1、11.2.1 函数的概念课后篇巩固提升基础巩固1.函数 f(x)= 的定义域是( )x+1x-1A.-1,1) B.-1,1)(1, + )C.-1,+ ) D.(1,+ )解析 由 x+1 0,x-1 0,解得 x -1,且 x1 .答案 B2.已知 M=x|-2 x2, N=y|0 y2,函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以是( )解析 A项中函数的定义域为 -2,0,C项中对任一 x都有两个 y值与之对应,D 项中函数的值域不是0,2,均不是函数 f(x)的图象 .故选 B.答案 B3.(2018山东青岛二中高一期中)下列四个函数: y=x+ 1;y=x- 1
2、;y=x 2-1;y= ,其中定义域与值1x域相同的是( )A. B.C. D.解析 y=x+ 1,定义域为 R,值域为 R,y=x- 1,定义域为 R,值域为 R,y=x 2-1,定义域为 R,值域为 -1,+ ),y= ,定义域为( - ,0)(0, + ),值域为( - ,0)(0, + ),故 的定义域与值域相1x同 .答案 B4.已知等腰三角形 ABC的周长为 10,且底边长 y关于腰长 x的函数关系式为 y=10-2x,则此函数的定义域为 ( )A.R B.x|x02C.x|00,x10-2x,x .52故此函数的定义域为 .x|52x5答案 D5.若函数 y=f(x)的定义域是0
3、,2,则函数 g(x)= 的定义域是( )f(2x)x-1A.0,1)(1,2 B.0,1)(1,4C.0,1) D.(1,4解析 由题意,得 即 0 x1.0 2x 2,x-1 0,答案 C6.函数 f(x)=x2-2x,x -2,-1,0,1的值域为 . 解析 因为 f(-2)=(-2)2-(-2)=6,f(-1)=(-1)2-2(-1)=3,f(0)=02-20=0,f(1)=12-21=-1.所以f(x)的值域为6,3,0, -1.答案 6,3,0,-17.若函数 f(x)满足 f(2x-1)=x+1,则 f(3)= . 解析 令 2x-1=3,则 x=2,故 f(3)=2+1=3.答
4、案 38.若函数 f(x)=ax2-1,a为正常数,且 f(f(-1)=-1,则 a的值是 . 解析 f (-1)=a(-1)2-1=a-1,f(f(-1)=a(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.a 3-2a2+a=0,a= 1或a=0(舍去) .故 a=1.答案 19.求函数 y= 的定义域,并用区间表示 .x+26-2x-1解 要使函数有意义,则 解得x+2 0,6-2x 0,6-2x 1, x -2,x 3,x 52, 即 -2 x3,且 x .52故函数的定义域为 ,x|-2 x 3,且 x523用区间表示为 .-2,52) (52,310.已知函数 f(x)= .1+x21
5、-x2(1)求 f(x)的定义域;(2)若 f(a)=2,求 a的值;(3)求证: f =-f(x).(1x)(1)解 要使函数 f(x)= 有意义,只需 1-x20,解得 x 1,所以函数的定义域为 x|x 1.1+x21-x2(2)解 因为 f(x)= ,且 f(a)=2,1+x21-x2所以 f(a)= =2,即 a2= ,解得 a= .1+a21-a2 13 33(3)证明 由已知得 f ,(1x)=1+(1x)21-(1x)2=x2+1x2-1-f(x)=- ,所以 f =-f(x).1+x21-x2=x2+1x2-1 (1x)能力提升1.下列对应关系是从 A到 B的函数的个数为(
6、)(1)A=-1,1,B=0,f:x y=0;(2)A=1,2,3,B=甲,乙,对应关系如图 所示;(3)A=1,2,3,B=4,5,6,对应关系如图 所示 .A.1 B.2 C.3 D.0解析 (1)对于集合 A中的任意一个实数 x,按照对应关系 f:x y=0,在集合 B中都有唯一确定的数 0与它对应,故是集合 A到集合 B的函数;(2)集合 B不是数集,故不是 A到 B的函数;(3)集合 A中的元素 3在 B中没有对应元素,且 A中的元素 2在 B中有两个元素 5和 6与之对应,故不是 A到 B的函数 .综上可知,对应关系(1)是从 A到 B的函数,故选 A.答案 A2.若一系列函数的解
7、析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为 y=2x2+1,值域为9的“孪生函数”有三个:y= 2x2+1,x -2;y= 2x2+1,x2; y= 2x2+1,x -2,2.4那么函数解析式为 y=2x2+1,值域为1,5的“孪生函数”共有( )A.5个 B.4个C.3个 D.2个解析 y=2x2+1,值域为1,5的孪生函数,分别为: y= 2x2+1,x0, ;y= 2x2+1,x0, - ;2 2y= 2x2+1,x0, ,- 共 3个,故选 C.2 2答案 C3.若 f(x)= ,且 f(a)=2,则 a= . 5xx2+1解析 由 f(a)= =2,得
8、 2a2-5a+2=0,5aa2+1解得 a= 或 a=2.12答案 或 2124.已知函数 y=f(2x+1)的定义域为1,2,则函数 y=f(2x-1)的定义域为 . 解析 因为函数 y=f(2x+1)的定义域为1,2,即 1 x2,所以 32 x+15 .所以函数 y=f(x)的定义域为3,5 .由 32 x-15,得 2 x3,所以函数 y=f(2x-1)的定义域为2,3 .答案 2,35.(1)y= 的值域为 . 2x+1x-3(2)y=2x- 的值域为 . x-1解析 (1)(分离常数法) y= =2+ ,显然 0,故 y2 .2x+1x-3=2(x-3)+7x-3 7x-3 7x
9、-3故函数的值域为( - ,2)(2, + ).(2)(换元法)令 t= ,则 x=t2+1,且 t0,x-1y= 2(t2+1)-t=2 .(t-14)2+158由 t0,再结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为 .158,+ )答案 (1)(- ,2)(2, + ) (2)158,+ )56.已知函数 f(x)=x2-2x,x0, b,且该函数的值域为 -1,3,求 b的值 .解 作出函数 f(x)=x2-2x(x0)的图象如图所示 .由图象结合值域 -1,3可知,区间右端点 b必为函数最大值 3的对应点的横坐标 .所以 f(b)=3,即 b2-2b=3,解得 b=-1或 b=3.又
10、 -10,b,所以 b=3.7.已知函数 f(x)= .x2x2+1(1)求 f(1),f(2)+f 的值;(12)(2)证明: f(x)+f 等于定值;(1x)(3)求 f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)+f +f +f 的值 .(12) (13) ( 12 019)(1)解 f(1)= ;1212+1=12f(2)= ,f ,2222+1=45 (12)= (12)2(12)2+1=15所以 f(2)+f =1.(12)=45+15(2)证明 f ,(1x)= (1x)2(1x)2+1= 1x2+1所以 f(x)+f =1,为定值 .(1x)= x2x2+1+ 1x2+1(3)
11、解 由(2)知, f(x)+f =1.(1x)所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)+f +f +f(12) (13) ( 12 019)=f(1)+ f(2)+f + f(3)+f + f(2 019)+f = .(12) (13) ( 12 019) 12+1+1+12 018 =4 03728.若函数 f(x)= 的定义域为 R,求 m的取值范围 .3x-1mx2+mx+3解 要使原函数有意义,必须 mx2+mx+30 .由于函数的定义域是 R,故 mx2+mx+30 对一切实数 x恒成立 . 当 m=0时,30 恒成立,故 m=0满足条件;6 当 m0 时,有 =m 2-12m0,解得 0m12.故由 可知 m的取值范围是0,12) .
