1、,教材链接高考导数在不等式中的应用,教材探究(选修22P32习题1.3B组第1题(3)(4) 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证. (3)ex1x(x0)； (4)ln x0). 试题评析 1.问题源于求曲线yex在(0，1)处的切线及曲线yln x在(1，0)处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)exx1与g(x)xln x1对以上结论进行证明.,2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“ln x”替换“x”，立刻得到x1ln x(x0且x1)，进而得到一组重要的不等式链：exx1x1ln x(x
2、0且x1). 3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.,【教材拓展】 试证明：exln x2.,证明 法一 设f(x)exln x(x0)，,所以(x)在(0，)单调递增，,所以当xx0时，f(x)0；当0xx0时，f(x)0. f(x)exln x在xx0处有极小值，也是最小值.,故exln x2. 法二 注意到ex1x(当且仅当x0时取等号)， x1ln x(当且仅当x1时取等号)， exx11xln x，故exln x2.,【链接高考】 (2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.,(1)讨论f(x)的单调性；,(1)解 f(x)的定义域为(0，)，,若a
3、0时，则当x(0，)时，f(x)0， 故f(x)在(0，)上单调递增，,当x(0，1)时，g(x)0；x(1，)时，g(x)0.,所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减. 故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)0. 所以当x0时，g(x)0，,教你如何审题利用导数研究函数的零点 【例题】 (2018全国卷)已知函数f(x)exax2.(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a.,审题路线,自主解答,(1)证明 当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex2x. 令g(x)f(x)，则g(x)ex2. 令g(x)0，解得xln
4、 2. 当x(0，ln 2)时，g(x)0. 当x0时，g(x)g(ln 2)22ln 20， f(x)在0，)上单调递增，f(x)f(0)1.,(2)解 若f(x)在(0，)上只有一个零点，即方程exax20在(0，)上只有一个解，,令(x)0，解得x2. 当x(0，2)时，(x)0.,探究提高 1.利用导数研究函数的零点主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养.考查的主要形式：(1)求函数的零点、图象交点的个数；(2)根据函数的零点个数求参数的取值或范围. 2.导数研究函数的零点常用方法：(1)研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理来求解零点问题；(2)将函数零点问
5、题转化为方程根的问题，从而同解变形为两个函数图象的交点，运用函数的图象性质求解.,【尝试训练】 已知三次函数f(x)x3bx2cxd(a，b，cR)过点(3，0)，且函数f(x)在点(0，f(0)处的切线恰好是直线y0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)9xm1，若函数yf(x)g(x)在区间2，1上有两个零点，求实数m的取值范围.,解 (1)f(x)3x22bxc，由已知条件得，,所以f(x)x33x2.,(2)由已知条件得，f(x)g(x)x33x29xm1在2，1上有两个不同的零点，可转化为ym与yx33x29x1的图象有两个不同的交点； 令h(x)x33x29x1， h
6、(x)3x26x9，x2，1， 令h(x)0得2x1；令h(x)0得1x1. 所以h(x)maxh(1)6， 又f(2)1，f(1)10，所以h(x)min10. 数形结合，可知要使ym与yx33x29x1的图象有两个不同的交点， 则1m6. 故实数m的取值范围是1，6).,满分答题示范利用导数研究函数的性质,规范解答,高考状元满分心得 得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”、求得满分.如第(1)问中求定义域，求导，第(2)问中求零点和列表. 得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分如第(2)问中，对f(x)0的判断. 得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证.如第(1)问中
7、求导准确变形到位；第(2)问中规范列表，正确计算出f(x)的最值.,构建模板,(1)试讨论函数f(x)的单调性； (2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，且x2x1，设tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)，试证明t0.,()若a2，则f(x)0， 当且仅当a2，x1时f(x)0， 所以f(x)在(0，)上单调递减.,(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2. 由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21.,又因x2x10，所以x21. 又tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2),由第(1)问知，(x)在(1，)单调递减，且(1)0， 从而当x(1，)时，(x)0.,
