1、1专题 29 三角函数 解三角形 3（综合应用）【考点讲解】1、具本目标：1、1.掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 ；2. 能够运用正弦定理与余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.3.考纲解读：利用正弦定理与余弦定理解三 角形或者求解平面几何图形中有关量的问题，需要综合应用两个定理及三角形有关 知识；两个定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查；会利用数学建模思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题.二、知识概述：1.正、余弦定理：正弦定理 余弦定理内容变形形式 2【特别提醒】以三角形和平面向量为载体，三角恒等
2、变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.用正、余弦定理及与三角形有关的内角和定理、边角关系、勾股定理及逆定理等相关定理解决问题时，切记要用准用对相关的公式，会从实际问题中抽象出数学问题，将复杂的图形转化为三角形或者特殊的三角形来解决 是解决平面几何问题的重要想法，希望能通过本节内容的提示，对考生有一定的帮助.一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有
3、角的正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到【真题分析】1.【2018 年浙江卷】在 ABC中，角 ， 所对的边分别为 cba,若，则 sin_， c_【答案】 3721，2.【15 重庆文】设 ABC中的内角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，且 2a， 41cosC，则 c 解决的问题（1）已知两角和任意一边，求另一角和其他两条边；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.（1）已知三边，求各角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3【解析】由正弦定理得 可得 ，由余弦定理可得 所以 4c.【答案】43.【16
4、 海南文理】 ABC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， ，若 54cosA， 13csC，1a，则 b 【解析】由题意可知由正弦定理可得： ，可得 132b.【答案】 1324.【2016 上海文 理】已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】 735.【17 浙江】已知 ABC， ， 2BC，点 D为 AB延长线上一点， 2BD，连结 C，则 BD的面积是 ， 【解析】取 BC中点 E， DC中点 F，由题意： ，4 ABE中， ， ，又 ，综上可得， BCD面积为 152， 【答案】 215， 40. 6.【2017 课标 1，文 11】 ABC
5、的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c已知， a=2， c= 2，则 C=（ ）A12B6C4D3【解析】本题考点 是三角形内角和公式，两角和的正弦公式，辅助角公式及正弦定理的应用.由题意可知 所以有 ，所以原等式可整理成:,也就是：，即 ，因为是三角形 ABC， 所以有43A.由正弦定理得： ，得【答案】 B7.【2018 年理新课标 I卷】在平面四边形 ABCD中， .5BD5（1）求 ADBcos； （2）若（2）由题设及（1）知， .在 BCD中，由余弦定理得所以 .58.【2015 全国新课标 2理】在 ABC中， D是 上的点， A平分 ， A面积是 DC面积的 2倍(
6、) 求 sinBC； ()若 1， 2，求 B和 C的长 【解析】本题考点是三角形的面积公式与正余弦定理的综合应用问题. () ， ，因为 ， ，所以 2ABC由正弦定理可得 ()因为 ，所以 2D在 ABD和 C中，由余弦定理得：， 由()知 2ABC，所以 1A【模拟考场】1.在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 A ， a ， b1，则 c等于( )3 3A1 B26C. 1 D3 3【答案】B2.在 ABC中，角 A， B， C，所对的边分别是 a， b， c，已知 sin(B A)sin( B A)3sin2 A，且 c ， C ，则 ABC的面积是(
7、)73A. B C. D 或334 736 213 334 736【解析】sin( B A)sin BcosAcos BsinA，sin( B A)sin BcosAcos BsinA，sin2 A2sin AcosA，sin(B A)sin( B A)3sin2 A，即 2sinBcosA6sin AcosA.当 cosA0 时， A ， B ，又 c ，得 b .由三角形面积公式知 S bc ；2 6 7 213 12 736当 cosA0 时，由 2sinBcosA6sin AcosA可得 sinB3sin A，根据正弦定理可知 b3 a，再由余弦定理可知 cosC cos ，a2 b2
8、 c22ab a2 9a2 76a2 3 12可得 a1， b3，所以此时三角形的面积为 S absinC .12 334综上可得三角形的面积为 或 ，所以选 D. 736 334【答案】D3.已知 cba,分别为 ABC三个内角 ,的对边， 2a，且 ，则ABC面积的最大值为_ _【 解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，由 2a，且，故 ，又根据正弦定理，得7，化简得， ，故 ，所以 06A，又，故 【答案 】 34.在 ABC中， 120， 2AB， 的角平分线 3AD，则 C 【答案】 6 5.在 ABCD中，内角 ,所对的边分别是 ,abc已知 14ca-
9、=， ，则 cosA的值为_【解析】 代入 14bca-得 2c，由余弦定理得【答案】 14 6.在 ABC 中，内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc ，已知 ABC的面积为 315 ，则 a的值为 .【解析】因为 0A，所以 ，又 ，解方程组 24bc得 6,4c，由余弦定理得8，所以 8a.【答案】 87. ABC 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 （I）求 C；（II）若 的面积为 32，求 ABC 的周长8.在 CA中，角 , , 所对的边分别为 a,b,c，已知 （）求角 的大小；（）如果 3sin， 2b， 求 CA的面积【解析】（） . 0,A 3（）由正弦定理得： 解得： 16c9 0c 16 CA的面积.
