1、1北京市西城区 2019 届高三数学上学期期末考试试题 文一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）1.已知集合 ， ，那么 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【详解】解：集合 A x|x2 k， kZ，B x|x25 x| ， A B2，0，2故选： B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【详解】解：解
2、：根据题意，依次分析选项：对于 A， y x2+2x 为二次函数，其对称轴为 x1，不是偶函数，不符合题意；对于 B， y x3，是奇函数，不符合题意；对于 C， y ln|x| ，是偶函数又在区间（0，+）上单调递增，符合题意；对于 D， ycos x 为偶函数，在区间（0，+）上不是单调函数，不符合题意，故选： C2【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA底面 ABCD，PA=2，底面是一个
3、直角梯形，其中BCAD，ABAD，BC=AB=1，AD=2即可得出【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA底面 ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中 BCAD，ABAD，BC=AB=1，AD=2可知其最长棱长为 PD 2 故选：C【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，考查空间想象能力，属于基础题34.设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+3y 的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由 x， y 满足约束条件 作出可行域如
4、图，联立 ，解得 A（2，1） ，化目标函数 z x+3y 为 y ，由图可知，当直线 y 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为1故选： A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题5.执行如图所示的程序框图，若输入的 m=1，则输出数据的总个数为（ ）4A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：模拟程序的运行，可得： m=1 满足条件 m（0，100） ，执行循环体，n=3，输出
5、n 的值为 3，m=3 满足条件 m（0，100） ，执行循环体，n=7，输出 n 的值为 7，m=7 满足条件 m（0，100） ，执行循环体，n=15，输出 n 的值为 15，m=15 满足条件 m（0，100） ，执行循环体，n=31，输出 n 的值为 31，m=31 满足条件 m（0，100） ，执行循环体，n=63，输出 n 的值为 63，m=63 满足条件 m（0，100） ，执行循环体，n=127，输出 n 的值为 127，m=127 此时，不满足条件 m（0，100） ，退出循环，结束 可得输出数据的总个数为 6故选： B【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框
6、图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题6.设数列 是等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）5A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 时，虽然有 ，但是数列 不是递增数列，所以不充分；反之当数列 是递增数列时，则必有 ，因此是必要条件，应选答案 B。点睛：解答本题时，充分借助题设条件，先运用充分条件的定义进行判断，借助反例说明其不是充分条件，进而确定其逆命题是真命题，从而说明是必要条件，进而说明是必要不充分条件，选出正确答案。7.设，是不共线的两个平面向量，已知 ， 若 P， Q， R 三点共线，则实数 k 的值为（ ）
7、A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得出 ，而 P， Q， R 三点共线，从而得出 与 共线，从而存在实数 ，使得 ，从而得出 ，这便得出 ，解出 k 即可【详解】解： 是不共线的两个平面向量； ；即 ； P， Q， R 三点共线； 与 共线；存在 ，使 ； ；根据平面向量基本定理得， ；6解得 故选： D【点睛】本题考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理8.设双曲线 的左焦点为 F，右顶点为 A若在双曲线 C 上，有且只有 3 个不同的点 P 使得 成立，则 =（ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】设出 P 的坐标，求出双曲线 的左焦点为 F
8、，右顶点为 A利用推出 的表达式，通过二次函数的性质，转化求解即可【详解】解：双曲线 的左焦点为 F（2，0） ，右顶点为 A（1，0） 设P（ m， n） ，可得： ，推出 n23 m23，（2 m， n） ， （1 m， n） ， ，可得 （ m+2） （ m1）+ n24 m2+m5， m（，11，+） ，如图：7当 0 时，有且只有 3 个不同的点 P 使得 成立，故选： D【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9.复数 z 满足方程 ，则 _【答案】-1-i【解析】【分析】把已知等式变
9、形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：由 1 iz i，得 iz1 i，则 z 故答案为：1 i【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题10.以抛物线 y2=8x 的焦点为圆心，且与直线 y=x 相切的圆的方程为_【答案】 （x-2） 2+y2=2【解析】【分析】依题意可求得抛物线焦点即圆心的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得圆的半径，则圆的方程可得【详解】解：依题意可知抛物线 y28 x 的焦点为（2，0） ，到直线直线 y x 的距离即圆的半径为 ，故圆的标准方程为：（ x2） 2+y22故答案为：（ x2） 2+y22【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，圆的方
10、程，点到直线的距离等问题属基础题11.能说明“设函数 f（ x）的定义域为 R，若 f（0）=0，则 f（ x）是奇函数”为假命题的一个函数是_8【答案】f（x）=x 2【解析】【分析】可取 f（x）=x 2，可得定义域为 R，计算 f（-x）与 f（x）比较可得 f（x）为偶函数【详解】可取 f（x）=x 2， 可得 f（x）的定义域为 R，且 f（0）=0， 但 f（-x）=（-x） 2=x2=f（x） ， 可得 f（x）为偶函数 可说明“设函数 f（x）的定义域为 R，若 f（0）=0，则 f（x）是奇函数”为假命题 故答案为：f（x）=x 2【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用
11、定义法，考查判断能力和运算能力、推理能力，属于基础题12.在 ABC 中， a=3， ， B=2A，则 cosA=_【答案】【解析】【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解【详解】解： a3， ， B2 A，由正弦定理可得： ，cos A 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题13.设函数 则 ff（0）=_；若方程 f（ x）= b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是_【答案】 (1). (2). （ ， ）【解析】9【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到 b
12、 的范围.【详解】解：函数 则 ff（0） f（ e0） f（1） x0 时， f（ x）1， x0， f（ x） x2+x ，对称轴为： x ，开口向下，函数的最大值为： f（ ） ， x0 时， f（0） ，方程 f（ x） b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是：（ ， ） 故答案为： ；（ ， ） 【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用14.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计） ，并要求听报告者不能迟到和早退报告名称 A B C D E F开始时间 8：00 8：10 8：
13、45 8：40 9：15 9：25结束时间 8：30 9：05 9：20 9：30 10：10 10：10某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为_【答案】D10【解析】【分析】当甲乙两人中某人听报告 D，通过数据比对与分析，则此人不能听报告 B，C，E，F， 甲、乙两人应该舍去的报告名称为 D。【详解】解：通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为 D， 当甲乙两人中某人听报告 D，则此人不能听报告 B，C，E，F， 故听报告 D 最不合适， 故答案为：D【点睛】本题考查了对数据的分析能力及
14、进行简单的合情推理，属简单题三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15.已知函数 （）求 f（ x）的最小正周期；（）若直线 x= 为函数 f（ x+a）图象的一条对称轴，求实数 a 的值【答案】 （） （）a= ，kz【解析】【分析】（I）利用和角正弦公式及二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合周期公式 T= 即可求解；（II）由（I）可求 f（x+a） ，然后结合对称轴处函数取得最值可求 a.【详解】解：（I） =2cosx（ sinx+ cosx）=sinxcosx+=sin（2x+ ）T=，（II）由（I）可知 f（x+a）=sin（2x+2a+ ） ，直线 x= 为函数
15、f（x+a）图象的一条对称轴，11f（+a）为 f（x+a）的最大或最新值，即 f（+）=sin（ ）=sin（2a+ ）=1， ，kza= ，kz【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及三角公式中的和角公式，辅助角公式的综合应用，解题的关键是熟练应用基本公式16.在各项均为正数的等比数列 an中， ，且 a4+a5=6a3（）求数列 an的通项公式；（）设数列log 2an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值【答案】 （）a n=2n-4（）-6【解析】【分析】（）各项均为正数的等比数列a n的公比设为 q，q0，由等比数列的通项公式，解方程即可得到所求首项和公比，进而得到所求通项公式；
16、（）设 bn=log2an=log22n-4=n-4，求得数列b n的项的正负，即可得到所求最小值【详解】解：（）各项均为正数的等比数列a n的公比设为 q，q0，且 a4+a5=6a3，可得 a1q= ，a 1q3+a1q4=6a1q2，解得 q=2，a 1= ，则 an=a1qn-1= 2n-1=2n-4；（）设 bn=log2an=log22n-4=n-4，由 1n4 时，b n0，n5 时，b n0，可得 Sn的最小值为 S3=S4=-3-2-1=-6【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的通项公式和求和问题，考查方程思想和运算能力，属于基础题17.为保障食品安全，某地食品药监管
17、部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了 100 件作为样本，并以样本的一项关键质量12指标值为检测依据已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中 a0） 质量指标值 频数15，20） 220，25） 1825，30） 4830，35） 1435，40） 1640，45 2合计 100（）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产
18、品为次品的概率；（）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于40，45的产品的概率；（）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较13【答案】 （）0.14（） （）乙【解析】【分析】（）由频率分布直方图求出 a=0.008，从而甲企业的样本中次品的频率为 0.14，由此能求出从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率 （）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产品，恰有一件产品是指标值属于40，45的产品”为事件 M，记质量指标值在15，20内的 2 件产品的样本分别为 A
19、1，A 2，质量指标值在40，45内的确件产品样本分别为 B1，B 2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有 6 种，由此能求出这两件次品中恰有一件指标值属于40，45的产品的概率 （）以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，得到乙企业产品的食品生产质量更高【详解】解：（）由频率分布直方图得：（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）5=1，解得 a=0.008，甲企业的样本中次品的频率为（a+0.020）5=0.14，故从甲企业生产的产品中任取一件，该产品是次品的概率为 0.14（）记“从乙企业样本里的次品中任取两件产
20、品，恰有一件产品是指标值属于40，45的产品”为事件 M，记质量指标值在15，20内的 2 件产品的样本分别为 A1，A 2，质量指标值在40，45内的确件产品样本分别为 B1，B 2，从乙企业样本中的次品中任取两件产品，所有可能结果有 6 种，分别为：（A 1，A 2） ， （A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ， （B 1，B 2） ，14而事件 M 包含的结果有 4 种，分别为：（A 1，B 1） ， （A 1，B 2） ， （A 2，B 1） ， （A 2，B 2） ，这两件次品中恰有一件指标值属于40，45的产品的概率 P= （）
21、以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的产品质量进行比较，由图表可知甲企业产品的合格率约为 0.86，乙企业产品的合格率约为 0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，认为乙企业产品的食品生产质量更高【点睛】本题考查频率、频数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题18.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧面 B1BCC1是正方形， M， N 分别是 A1B1， AC 的中点，AB平面 BCM（）求证：平面 B1BCC1平面 A1ABB1；（）求证： A1N平面 BCM；（）若三棱柱 ABC-A1
22、B1C1的体积为 10，求棱锥 C1-BB1M 的体积【答案】 （）详见解析（）详见解析（）【解析】【分析】（）推导出 AB BC， BB1 BC，从而 BC平面 A1ABB1，由此能证明平面 B1BCC1平面A1ABB1（）设 BC 中点为 Q，连结 NQ， MQ，推导出四边形 A1MQN 是平行四边形，从而 A1N MQ，由此能证明 A1N平面 BCM15（）连结 A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，三棱锥 B A1B1C1的体积，棱锥 C1 BB1M 的体积 ，由此能求出结果【详解】证明：（）AB平面 BCM，BC平面 BCM，ABBC，正方形 B1BCC1，BB 1BC，ABBB 1=B
23、，BC平面 A1ABB1，BC平面 B1BCC1，平面 B1BCC1平面 A1ABB1；（）设 BC 中点为 Q，连结 NQ，MQ，M，N 分别是 A1B1，AC 的中点，NQAB，且 NQ= AB，ABA 1B1，且 AB=A1B1，NQA 1M，且 NQ=A1M，四边形 A1MQN 是平行四边形，A 1NMQ，MQ平面 BCM，A 1NA 1N平面 BCM（）连结 A1B，根据棱柱和棱锥的体积公式，得到三棱锥 B-A1B1C1的体积 = = ，M 为 A1B1的中点，棱锥 C1-BB1M 的体积 = = = 【点睛】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、
24、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19.已知椭圆 C： 的离心率为 ，左、右顶点分别为 A， B，点 M 是椭圆 C上异于 A， B 的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P（）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 AM 的斜率的取值范围；16（）设椭圆 C 的右焦点为 F，点 Q 在 y 轴上，且 PFQ=90，求证： AQ BM【答案】 （） （- ，0） （0， ） （）详见解析【解析】【分析】（）根据题意可得得 c2 a22，由 e ，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线 AM 的斜率的取值范围，（）题意 F（ ，0） ，设 Q（0
25、， y1） ， M（ x0， y0） ，其中 x02，则 1，可得直线 AM 的方程 y （ x+2） ，求出点 Q 的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出 kBM kAQ0，问题得以证明【详解】解：（）由题意可得 c2=a2-2，e= ，a=2，c= ，椭圆的方程为 + =1，设 P（0，m） ，由点 P 在椭圆 C 的内部，得- m ，又A（-2，0） ，直线 AM 的斜率 kAM= = （- ， ） ，又 M 为椭圆 C 上异于 A，B 的一点，k AM（- ，0） ， （0， ） ，（）由题意 F（ ，0） ，设 Q（0，y 1） ，M（x 0，y 0） ，其中 x02，则 +
26、=1，直线 AM 的方程为 y= （x+2） ，令 x=0，得点 P 的坐标为（0， ） ，17由PFQ=90，可得 =0，（- ， ）（- ，y 1）=0，即 2+ y1=0，解得 y1=- ，Q（0，- ） ，k BM= ，k AQ=- ，k BM-kAQ= + =0，故 kBM=kAQ，即 AQBM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题20.已知函数 ，其中 如果曲线 与 x 轴相切，求 a 的值；若 ，证明： ；如果函数 在区间 上不是单调函数，求 a 的取值范围【答案】 （）1（）详见解析（） （ -ln2，1）【解析】【分析】（）先求导，再
27、根据导数的几何意义即可求出， （）构造函数 F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明 （）先求出函数 g（x）在（1，e）上是单调函数 a 的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可18【详解】解：（I）求导得 f（x）= -1=曲线 y=f（x）与 x 轴相切，此切线的斜率为 0由 f（x）=0，解得 x=1，又由曲线 y=（x）与 x 轴相切，得 f（1）=-1+a=0解得 a=1（II）证明：由题意，f（x）=lnx-x+ln2e，令函数 F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e求导，得 F（x）= -2=由 F
28、（x）=0，得 x= ，当 x 变化时，F（x）与 F（x）的变化情况如下表所示：x （0， ） （ ，+）F（x）+ 0 -F（x） 增 极大值 减函数 F（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）单调递减，故当 x= 时，F（x） max=F（ ）=ln -1+ln2e=0，任给 x（0，+） ，F（x）=f（x）-x0，即 f（x）x，（）由题意可得，g（x）= ，g（x）= ，当 g（x）0 时，在（1，e）上恒成立，函数 g（x）单调递增，当 g（x）0 时，在（1，e）上恒成立，函数 g（x）单调递减，x-2lnx+1-2a0 在（1，e）上恒成立，或 x-2lnx+1-2a0 在
29、（1，e）上恒成立，192ax-2lnx+1 在（1，e）上恒成立，或 2ax-2lnx+1 在（1，e）上恒成立，令 h（x）=x-2lnx+1，h（x）=1- = ，由 h（x）=0，解得 x=2，当 x（1，2）时，h（x）0，函数 h（x）单调递减，当 x（2，e）时，h（x）0，函数 h（x）单调递增，h（1）=2，h（e）=e-2+1=e-1，h（x） max=h（1）=2h（x） min=h（2）=3-2ln2，2a2 或 2a3-2ln2，a1 或 a -ln2，函数 在区间（1，e）上不是单调函数， -ln2a1，故 a 的取值范围为（ -ln2，1） 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题20
