_【答案】y=2x-1【解析】【分析】求出函数的导数，计算 的值，即可求出切线方程(1)=1,(1)=2【详解】由题意，函数 ，则 ，且 ，()=+ ()=1+1 (1)=1,(1)=2故切线方程是：y-1=2（x-1） ，即 y=2x-1，故答案为：y=2x-1【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解
10、曲线在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义，合理利用导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题15.若 sin（ - ）= ，则 cos（ +2）的值为_6 13 23【答案】 79【解析】因为 ,所以 ,而(6)=13 (3+)=2(6)=13.(23+2)=2(3+)=2(3+)21=2191=79点睛:本题主要考查三角函数诱导公式以及二倍角公式, 属于中档题. 本题注意拆角技巧,这是解答本题的关键.3+=2(6)16.已知四边形 ABCD 中，AB=CD=1，AD= BC=2，B+D= ，则 BD 的长为_2549【答案】655【解析】【分析】在 和 中，两
11、次利用余弦公式，求得 3cosA-sinA=1，将 ，代入求得 =34的值，可求得 BD 的长，得到答案=35【详解】在ABD 中由余弦定理可知：BD 2=AB2+AD2-2ABADcosA，在CDB 中与余弦定理可知：BD 2=DC2+BC2-2ABADcosC，将 AB=CD=1，AD= BC=2 代入，整理得：2cosA- cosC=1，2 2B+D= ，则A+C= 2cosA- cos（ -A）=1，54 34 2 34整理得：3cosA-sinA=1，两边平方（3cosA-sinA） 2=9cos2A-6cosAsinA+sin2A=cos2A+sin2A，整理得：sinA =cos
12、A，cosA= ，BD 2=AB2+AD2-2ABADcosA= ，43 35 135 =655故答案为： 655【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知数列a n是公差不为 0 的等差数列，a 1=2，且 a2，a 3，a 4+1 成等比数列（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=
13、，求数列b n的前 n 项和 Sn2(+2)【答案】 （1） （2）=2 =+1【解析】试题分析：（1）设数列a n的公差为 d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公10式，解方程可得公差，即可得到所求通项；（2） ，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求=2(2+2)=1 1+1和试题解析：(1)设数列a n的公差为 d，由 且 成等比数列，得(22d) 2(2d)(33d)，解得 d1 或 d2.1=2 2,3,4+1当 d1 时，a 30，这与 a2，a 3，a 41 成等比数列矛盾，舍去所以 d2，所以 ana 1(n1)d2n，即数列a n的通项公式为 an2n，(
14、nN*)(2) ，=2(2+2)= 1(+1)=1 1+1所以 =1+2+=(112)+(1213)+(1 1+1)=1 1+1=+1点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为 ，求前 项和： ；=1(+1) = 1(+1)=11+1（2）已知数列的通项公式为 ，求前 项和：=1(21)(2+1) ；=1(21)(2+1)=12( 12112+1)（3）已知数列的通项公式为 ，求前 项和:.=1+1 = 1+1=+118.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = 2 2（1）求 的值（2）若 cosB= ，b=2，求ABC 的面
15、积 S14【答案】 （1）2 （2）S=154【解析】第一问中利用 ,正弦定理化为角的关系式，然后得到比值2 =2因为112 =2 =2(2)=(2)=2第二问中，因为 cosB= ，14=2=22=2+22=42=1,=2,=12=154结合余弦定理和面积公式得到。19.已知数列a n满足 a1=1，且点 P（a n，a n+1）在函数 f（x）=x+2 上；数列b n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn=2bn-2，nN *（）求数列a n、b n的通项公式；（）设数列c n满足 cn=anbn，求数列c n的前 n 项和为 Tn【答案】 （1）a n=2n-1，b n=2n；（2）T n=
16、6+（2n-3）2 n+1【解析】【分析】（1）由题意可得 an+1-an=2，由等差数列的定义和通项公式可得 an，运用数列的递推式和等比数列的和通项公式可得 ； （2）求得 cn=（2n-1） ，由数列的错位相减法求和和等比数列的求和公式，计算可得2所求和【详解】 （1）点 P（a n，a n+1）在函数 f（x）=x+2 上，可得 an+1-an=2，即有a n为以 1 为首项，2 为公差的等差数列，可得 an=2n-1，又 Sn=2bn-2，可得 b1=S1=2b1-2，即 b1=2，n2 时，S n-1=2bn-1-2，又 Sn=2bn-2，两式相减可得 bn=2bn-2-2bn-1
17、+2，即 bn=2bn-1，可得 ；=2（2）c n=anbn=（2n-1） ，2前 n 项和为 Tn=12+34+（2n-1） ，22Tn=14+38+（2n-1）2 n+1，作差可得-T n=12+2（4+8+2 n）-（2n-1） 2+112=2+2 -（2n-1） ，4(121)12 2+1化简可得 Tn=6+（2n-3） 2+1【点睛】等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的递推式的运用，数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题20.已知等腰梯形 ABCE（图 1）中，ABEC，AB=BC= EC=4，ABC=120，D 是 EC 中点，12将ADE 沿
18、AD 折起，构成四棱锥 P-ABCD（图 2） （）求证：ADPB（）当平面 PAD平面 ABCD 时，求三棱锥 C-PAB 的体积【答案】 （）见解析；（）8【解析】【分析】（）取 AD 中点 K，连接 PK、BK，BD，由已知可得 PKAD，BKAD，再由线面垂直的判定可得 AD平面 PBK，则 ADPB； （）由平面 PAD平面 ABCD，利用面面垂直的性质可得 PK面 ABCD，分别求出三角形ABC 的面积与 PK 的长度，再由等积法求三棱锥 C-PAB 的体积【详解】 （）证明：取 AD 中点 K，连接 PK、BK，BD，PA=PD，K 为 AD 中点，PKAD，又 AD=AB，DA
19、B=60，ADB 为等边三角形，则 AB=BD，则 BKAD，又 PKBK=K，AD平面 PBK，则 ADPB；（）解：由平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，13PK平面 PAD，PKAD，得 PK平面 ABCD，由已知 AB=BC=4，ABC=120，得 ，=43又 PK= ，V C-PAB=VP-ABC= 23134323=8【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，着重考查了推理与论证能力，及运算与求解能力，属于基础题21.已知函数 f（x）=e x-alnx-e（aR）
20、，其中 e 为自然对数的底数（1）若 f（x）在 x=1 处取到极小值，求 a 的值及函数 f（x）的单调区间；（2）若当 x1，+）时，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围【答案】 （）见解析;（） . (,【解析】【试题分析】 （1）令 可求得 的值.利用二阶导数求得函数 点的单调区间.（2）(1)=0 ()对 求导，并对 分成 ，三类讨论函数的最小值，由此求得 的取值() 0,0 范围.【试题解析】（）由 ，得()=() ()=因为 ，所以 ，所以 (1)=0 = ()=令 ，则 ，()= ()=(1+)当 时， ，故 在 单调递增，且0 ()0 () (0,+) (1)=0,所以当
21、， .(0,1)时 ,()0即当 时， ，当 时， .(0,1) ()014所以函数 在 上递减，在 上递增. () (0,1) (1,+)（） 【法一】由 ，得()= ()=（1）当 时， ， 在 上递增0 ()=0 () 1,+)（合题意） ()=(1)=0（2）当 时， ，当 时，0 ()=0 1,+) =当 时，因为 ，所以 ， .(0, 1,+) = ()=0在 上递增， （合题意） () 1,+) ()=(1)=0当 时，存在 时，满足(,+) 01,+) ()=0在 上递减， 上递增，故 .() 01,0) (0+) (0)0 () 1,+)（合题意）. ()(1)=0当 时，在
22、 时，有 ，知 ，01 ()=0所以 在 上单调递增，即 （合题意）() 1,+) ()(1)=0综上所述， 的取值范围是 . (,22.设函数 f（x）=|x-a|+|x-2|（）若 a=1，解不等式 f（x）2（）若存在 xR 使得不等式 f（x） 对任意 t0 恒成立，求实数 a 的取值范2+4+1围15【答案】 （） ， ；（）-4a812 52【解析】【分析】（）分类讨论，结合绝对值的意义进行求解即可 （）根据绝对值以及基本不等式的性质求出对应的最值，进行求解即可【详解】 （）当 a=1 时，f（x）=|x-1|+|x-2|当 x1 时，不等式 f（x）2 等价为-x+1-x+22，
23、即 3-2x2，得 x ，此时 x1，12 12当 1x2 时，不等式 f（x）2 等价为 x-1-x+2=12，此时不等式成立，此时1x2，当 x2 时，不等式 f（x）2 等价为 x-1+x-22，即 2x-32，得 x ，此时 2x ，52 52综上 x ，即不等式的解集为 ， （）f（x）=|x-a|+|x-2|x-a-x+2|=|a-2|，即 f（x）的最小值为|a-2|，=t+ +44+2 =4+2=6，当且仅当 t= ，即 t=1 时，取等号，要使存在 xR 使得不等式 f（x） 对任意 t0 恒成立，则|a-2|6，得-4a8【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，结合绝对值的意义，表示成分段函数性质，以及求出函数值的最值是解决本题的关键1617
