1、1“212”压轴满分练(三)1已知函数 f(x) 2 kln x kx，若 x2 是函数 f(x)的唯一极值点，则实数 k 的exx2取值范围是( )A. B ( ，e24C(0,2 D2，)解析：选 A 由题意可得 f( x) ， x0，ex x 2x3 k 2 xx x 2 ex kx2x3令 f( x)0，得 x2 或 ex kx2(x0)，由 x2 是函数 f(x)的唯一极值点知 ex kx2(x0)恒成立或 ex kx2(x0)恒成立，由ye x(x0)和 y kx2(x0)的图象可知，只能是 ex kx2(x0)恒成立法一：由 x0 知，e x kx2，则 k ，exx2设 g(x
2、) ，则 k g(x)min.exx2由 g( x) ，得当 x2 时， g( x)0， g(x)单调递增；当 00)恒成立，则 ye x(x0)的图象在 y kx2(x0)的图象的上方(含相切)，若 k0，易知满足题意；若 k0，设 ye x(x0)与 y kx2(x0)的图象在点( x0， y0)处有相同的切线，则Error! 解得Error!数形结合可知，0as1 .已知“有增有减”数列 an共 4 项，若 ai x， y， z(i1,2,3,4)，且 x0)的焦点为 F，准线为 l.已知以 F 为圆心，半径为 4 的圆与 l 交于 A， B 两点， E 是该圆与抛物线 C 的一个交点，
3、 EAB90.(1)求 p 的值；(2)已知点 P 的纵坐标为1 且在抛物线 C 上， Q， R 是抛物线 C 上异于点 P 的两点，且满足直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为1，试问直线 QR 是否经过一定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由解：(1)连接 AF， EF，由题意及抛物线的定义，得| AF| EF| AE|4，即 AEF 是边长为 4 的正三角形，所以 FAE60，设准线 l 与 x 轴交于点 D，在 Rt ADF 中， FAD30，所以 p| DF| |AF| 42.12 12(2)由题意知直线 QR 的斜率不为 0，设直线 QR 的方程为 x my t，点 Q(x1
4、， y1)，R(x2， y2)由Error! 得 y24 my4 t0，则 16 m216 t0， y1 y24 m， y1y24 t.又点 P， Q 在抛物线 C 上，所以 kPQ ，yP y1xP x1 yP y1y2P4 y214 4yP y1 4y1 1同理可得 kPR .因为 kPQ kPR1，4y2 14所以 4y1 1 4y2 1 4 y1 y2 8y1y2 y1 y2 1 1，16m 8 4t 4m 1则 t3 m .74由Error!解得 m (1，)，( ， 72) (12， 1)所以直线 QR 的方程为 x m(y3) ，74则直线 QR 过定点 .(74， 3)5已知函
5、数 f(x)e 2x(x3 ax4 xcos x1)， g(x)e x m(x1)(1)当 m1 时，求函数 g(x)的极值；(2)若 a ，证明：当 x(0,1)时， f(x)x1.72解：(1)由题意可知 g( x)e x m，当 m1 时，由 g( x)0 得 xln m，由 xln m 得 g( x)0， g(x)单调递增；由 xx1，即证 x3 ax4 xcos x1 .x 1e2x由(1)得，当 m1 时， g(x)e x( x1)0，即 ex x1，所以 e2x( x1) 2，所以 x3 ax4 xcos x1 x3 ax4 xcos x 1e2x 1x 1x x，xx 1令 h(x) x24cos x a ，1x 1则 h( x)2 x4sin x ，1 x 1 2令 I(x)2 x4sin x，5则 I( x)24cos x2(12cos x)，当 x(0,1)时，cos xcos 1cos ， 3 12所以 12cos xh(1) a 4cos 1，32因为 4cos 14cos 2，而 a ， 3 72所以 a 4cos 10，所以当 x(0,1)时， h(x)0，32所以 x3 ax4 xcos x1 成立，x 1e2x所以当 x(0,1)时， f(x)x1 成立
