1、1专题 50 不等式 简单的线性规划（二元一次不等式组）【考点讲解】1、具本目标：.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题线性规划问题，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现 高考单独考查二元一次不等式（组）表示的平面区域的较少，常与面积、周长等结合考查。另外求线性规划问题的最值，以及与基本不等式、向量等知识结合考查，考查频率非常大。还有就是考查线性规划在生活中的
2、应用，求解最优化问题等。二、知识概述：1.二元一次不等式（组）表示的平面区域在平面直角坐标系中，直线 将平面分成两部分，平面内的点分为三类：直线 l上的点（ x， y）的坐标满足： ；直线 一侧的平面区域内的点（ x， y）的坐标满足： ；直线 l另一侧的平面区域内的点（ x， y）的坐标满足： .即二元一次不等式 或 在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线 叫做这两个区域的边界， （虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2. 目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型
3、、距离型.3.线性规划常用的概念：名称 意义约束条件 由变量 x， y 组成的不等式(组)线性约束条件 由 x， y 的一次不等式(或方程)组成的不等 式(组)2目标函数 关于 x， y 的函数解析式，如 z2 x3 y 等线性目标函数 关于 x， y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解( x， y)可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4.确定线性最优解的思维过程：线性目标函数 （A,B 不全为 0）中，当 0B时， ，这样线性目标函数可看成斜率为 AB，且随 z变化的一组平行线，则把求 z
4、的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在 y轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线 AyxB，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当 B0 时， z的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而增大；当 B0 时， z的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足 x， y 均为整数，一般在不是整解的
5、最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.对于非线性最优解问题，应理解其几何意义，结合平面几何知识处理. 【答案】611.某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台 A 型或 B 型电视机所得利润分别为 6和 4 个单位，而生产一台 A 型和 B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3 个单位，所需工时分别为 4 和 2 个单位，如果允许使用的原料为 100 个单位，工时为 120 个单位，且 A 型和 B 型电视机产量分别不低于 5 台和 10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？3根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，
6、作直线 l0：3 x2 y0，当直线 l0平移至点 A 时， z 取最大值，解方程组Error!得Error!所以生产两种类型电视机各 20 台时，所获利润最大【温馨提示】在解决本题时要注意几个问题，第一个就是要明确三个变量的表达，即两种型号的电视机与利润.第二个问题是要会根据题中所给的条件表示出三个变量间的不等关系与等量关系，第三个问题是题中电视机的台数是非负数的要求，第四个问题是画出符合题意的图形，并能根据题意找到使目标函数取得最值的最优解，完成实际问题的解决过程.【模拟考场】1 【2016四川卷】设 p：实数 x， y 满足( x1) 2( y1) 22， q：实数 x， y 满足 ，则
7、 p是 q 的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4【答案】A2.【2018 山西高三名校模拟】设 ,xy满足约束条件 ，则 3zxy的最大值为( )A. 1 B. 3 C. 5 D. 6【解析】由 根据题意画出上图， ABC 区域为满足不等式组的所有点的集合 ，将直线 13yx 沿 轴平移，结合图象可知 z 的最大值点为 B 点，由 ，即 1,2 为 B 的坐标，代入式子得 ，故选 C.【答案】C3.若 x， y满足 约束条件 ，则 z34xy的最小值为_.【解析】5【答案】 1 4. 若变量 x，y 满足约束条件02143yx，则 的取值范围是（ ）A
8、. 3，+） B. 8，3 C. （，9 D. 8，9【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由 35zxy，则可得 ，则 15z表示直线35zxy在 轴上的截距，截距越大， 越大，结合图象可知，当 3zxy经过点 A时， 最小，6当 35zxy经过点 C时， z最大，由 得 3,0C，此时 9z，由 得1,A，此时 ，故选 D. . 【答案】D5.变量 x， y 满足约束条件 ，若 z2 x y 的最大值为 2，则实数 m 等于( )A2 B 1 C1 D26.当实数 x， y 满足 时，1 ax y4 恒成立，则实数 a 的取值范围是_7【答案】1， 327.某化肥厂生产甲、乙两种混
9、合肥料，需要 A， B， C 三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料 A B C甲 4 8 3乙 5 5 10现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x， y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数()用 x， y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润【解析】()由已知 ， x， y 满足的数学关系式为Error!该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分8答：生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最 大利润为 112 万元 9
