1、- 1 -习题课-椭圆方程及性质的综合应用课后训练案巩固提升A组1.已知点 M( ,0),直线 y=k(x+ )与椭圆 +y2=1相交于 A,B两点,则 ABM的周长为( )A.4 B.8 C.12 D.16解析:椭圆 +y2=1的焦点在 x 轴上, a2=4,b2=1,c= ,所以椭圆的两个焦点为 N(- ,0),M( ,0).又因为直线 y=k(x+ )必经过定点 N(- ,0),由椭圆的定义知 ABM的周长为 AB+AM+BM=(AN+AM)+(BN+BM)=2a+2a=4a=8.答案:B2.设 F1,F2是椭圆 =1的两个焦点, P是椭圆上的点,且 |PF1|PF 2|=2 1,则 F
2、1PF2的面积等于 ( )A.5 B.4 C.3 D.1解析:由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= ,因为 |PF1|+|PF2|=2a=6,且 |PF1|PF 2|=2 1,所以 |PF1|=4,|PF2|=2.由 22+42=(2 )2可知, F1PF2是直角三角形,故 F1PF2的面积为 |PF1|PF2|= 42=4.答案:B3.椭圆 x2+4y2=36的弦被 A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程为( )A.x-2y=0 B.x+2y-4=0C.2x+3y-14=0 D.x+2y-8=0解析:设以 A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于 E(x1,y1),F(x2,y2),A (4,
3、2)为 EF中点,x 1+x2=8,y1+y2=4,把 E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆 x2+4y2=36,得 (x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, 8(x1-x2)+16(y1-y2)=0,k= =- , 以 A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4),整理,得 x+2y-8=0.- 2 -答案:D4.已知椭圆 +y2=1的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P在椭圆上,当 F1PF2的面积为 1时,等于( )A.0 B.1 C.2 D.解析:设 P(x0,y0),则依题意有 |F1F2|y0|=1,而 |F1F2|=2
4、,所以 y0= .故得 x0= .取 P ,可得 =0.答案:A5.已知椭圆的两个焦点分别是 F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q的轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.射线 D.直线解析:因为 |PQ|=|PF2|且 |PF1|+|PF2|=2a,所以 |PQ|+|PF1|=2a.又因为 F1,P,Q三点共线,所以 |PF1|+|PQ|=|F1Q|.故 |F1Q|=2a,即 Q在以 F1为圆心,以 2a为半径的圆上 .答案:A6.已知斜率为 2的直线 l被椭圆 =1截得的弦长为 ,则直线 l的方程为 .解析:设直线 l的方程为 y=2x
5、+m,与椭圆交于 A,B两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),由消去 y并整理得 14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以 x1+x2=- m,x1x2= (m2-2).由弦长公式得 |AB|= ,- 3 -解得 m= ,所以直线 l的方程为 y=2x .答案: y=2x7. 导学号 90074062 设 AB是椭圆 =1的不垂直于对称轴的弦, M为 AB的中点, O为坐标原点,则 kABkOM= . 解析:由题意,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则中点 M ,所以 kAB= ,kOM= ,所以 kABkOM= .又因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
6、,所以 b2 +a2 =a2b2,b2 +a2 =a2b2,所以 b2( )+a2( )=0,所以 =- .答案: -8.已知椭圆的焦点在 x轴上,且焦距为 4,P为椭圆上一点,且 |F1F2|是 |PF1|和 |PF2|的等差中项 .(1)求椭圆的方程;(2)若 PF1F2的面积为 2 ,求点 P的坐标 .解(1)由题意知,2 c=4,c=2,且 |PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即 2a=8,所以 a=4.所以 b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在 x轴上,所以椭圆的方程为 =1.(2)设点 P的坐标为( x0,y0),依题意知, |F1F2|y0|=2 ,所以 |y
7、0|= ,y0= ,代入椭圆方程 =1,得 x0=2 ,- 4 -所以点 P的坐标为(2 )或(2 ,- )或( -2 )或( -2 ,- ).9.已知圆 A:(x+3)2+y2=100,圆 A内一定点 B(3,0),圆 P过 B且与圆 A内切,求圆心 P的轨迹方程 .解设圆 P的半径为 r,又圆 P过点 B,所以 |PB|=r.又因为圆 P与圆 A内切,圆 A的半径为 10,所以两圆的圆心距 |PA|=10-r,即 |PA|+|PB|=10(大于 |AB|),所以点 P的轨迹是以 A,B为焦点的椭圆 .所以 2a=10,2c=|AB|=6.所以 a=5,c=3.所以 b2=a2-c2=25-
8、9=16.即点 P的轨迹方程为 =1.10.已知椭圆 =1(ab0)的离心率为 ,且 a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线 l:x-y+m=0与椭圆交于 A,B两点,且线段 AB的中点在圆 x2+y2=5上,求 m的值 .解(1)由题意得 解得故椭圆方程为 x2+ =1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB的中点为 M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程得即 3x2+2mx+m2-2=0,所以 x0= =- ,y0=x0+m= ,即 M .又因为点 M在圆 x2+y2=5上,- 5 -所以 =5,解得 m=3.B组1.若点 A(m,1)在椭圆 =1的内部,则实数 m
9、的取值范围是( )A.(- )B.(- ,- )( ,+ )C.(-2,2)D.(-1,1)解析:因为点 A(m,1)在椭圆 =1的内部,所以 b0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0交椭圆 E于 A,B两点 .若 |AF|+|BF|=4,点 M到直线 l的距离不小于 ,则椭圆 E的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A,B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以 a=2.又 d= ,所以 1 b2).e= , ,a= 4,故椭圆 C2的方程为 =1.(2)设 A,B两点的坐标分别为( xA
10、,yA),(xB,yB),由 =2 及(1)知, O,A,B三点共线且点 A,B不在 y轴上,因此可设直线 AB的方程为 y=kx,联立 得(1 +4k2)x2=4,.- 7 -联立 得(4 +k2)x2=16, .又由 =2 ,得 =4 . =4 ,解得 k=1.故直线 AB的方程是 y=x或 y=-x.6.导学号 90074063 如图,椭圆 E: =1(ab0)经过点 A(0,-1),且离心率为 .(1)求椭圆 E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为 k的直线与椭圆 E交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP与 AQ的斜率之和为 2.解(1)由题设知 ,b=1,结合 a2=b2+c2,解得 a= .所以椭圆的方程为 +y2=1.(2)由题设知,直线 PQ的方程为 y=k(x-1)+1(k2),代入 +y2=1,得(1 +2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知得 0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则 x1+x2= ,x1x2= .从而直线 AP,AQ的斜率之和- 8 -kAP+kAQ= =2k+(2-k) =2k+(2-k) =2k+(2-k) =2k-2(k-1)=2.
