1、1滚动检测七(111 章)(规范卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 120 分钟，满分 150 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 M x|x2 x20， N1,0，则 M N 等于( )A1,0,2 B1C0 D答案 A解析 由题可知： M x|x2 x201,2，故 M N1,0,22已知直线 x2
2、y a0 与圆 O： x2 y22 相交于 A， B 两点( O 为坐标原点)，则“a ”是“ 0”的( )5 OA OB A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 化为 5y24 ay a220， 16 a220( a22)0，解得 0 时 ， 满 足 f(x) Error!则 f(1) f(2) f(3) f(2 020)等 于 ( )Alog 25 Blog 25C2 D0答案 B解析 由已知， f(1)log 25, f(2) f(1) f(1)log 25，f(3) f(0)0，
3、f(4) f(1)log 25，f(5)log 25， f(6)0，f(1) f(2) f(3) f(2020)673(log 25log 250)log 25log 25.4 九章算术中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B.215 320C1 D1215 320答案 C解析 直角三角形的斜边长为 13，52 122设内切圆的半径为 r，则 5 r12 r13，解得 r2，内切圆的面积为 r24，豆子落在其内切
4、圆外部的概率是 P1 1 ，故选 C.412512 2155已知各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 a6,3a4， a5成等差数列，则 等于( )S4S2A3B9C10D13答案 C解析 设各项均为正数的等比数列 an的公比为 q， q0，3满足 a6,3a4， a5成等差数列，6 a4 a6 a5，6 a4 a4(q2 q)， q0， q2 q60， q0，解得 q3，则 10，故选 C.S4S2a134 13 1a132 13 16下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据，根据下表提供的数据，
5、求出 y 关于 x 的线性回归方程为0.7 x0.35，则下列结论错误的是( )y x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5)B产品的生产能耗与产量呈正相关C t 的取值是 3.15D A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨答案 C解析 由 4.5，故 A 正确；又由线性回归的知识可知 D，B 是正确的，故选 C.x1847已知函数 f(x)2 sin ( 0)，若 f(x )是周期为 2 的偶函数，则 3 (3 x 3)的一个可能值是( )A. B. CD. 43 76 56答案 B解析 f(x)2 sin ， f(x )2
6、sin ，由 23 (3 x 3) 3 (3 x 3 3 ) 23得 ，由 f(x )为偶函数得 3 k ， kZ， k1 时，13 3 3 2 ，故选 B.768设 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 Error!目 标 函 数 z 3x 2y 的 最 小 值 为 4， 则 a 的 值 是 ( )A1B0C1D.12答案 C4解析 作出约束条件所对应的可行域如图中阴影部分(包含边界)，由Error! 解得Error! A(a1， a)，目标函数 z3 x2 y 可化为 y x z，32 12平移直线 y x z 可知，32 12当直线经过点 A 时，截距取最大值， z 取最小值，3(
7、a1)2 a4，解得 a1，故选 C.9如图所示的三视图表示的几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的表面积为( )323A12B24C36D48答案 C解析 由三视图可得该几何体为底面边长为 4 和 m，一条侧棱垂直底面的四棱锥，其高为4，则 4m4 ， m2，13 323将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为 R 3, 1242 22 42故这个几何体的外接球的表面积为 4 R236.10已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线与抛物线交于 A， B 两点，且 3 ，抛AF FB 物线的准线 l 与 x 轴交于点 C， AA1 l 于点 A1，若四边形 AA1CF 的面积为
8、12 ，则准线 l3的方程为( )A x B x22 2C x2 D x15答案 A解析 设| BF| m，| AF|3 m， m0，则| AB|4 m， p m， BAA160，32四边形 AA1CF 的面积为 12 ，3 12 ，(32m 3m)3msin602 3 m ， ，423 p2 2准线 l 的方程为 x ，2故选 A.11设 l， m， n 表示不同的直线， ， ， 表示不同的平面，给出下列四个命题：若 m l，且 m ，则 l ；若 m l，且 m ，则 l ；若 l， m， n，则 l m n；若 m， l， n，且 n ，则 l m.其中正确命题的个数是( )A1B2C3
9、D4答案 B解析 正确，中直线 l 与 可能平行也可能在 内，故错；中直线 l， m， n 可能平行还可能相交于一点，故错；正确，故选 B.12已知 A， B 是函数 f(x)Error!(其中常数 a0)图象上的两个动点，点 P(a,0)，若 PA 的最小值为 0，则函数 f(x)的最大值为( )PB A B C D1e2 1e ee2 ee答案 B解析 作出函数 f(x)Error!(其中 a0)图象如图所示，函数 f(x)的图象关于直线 x a 对称，当 x0， b0)的左焦点为 F，离心率为 ，若经过 F 和 P(0,4)两点x2a2 y2b2 2的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲
10、线的方程为_答案 1x28 y28解析 设双曲线的左焦点 F( c,0)，离心率 e ， c a，ca 2 2则双曲线为等轴双曲线，即 a b，双曲线的渐近线方程为 y x x，ba则经过 F 和 P(0,4)两点的直线的斜率 k 1，4 00 c 4c c4， a b2 ，2双曲线的标准方程为 1.x28 y2815已知三棱锥 A BCD 中， AB3， AD1， BC4， BD2 ，当三棱锥 A BCD 的体积最2大时，其外接球的体积为_7答案 1256解析 当 BC平面 ABD 时，三棱锥的体积最大，由于 AB3， AD1， BC4， DB2 ，2 BD2 AD2 AB2，则 ABD 为
11、直角三角形，三棱锥 A BCD 的外接球就是以 AD， BD， BC 为棱的长方体的外接球，长方体的体对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为 r，则(2 r)24 2(2 )21，解得 r ，252球体的体积为 V 3 .43 (52) 125616数列 an满足 a11，且对任意的 m， nN *都有 am n am an mn，则 1a1 1a2_.1a2020答案 40402021解析 对任意的 m， nN *，都有 am n am an mn，且 a11，令 m1 代入得，都有 an1 a1 an n，则 an1 an n1， n2 时， a2 a12， a3 a23， an an1
12、 n，以上 n1 个式子相加可得， an a1234 n ，n 1n 22则 an a1 (n1)( n2) n(n1)( n2)，12 12当 n1 时，符合上式， 2 ，1an 2nn 1 (1n 1n 1) 2Error!Error!2 .1a1 1a2 1a2020 (1 12021) 40402021三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)已知等差数列 an的首项为 a1，公差为 d(a1Z， dZ)，前 n 项的和为 Sn，且8S749,240)的焦点为 F，过点 F 垂直于 x 轴的直线与抛物线 C相交于 A， B 两点，
13、抛物线 C 在 A， B 两点处的切线及直线 AB 所围成的三角形面积为 4.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设 M， N 是抛物线 C 上异于原点 O 的两个动点，且满足 kOMkON kOAkOB，求 OMN 面积的取值范围解 (1)不妨设 A ， B ，(p2， p) (p2， p)过 A 点切线斜率存在，设为 k(k0)，则切线方程为 y p k ，代入 y22 px，(xp2)消去 x 得 ky22 py(2 k)p20， 4 p24 k(2 k)p20，解得 k1，抛物线 C 在 A 处的切线斜率为 1，由抛物线 C 的对称性，知抛物线 C 在 B 处的切线斜率为1，抛物线在 A
14、 处的切线方程为 y p x ，p2令 y0，得 x ，p2 S 2pp4，解得 p2.12抛物线 C 的方程为 y24 x.(2)由已知可得 kOAkOB4, 设 M ， N (y1y20)，(14y21， y1) (14y2， y2)则 kOMkON 4， y1y24.y1y2116y21y2令直线 MN 的方程为 x ty n，联立方程组Error!消去 x 得 y24 ty4 n0, 则 y1y24 n， y1 y24 t， y1y24， n1.直线 MN 过定点(1,0)， S OMN |y1 y2|12 12y1 y22 4y1y212 2 .1216t2 16 t2 1 t20，
15、 S OMN2.综上所知， OMN 面积的取值范围是2，)22(12 分)已知函数 f(x)( x1)ln x a(x1)(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时， f(x)0，求 a 的取值范围解 (1) f(x)的定义域为(0，)当 a4 时，f(x)( x1)ln x4( x1)， f( x)ln x 3，1xf(1)2， f(1)0.曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 2x y20.(2)当 x(1，)时， f(x)0 等价于 lnx 0.ax 1x 1设 g(x)ln x ，ax 1x 1则 g( x) ， g(1)0，1x 2ax 12 x2 21 ax 1xx 12当 a 2， x (1， )时 ， x2 2(1 a)x 1 x2 2x 10， 故 g (x)0， 此 时 g(x)在(1， )上 单调递增，因此 g(x)0；当 a2 时，令 g( x)0 得x1 a1 ， x2 a1 .a 12 1 a 12 1由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1， x2)时， g( x)0， g(x)在(1， x2)上单调递减，因此 g(x)0，不符合题意综上， a 的取值范围是(，213
