1、- 1 -第七中学 2019届高三一诊模拟考试数学（理）试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若随机变量 ，且 ，则 （ ）A. 0.6 B. 0.5C. 0.4 D. 0.3【答案】A【解析】【分析】根据随机变量 X服从正态分布 N（3， 2） ，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴 x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果【详解】随机变量 X服从正态分布 N（3， 2） ，对称轴是 x=3P（X5）=0.2，P（1X5）=12P（X5）=10.4=0.6故选：A【点睛
2、】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为 x=，并在 x= 时取最大值 从 x= 点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近 x轴，但永不与 x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以 x轴为渐近线的2.函数 的图象大致是（ ）A. B. - 2 -C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断【详解】因为 满足偶函数 f（x）=f（x）的定义，所以函数 为偶函数，其图象关于 y轴对称，故排除 B，又 x=0时，y=0，排除 A、C，故选 D.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇
3、偶性和函数的单调性来排除，属于基础题3.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】B- 3 -【解析】【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案【详解】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖） 其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同
4、一个圆柱的侧面上，俯视图是有 2条对角线且为实线的正方形，故选：B【点睛】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考查了空间想象能力，属于中档题4.设 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为（ ）A. 1 B. -1 C. -2 D. 2【答案】C【解析】【分析】令 z=a+bi(a,b ，将其代入 ，化简即可得出【详解】令 z=a+bi，代入 ，（a-1+bi） = a+3+bi， ,，故选 C.【点睛】本题考查了复数相等的概念及运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题5.执行下边的算法程序，若输出的结果为 120，则横线处应填入（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】C【解析
5、】【分析】由题意知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果【详解】模拟执行算法程序，可得：S=1，k=1，不满足条件，S=1，k=2，不满足条件，S=2，k=3，不满足条件，S=6，k=4，不满足条件，S=24，k=5，不满足条件，S=120，k=6，此时 i满足条件，退出循环，输出 S的值为 120；所以横线处应填写的条件为 ，故选 C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，属于直到型循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6.设实数 满足 ，则 的最大值是（ ）A. -1 B. C. 1 D. 【
6、答案】D- 5 -【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由 的几何意义，即可行域内的动点与定点 P（0，-1）连线的斜率求得答案【详解】由约束条件 ，作出可行域如图，联立 ，解得 A（ ） ，的几何意义为可行域内的动点与定点 P（0，-1）连线的斜率，由图可知， 最大故答案为： 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型7.“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可判断出结论- 6 -【详解】 ab0 ，但满足 的如 a=-2,b=-1不能得到 ，故
7、“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选 A.【点睛】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.函数 的图象的一条对称轴方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得 f（x）= sin（2x+ ）- 再根据正弦函数对称轴的公式，求出 f（x）图象的对称轴方程.【详解】f（x）= =sinx= sin2x- = sin2x+ - = sin（2x+ ）- ，f（x）= sin（2x+ ）- ，令 2x+ = (k ,解得 x= (k ,k=0时， ，故选 B.【点睛】本题考查了三角函数的化简与
8、三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式和二倍角公式，属于中档题9.将多项式 分解因式得 ， 为常数，若 ，则 （ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】- 7 -由 可得 =5m-2=-7, m=-1，.【详解】因为 的通项公式为 ， =x +（-2） =(5m-2) ，=5m-2，又 ， 5m-2=-7, m=-1,=2，故选 D.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.已知正三棱锥的高为 6，侧面与底面成 的二面角，则其内切球（与四个面都相切）的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点 P作
9、 PD平面 ABC于 D，连结并延长 AD交 BC于 E，连结 PE，ABC 是正三角形，AE 是BC边上的高和中线，D 为ABC 的中心由此能求出棱锥的全面积，再求出棱锥的体积，设球的半径为 r，以球心 O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，利用等体积能求出球的表面积【详解】如图，过点 P作 PD平面 ABC于 D，连结并延长 AD交 BC于 E，连结 PE，ABC 是正三角形，AE 是 BC边上的高和中线，D 为ABC 的中心 为侧面与底面所成的二面角的平面角， =PD=6，DE=2 ,PE=4 , AB=12, S ABC = （12） 2=36 ，S PAB =SPB
10、C =SPCA = =24 S 表 =108 .设球的半径为 r，以球心 O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，PD=6，V PABC = 36 6=72 - 8 -则由等体积可得 r= =2，S 球 =42 2=16故选 B.【点睛】本题考查棱锥的内切球的半径的求法，棱锥全面积和体积的求法，考查球的表面积公式，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养11.设 分别是 的内角 的对边，已知 ，设 是边 的中点，且 的面积为 ，则 等于（ ）A. 2 B. 4 C. -4 D. -2【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理可得 由正弦定理可得 b2+c2a 2=bc，由余
11、弦定理可得 cosA= ，结合范围 A（0，）可得 A的值，结合 的面积求得 bc,将利用向量加减法运算转化为 ,即可求得结果.【详解】 ， ，由正弦定理可得： ，整理可得：b 2+c2a 2=-bc，由余弦定理可得：cosA= ，由 A（0，） ，可得：A= ，又 的面积为 ，即,bc=4,又 = - = - = -= = =-bccosA=2.- 9 -故选 A.【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题12.如果 不是等差数列，但若 ，使得 ，那么称 为“局部等差”数列.已知数列 的项数为 4，
12、记事件 ：集合 ，事件 ： 为“局部等差”数列，则条件概率 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出事件 与事件 的基本事件的个数，用 = 计算结果.【详解】由题意知，事件 共有 =120个基本事件，事件 “局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含 1，2，3 的局部等差的分别为 1，2，3，5 和 5，1，2，3 和 4，1，2，3 共 3个，含 3，2，1 的局部等差数列的同理也有 3个，共 6个.含 3，4，5 的和含 5，4，3 的与上述（1）相同，也有 6个.含 2，3，4 的有 5，2，3，4 和 2，3，4，1 共 2 个，含 4，3，2 的同理
13、也有 2个.含 1，3，5 的有 1，3，5，2 和 2，1，3，5 和 4，1，3，5 和 1，3，5，4 共 4个，含 5，3，1 的也有上述 4个，共 24个，= .故选 C.【点睛】本题主要考查了条件概率的求法，综合运用了等差数列与集合的知识，理解题意是解决此类题的关键.二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.13.某学校初中部共 120名教师，高中部共 180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有 6人，则工会代表中男教师的总人数为_.- 10 -【答案】12【解析】【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男教师的总人数【详解
14、】高中部女教师与高中部男教师比例为 2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有 6人，则男教师有 9人，工会代表中高中部教师共有 15人，又初中部与高中部总人数比例为 2：3，工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为 2：3，工会代表中初中部教师总人数为 10，又初中部女教师与高中部男教师比例为 7：3，工会代表中初中部男教师的总人数为 1030%=3； 工会代表中男教师的总人数为 9+3=12，故答案为 12【点睛】本题考查对分层抽样的定义的理解，考查识图能力与分析数据的能力，考查学生的计算能力，比较基础14.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上，且 ，若
15、，则 的值（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】过 M向准线 l作垂线，垂足为 M，根据已知条件，结合抛物线的定义得 = = ，即可得出结论- 11 -【详解】过 M向准线 l作垂线，垂足为 M，根据已知条件，结合抛物线的定义得= = ，又 |MM|=4，又|FF|=6， = = ， .故选：D【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.设 ， ， 为自然对数的底数，若 ，则 的最小值是_.【答案】【解析】【分析】运算 =1，将 变形 ，利用分母的和为定值，将 乘以 ，利用基本不等式即可求得结果.【详解】 = 1
16、， .故答案为 .【点睛】本题考查了“乘 1法”与基本不等式的性质，考查了微积分基本定理，积分的运算，- 12 -属于中档题16.若函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可将函数 有三个不同的零点转化为函数 y=a与 有三个不同的交点，结合图象求出实数 a的取值范围【详解】由题意可将函数 有三个不同的零点转化为函数 y=a与 有三个不同的交点，如图所示：当 时， 的图象易得，当 时，函数 g(x)= ， = =0，x=1,在区间(0，1)上单调递减，在区间(1， )上单调递增，如图所示：有三个不同的交点， a4故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的零点与方
17、程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17.正项等比数列 中，已知 ， .- 13 -求 的前 项和 ；对于 中的 ，设 ，且 ，求数列 的通项公式.【答案】 【解析】【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出 a1=1，q=2，由此能求出a n的前 项和 （2）由 ，直接利用累加法求出b n的通项【详解】 设正项等比数列 的公比为 ，则由 及 得 ，化简得 ，解得 或 （舍去）.于是 ，所以 ， .由已知 ，
18、，所以当 时，由累加法得，.又 也适合上式，所以 的通项公式为 ， .【点睛】本题考查数列通项公式、数列的前 n项和的求法，考查累加法求通项等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18.“黄梅时节家家雨” “梅雨如烟暝村树” “梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续 25天左右的梅雨季节，如图是江南 镇 20092018 年梅雨季节的降雨量（单位： ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：- 14 -“梅实初黄暮雨深”.假设每年的梅雨天气相互独立，求 镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 350mm的概率；“江南
19、梅雨无限愁”.在 镇承包了 20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为 28万元.而乙品种杨梅的亩产量 （ /亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为 （元/ ） ，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使利润 （万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量亩产量 500 700 600 400【答案】 乙【解析】【分析】由频率分布直方图可求出降雨量超过 的概率，利用独立重复试验的概率公式计算三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率.根据题意，列出随机变量 （万元）的分布列并求期望，与甲品种的平均值作比较得出结论.【详
20、解】 频率分布直方图中第四组的频率为 . 江南 地区在梅雨季节时降雨量超过 的概率为 .所以 地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 的概率为- 15 -（或 0.15625）.根据题意，总利润为 （元） ，其中 .所以随机变量 （万元）的分布列如下表.27 35 31.2 22.40.2 0.4 0.3 0.1故总利润 （万元）的数学期望（万元）.因为 3128，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望的求法，考查计算能力19.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .求椭圆的标准方程；设 为椭圆的中线，点 ，过点 的动
21、直线 交椭圆于另一点 ，直线 上的点满足，求直线 与 的交点 的轨迹方程.【答案】 【解析】【分析】（1）利用椭圆 C： 的离心率为 ，且经过点 M（2，0） ，可求椭圆的几何- 16 -量，从而可求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得 B点坐标，结合 求出 C的坐标，写出 BD、OC 的直线方程，利用消参法求轨迹.【详解】 因为椭圆的离心率 ，且 ，所以 . 又 .故椭圆的标准方程为 .设直线 的方程为 （当 存在时，由题意 ） ，代入 ，并整理得.解得 ，于是 ，即 .设 ，则 .由已知得 ，得 ，解得 ，于是 .又 ，由 两点的坐标可得直线 的方程为 .又由点 坐标
22、可得直线 的方程为 .两式相乘，消去参数 得 .（如果只求出交点 的坐标，此步不得分）又当 不存在时， 四点重合，此时 也满足题意.故直线 与 的交点的轨迹方程 .【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，正确运用韦达定理是关键20.如图，在多面体 中， 和 交于一点，除 以外的其余各棱长均为 2.- 17 -作平面 与平面 的交线 ，并写出作法及理由；求证：平面 平面 ；若多面体的体积为 2，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 见解析 见解析 【解析】【分析】由题意可得 平面 ，由线面平行的性质作出交线即可.取 的中点 ，连结 ， .由条件可证得 平面
23、，故 .又 . 平面 .从而平面 平面 .利用等体积法求得三棱锥 的高，通过建立空间坐标系，利用空间向量法求线面角.【详解】 过点 作 （或 ）的平行线，即为所求直线 .和 交于一点， 四点共面.又 四边形 边长均相等.四边形 为菱形，从而 .又 平面 ，且 平面 ， 平面 .平面 ，且平面 平面 ， .取 的中点 ，连结 ， . ， ， ， .又 ， 平面 ， 平面 ，故 .又 四边形 为菱形， .又 ， 平面 .又 平面 ， 平面 平面 .由 ，即 .设三棱锥 的高为 ，则 ，解得 .- 18 -又 ， 平面 .建立如图的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， .， .由 得，平面 的一个法向量
24、为 .又 ，于是 .故直线 与平面 所成角的正弦值为 .【点睛】本题考查证明线面平行的方法，求二面角的大小，找出二面角的平面角是解题的关键和难点21.已知函数 ，其中 为常数.若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 的值；若对 ，都有 ，求 的取值范围.【答案】 【解析】【分析】（1）求出切点坐标，写出切线方程，利用切线在两坐标轴上的截距相等，求得 a即可（2）对 a分类讨论，易判断当 或当 时， 在区间 内是单调的，根据单调性得出结论，当 时， 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减， 故，又因为 ， 成立.而 的最大值为- 19 -，将最大值构造新函数，通过导函数的符号判断函数的单
25、调性求解函数的最值，然后求解结果【详解】 求导得 ，所以 .又 ，所以曲线 在 处的切线方程为 .由切线在两坐标轴上的截距相等，得 ，解得 即为所求.对 ， ，所以 在 区间内单调递减.当 时， ，所以 在区间 内单调递减，故 ，由恒成立，得 ，这与 矛盾，故舍去.当 时， ，所以 在区间 内单调递增，故 ，即，由 恒成立得 ，结合 得 .当 时，因为 ， ，且 在 区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一 ，使得 ，且 在区间 内单调递增，在区间内单调递减.故 ，由 恒成立知， ， ，所以 .又 的最大值为 ，由 得 ，所以 .设 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，于是 ，即 .所以不
26、等式 恒成立.综上所述，所求 的取值范围是 .【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，构造新函数以及二次导数是解决函数恒成立问题常用的方法，考查转化思想以及计算能力请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数标方程为 （其中 为参数） ，在以 为极点、 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线 的极坐标方- 20 -程为 .求曲线 的极坐标方程；求直线 与曲线 的公共点 的极坐标.【答案】 【解析】【分析】（1）先将曲线 C的参数标方
27、程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；（2）将 与 的极坐标方程联立，求出直线 l与曲线 C的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标【详解】 消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程 .将 ， 代入 ，得 .所以曲线 的极坐标方程为 .将 与 的极坐标方程联立，消去 得 .展开得 .因为 ，所以 .于是方程的解为 ，即 .代入 可得 ，所以点 的极坐标为 .【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力选修 4-5：不等式选讲23.已知函数 ，且 .若 ，求 的最小值；若 ，求证： .【答案】 见解析【解析】- 21 -【分析】由柯西不等式将 中的 变为 ，求得 的最小值.因为 ，又 ，故 再结合绝对值三角不等式证得结论成立.【详解】 由柯西不等式得， （当且仅当 时取等号） ，所以 ，即 的最小值为 ；因为 ，所以，故结论成立.【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.- 22 -
