1、1专题 47 数列 数列的通项 4（构造法）【考点讲解】1、具本目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.二、知识概述：1.数列的通项公式：（1）如果数列 na的第 项与序号 n之间的关系可以 用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即 f,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.（2）数列 na的前 项和 nS和通项 na的关系： .2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、
2、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用n或 1n来调整（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律， 写出通项公式. 3.数列通项一般有三种类型
3、：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知 Sn，求通项，破解方法：利用 Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。3. 已知数列 na的前 项和 nS，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用 1S求出 1；(2)用 替换 n中的 得到一个新的关系，利用 na1nS (2)便可求出当 2n时 na的表达式；2(3)对 1n时的结果进行检验，看是否符合 2n时 na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 1n与 两段
4、来写 【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.4. 递推公式推导通项公式方法：（1）叠加法： 叠加法（或累加法）：已知 ，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即 .（2）累乘法：已知 求数列通项公式用累乘法.（3）待定系数法： （其中 ,pq均为常数， ）解法：把原递 推公式转化为： ，其中 pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： （其中 ,pq均为常数， ）. （或,其中 ,pqr均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以 1n，得： ，令 nqab，得： ，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法： 解法：一般 利用待
5、定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 yx,从而转化为 是公比为 p的等比数列.（6）待定系数法： 3解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 yx,从而转化为 是公比为 p的等比数列.（7）待定系数法： （其中 ,pq均为常数）.解法：先把原递推公式转化为 其中 ,st满足 tq，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法： 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 ，按第（3）种情况求解.（ ，解法 ：等式两边同时除以 1na后换元转化为 ，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数 rnnpa1解 法：这种类型一般是等式两边取以 p为底的对数，后
6、转化为 ，按第（3）种情况求解.5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法类型一：取倒数法已知函数 ,数列 na满足()求数列 na的通项公式;()记 ,求 nS.【分析】由于 bn和 c 中的项都和 a 中的项有关， an中又有 S 1n=4a +2
7、，可由 S 2nS 1作切入点探索解题的途径4【解析】 （）由已知得， 131na， 31na，即 1n数列 是首项 ,公差 d的等差数列. ,故 () 类型二：已知数列 na满足 ，求数列 na的通项公式。【分析】通过对递推关系式的整理，目的是构造成特殊数列.类型三：数列 na满足 ，求数列 na的通项公式.【解析】由 ， 得即 ，且 .5 1na是以 2 为公比，3 为首项的等比数列.利用逐差法可得= 123n N.类型四：已知数列 na满足求数列 n的通项公式 n；求 的值.【真题分析】1.【2015 全国】设 nS是数列 na的前 n 项和，且 1a， ，则 nS_【解析】本题考查的是
8、等差数列和递推关系由已知得 ，两边同时除以 1nS，得 ，故数列 1nS是以 为首项， 1为公差的等差数列，则 ，所6以 1nS【答案】2. 【2018 优选题】已知数列 na满足 。 naS是 的前 项的和，则 等于 .【解析】本题考点是周期函数与数列的递推关系.由题意可知由此推得： .【答案】 ba23.【2017 届衡水中学押题卷】数列 na满足 12， 21na（ 0n） ，则 na（ ）A. 210n B. 1n C. 120 D. 【答案】D4.【2017 武汉市调研】已知数列 na满足 1， 23a，若 ，则数列 n的通项 na（ ）A. 12n B. 1n C. 13n D.
9、12n【解析】 , , ,7则 ,数列 1na是首项为 2，公比为 2 的等比数列， ，利用叠加法， ，则 12na.选 B. 【答案】B5.【2019 优选题】已知数列 n， 13，且 ，求数列 na的通项 n6.已知数列 na中， 651, ，求 na【解析】本题考点是二次构造求数列的通项公式.在 两边乘以 12n，得： 令 nnab2，则 ，由 得， ，则可求得，这里的 3t8所以数列 3nb是以 4为首项， 23为公比的等比数列，所以有： ，所以 即 nN.7.【2018 优选题】已知数列 na满足 ， *nN（）求数列 na的通项公式；（）若 ， ，求证：对任意的 *n， 34nT.
10、【分析】(1)设数列 na的前 项和为 ,nS表示出 1n两式相减得到关于 a的表达式,从而求出 na (2) nb化简之后裂项相消求出 .T（）因为 .因此有相加整理可得： . 所以对任意的 Nn，都有 43nT成立.98.【2019 优选题】数列 na满足 1， 2a， （1） 设 ，证明 nb是等差数列；（2） 求数列 n的通项公式【解析】 （1）由 ，得所以有 ，设数列 ， ，所以数列 nb是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.9.已知在数列 na中， 1， 2a，且 （1）设 ，证明 nb是等比 数列；（2）求数列 n的通项公式.【解析】 （1）证明：由 ，得 ，且 23qa整理得
11、： ，因为数列所以 ，这样就有： 1nqb，由 ，得所以数列 nb是以 1 为首项， 为公比的等比数列.（2 ） 解：由（1）得 ，知数列 na1是以 1 为首项， q为公比的等比数列，所以有： ，10由得： 所以： na1qnN. 10.【2018 优秀题】设正数列 0a， 1， n， a，满足 2na21n= 1a)2(且10a，求数列 1n的和 nS.【模拟考场】1.已知数列 na满足 ，则 na= .11【解析】对递推关系取倒数，得 .即 ，分别用 替换 n，有， ， ， 以上 1n个式子相加，得所以， 【答案】2.数列 na满足， ，写出数列 na的通项公式_【答案】3.数列 na中
12、, ,则数列的前 5 项为_, 猜想它的通项公式是_.【解析】由 可得 ，数列的通项公式为.12由 取倒数或得 ，所以 ，即数列 na1是以12a为首项公差为 1 的等差数列，所以 ，即 .4. 【解析】12na.5数列 na满足 na=0，求数列a n的通项公式。分析：递推式 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项 1na的系数分解成 1 和 2，适当组合，可发现一个等比数列 1n。136.已知 数列 na， 14，且 ，求数列 na的通项 n【解析】将原等式的两边同时除以 12n，得 ，所以有 ，新数列 na是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列， 12na，即 nN7.已
13、知数列 na满足 ， 12a，求 数列 na的通项公式。8.设数列 na的前 项和为 ，（）求 14,（）证明： 12na是等比数列；（）求 na的通项公式【解析】由 得 （1）14知 （2）（2）-（1）得 12na n即 ，两边同除以 12n，得： ，易知： ，又因为 ，所以 则故 na9.已知数列 n中， 651a, ，求通项 na.【解析】由 ，两边同除以 1)2(n即两边同乘以 12n得： 令 nnab2，则 ,解之得： 所以 . 10.设数列 的前 项和为 nS，已知（）证明：当 2b时， 是等比数列；（）求 na的通项公式15当 2b时，由由（1） 两边同除以 1n，得： 令 n
14、c2a，则 ,构造数列 1xn 令 则由待定系数法可知 则 21bx 21bcn构成了以 21bc为首项， 为公比的等比数列。从而 .则 又 12a可解得： 16因此 .11.数列 na的前 项和为 nS， 1a， 207新 疆 奎 屯 wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋 （）求数列 的通项 ；（）求数列 na的前 项和 nT【解析】 （） 12naS， ， 13nS 207新 疆 奎 屯 wxckt16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋 又 ， 数列 n是首项为 1，公比为 的等比数列， 207新 疆 奎 屯 wxck
15、t16.om特 级 教 师hp:/83王 新 敞源 头 学 子 小 屋 当 2n 时， ，12.已知：在数列 na中， ，当 Nn， ,求：通项公式 na.【解析】原递推式可化为： 比较系数得 =-3 或 =-2，不妨取 =-2.式可化为：17则 21na是一个等比数列，首项 12a=2-2（-1）=4，公比为 3. .当 =-3 同理可求得： ，所以有： nN.13.【2019 优选题】在数列 na中， 12， ， *（）证明数列 是等比数列；（）求数列 n的前 项和 nS；（）证明不等式 14 ，对任意 *N皆成立14.设数列 na满足 （ Nn）（1）求数列 的通项公式 na；（2）设 nab，求数列 nb的前 项和 nS.【解析】（1）因为 18当 n2 时， 得：（2）因为 nab319
