1、1考点测试 62 离散型随机变量及其分布列高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 解 答 题 ， 分 值 为 12分 ， 中 等 难 度考纲研读1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用一、基础小题1已知离散型随机变量 X 的分布列为：X 1 2 3 nP kn kn kn kn则 k 的值为( )A B1 C2 D312答案 B解析 由分布列的性质知 k12袋中装有 10 个红球，5 个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为 X，则
2、表示“放回 5 个球”的事件为( )A X4 B X5 C X6 D X4答案 C解析 第一次取到黑球，则放回 1 个球，第二次取到黑球，则共放回 2 个球，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故 X63设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X0)等于( )A0 B C D12 13 232答案 C解析 设失败率为 p，则成功率为 2p X 的分布列为：X 0 1P p 2p则“ X0”表示试验失败， “X1”表示试验成功，由 p2 p1，得 p ，即 P(X0) 故选 C13 134某人在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位
3、数字两两不同且都大于5，于是他随机拨最后四位数字，设他拨到所要号码时已拨的次数为 ，则随机变量 的所有可能取值的种数为( )A24 B20 C18 D4答案 A解析 由于后四位数字两两不同，且都大于 5，即是 6，7，8，9 四位数字的不同排列，则有 A 24 种45从装有 3 个白球、4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球、1 个红球的概率是( )A B C D435 635 1235 36343答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为 P C23C14C37 12356随机变量 的所有可能的取值为 1，2，3，10，
4、且 P( k) ak(k1，2，10)，则 a 的值为( )A B C110 D551110 155答案 B解析 随机变量 的所有可能的取值为 1，2，3，10，且 P( k) ak(k1，2，10)， a2 a3 a10 a1，55 a1， a 155715 个村庄有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于 的是( )C47C68C1053A P(X2) B P(X2)C P(X4) D P(X4)答案 C解析 X 服从超几何分布，故 P(X k) ， k4Ck7C10 k8C1058已知随机变量 X 的分布列为：
5、P(X k) ， k1，2，则 P(206826，P( 2 X 2 ) P(10X18)(004029011003)209409544，P( 3 X 3 ) P(8X20)(00050040290110030015)209809974，11不满足至少两个不等式成立，该生产线需要检修(2)由(1)知 P( 2 X 2 )094 ，4750任取 1 次是次品的概率为 006 ，350任取 2 件产品得到的次品数 Y 的可能取值为 0，1，2，则 P(Y0) 2 ；4750 22092500P(Y1)C ；124750 350 1411250P(Y2) 2 350 92500 Y 的分布列为Y 0
6、1 2P 22092500 1411250 92500 E(Y)0 1 2 22092500 1411250 92500 325或 E(Y) np2 350 3256(2018湖南湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到结果如表所示：质量(g) 5，15) 15，25) 25，35) 35，45) 45，55数量(只) 6 10 12 8 4(1)若购进这批生蚝 500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个，记质量在5，25)间的生蚝的个数为 X，求
7、 X 的分布列及数学期望解 (1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为(61010201230840450)285(g)，140所以购进 500 kg 生蚝，其数量为 50000028517544(只)12(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在5，25)间的概率为 ，25由题意知 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，P(X0) 4 ，35 81625P(X1)C 1 3 ，142535 216625P(X2)C 2 2 ，242535 216625P(X3)C 3 1 ，342535 96625P(X4) 4 25 16625 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 81625 216
8、625 216625 96625 16625 E(X)0 1 2 3 4 81625 216625 216625 96625 16625 857(2018河南安阳一模)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品 50 天，统计发现每天的销售量 x 分布在50，100)内，且销售量x 的分布频率f(x)Error!(1)求 a 的值并估计销售量的平均数；(2)若销售量大于或等于 70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取 8 天，再从这 8 天中随机抽取 3 天进行统计，设这 3 天来自 X 个组，求随机变量 X 的分布列及数学期望(将频率视
9、为概率)解 (1)由题意知Error!解得 5 n9， n 可取 5，6，7， 8，9，结合 f(x)Error!得 05 05 a a a1，则 a015610 810 520 720 920可知销售量分布在50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100)内的频率分别是 01，01，02，03，03，销售量的平均数为 5501650175028503950381(2)销售量分布在70，80)，80，90)，90，100)内的频率之比为 233，所以在13各组抽取的天数分别为 2，3，3X 的所有可能取值为 1，2，3，P(X1) ，2C38 256 128P(X3) ，
10、233C38 1856 928P(X2)1 128 928 914X 的分布列为X 1 2 3P 128 914 928数学期望 E(X)1 2 3 128 914 928 1678(2018湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测检测得分低于 80 的为不合格品，只能报废回收；得分不低于 80 的为合格品，可以出厂现随机抽取这两种产品各 60 件进行检测，检测结果统计如下：得分 60，70) 70，80) 80，90) 90，100甲种产品的件数 5 10 34 11乙种产品的件数 8 12 31 9(1)试分别估计甲，乙两种产品下
11、生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利 100 元，若是不合格品，则亏损 20 元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利 90 元，若是不合格品，则亏损 15 元在(1)的前提下：记 X 为生产 1 件甲种产品和 1 件乙种产品所获得的总利润，求随机变量 X 的分布列和数学期望；求生产 5 件乙种产品所获得的利润不少于 300 元的概率解 (1)甲种产品为合格品的概率约为 ，4560 34乙种产品为合格品的概率约为 4060 2314(2)随机变量 X 的所有可能取值为 190，85，70，35，且 P(X190) ，34 23 12P(X85) ，34 13 14P(X70) ，14 23 16P(X35) 14 13 112所以随机变量 X 的分布列为X 190 85 70 35P 12 14 16 112所以 E(X) 1251902 854 706 3512设生产的 5 件乙种产品中合格品有 n 件，则不合格品有(5 n)件，依题意得，90 n15(5 n)300，解得 n ，又因为 0 n5，且 n 为整数，所以 n4 或 n5，257设“生产 5 件乙种产品所获得的利润不少于 300 元”为事件 A，则 P(A)C 4 1 5452313 2311224315
