1、- 1 -角平分线一课一练基础闯关题组 三角形三条角平分线的性质定理1.如图,在ABC 中,求作一点 P,使 P到A 的两边的距离相等,且 PA=PB.下列确定 P点的方法正确的是 ( )A.点 P为A、B 两角平分线的交点B.点 P为A 的平分线与 AB的垂直平分线的交点C.点 P为 AC,AB两边上的高的交点D.点 P为 AC,AB两边的垂直平分线的交点【解析】选 B.点 P到A 的两边的距离相等,点 P在A 的平分线上,PA=PB,点 P在 AB的垂直平分线上.点 P为A 的平分线与 AB的垂直平分线的交点.2.(2017南京一模)如图,在 RtABC 中,C=90,AD 是ABC 的角
2、平分线,若 CD=4,AC=12,AB=15,则ABC的面积为 世纪金榜导学号 10164037( )A.48 B.50 C.54 D.60【解析】选 C.作 DEAB 于 E,- 2 -AD 是ABC 的角平分线,C=90,DEAB,DE=CD=4,ABC 的面积= ACDC+ ABDE=54.12 123.如图,在ABC 中,点 O是ABC,BCA 的平分线的交点,则1_2(填“” “”或“=”).【解析】三角形的三条角平分线交于一点,AO 平分BAC,三角形的三条角平分线交于一点,1=2.答案:=4.(2017濮阳期末)如图,在ABC 中,BP,AP 是ABC,BAC 的平分线,交点为
3、P,PDBC 于 D,PEAC 于E,PD=4.则 PE=_.- 3 -【解析】如图,作 PFAB 于 F,BP,AP 是ABC,BAC 的平分线,PDBC 于 D,PEAC 于 E,PD=4,PE=PF=PD=4.答案:45.(2017石家庄期末)如图,O 是ABC 内一点,且 O到三边 AB,BC,CA的距离 OF=OD=OE,若BAC=70,BOC=_. 世纪金榜导学号 10164038【解析】OF=OD=OE,OB,OC 分别平分ABC 和ACB,BAC=70,ABC+ACB=180-70=110,OBC+OCB= (ABC+ACB)= 110=55,12 12BOC=180-(OBC
4、+OCB)=180-55=125.答案:1256.如图,在ABC 中,A=40,D 点是ABC 和ACB 平分线的交点,则BDC=_.- 4 -【解析】D 点是ABC 和ACB 平分线的交点,CBD=ABD= ABC,BCD=ACD= ACB,12 12ABC+ACB=180-40=140,DBC+DCB=70,BDC=180-70=110.答案:110【互动探究】当A=90时,BDC 的值为多少?提示:BDC=180-(DBC+DCB)=180- (ABC+ACB)=180- (180-12 12A)=90+ A=90+45=135.12【知识归纳】在ABC 中,如果ABC,ACB 的平分线
5、交于点 D,那么BDC=90+ A.127.如图,在 RtABC 中,ACB=90,AD 平分BAC,CEAD,垂足为 O,EFBC.求证:EC 平分FED.世纪金榜导学号 10164039【证明】AD 平分BAC,CEAD,- 5 -EAO=CAO,AOE=AOC=90,又AO=AO,AOEAOC,OE=OC,AD 垂直平分 CE,CD=DE,DEC=DCE,EFBC,FEC=DCE,DEC=FEC,EC 平分FED.8.在ABC 中,BAC 的平分线与 BC的垂直平分线相交于 D点,DNAC,DMAB,求证:BM=CN.【证明】连接 DB,DC,OD 是 BC的垂直平分线,BD=CD,AD
6、 平分BAC,DMAB,DNAC,DM=DN,DMB=N=90,在 RtDMB 和 RtDNC 中, D=,=,RtDMBRtDNC(HL),BM=CN.9.如图所示,在ABC 中,AD 是高,AE,BF 是角平分线,它们相交于点 O,BAC=60,C=70,求CAD,BOA 的度数是多少? 世纪金榜导学号 10164040【解析】ADBC,ADC=90,- 6 -C=70,CAD=180-90-70=20.BAC=60,C=70,AE 是BAC 的平分线,BAO=30,ABC=50,BF 是ABC 的平分线,ABO=25,BOA=180-BAO-ABO=180-30-25=125.故CAD,
7、BOA 的度数分别是 20,125.(2017兰陵月考)如图,在 RtABC 中,C=90,BD 是角平分线,若 CD=m,AB=2n,则ABD 的面积是 ( )A.mn B.5mn C.7mn D.6mn【解析】选 A.如图,过点 D作 DEAB 于 E,BD 是ABC 的平分线,C=90,DE=CD=m,ABD 的面积= 2nm=mn.12【母题变式】- 7 -变式一(2017武城期末)如图,ABC 的三边 AB,BC,CA长分别为 40,50,60.其三条角平分线交于点 O,则 SABO S BCO S CAO =_.【解析】作 ODAB 于 D,OEBC 于 E,BO 平分ABC,OD
8、=OE,S ABO S BCO =ABBC=4050=45,同理 SBCO S CAO =56,S ABO S BCO S CAO =456.答案:456变式二(2017唐河期末)如图 1,ABC 的三条角平分线交于 O点,已知ABC 的周长为 20,ODAB,OD=5,则ABC 的面积=_.图 1【解析】作 OEBC 于 E,OFAC 于 F,如图,点 O是ABC 三条角平分线的交点,- 8 -OE=OF=OD=5,S ABC =SOAB +SOBC +SOAC = ODAB+ OEBC+ OFAC= (AB+BC+AC)= 20=50.12 12 12 52 52答案:50变式三(2017
9、灵石期中)如图 2,在ABC 中,C=90,O 为ABC 的三条角平分线的交点,ODBC,OEAC,OFAB,点 D,E,F分别是垂足,且 AB=10cm,BC=8cm,CA=6cm,则点 O到三边 AB,AC和 BC的距离分别为 ( )图 2A.2cm、2cm、2cm B.3cm、3cm、3cmC.4cm、4cm、4cm D.2cm、3cm、5cm【解析】选 A.在ABC 中,C=90,AB=10cm,BC=8cm,CA=6cm,点 O为ABC 的三条角平分线的交点,OE=OF=OD.设 OE=x,S ABC =SOAB +SOAC +SOCB , 68= OF10+ OE6+ OD8,12
10、 12 12 1224=5x+3x+4x,x=2,即点 O到三边 AB,AC和 BC的距离都等于 2.变式四有一块三角形的空地,其三边长分别为 60m、80 m、100 m,现要把它分成面积比为 345 的三部分,分别- 9 -种植不同的花,请你设计一种方案,并简要说明理由.【解析】方案:分别作ABC 和ACB 的平分线,相交于点 P,连接 PA.则 SPAB :SPAC :SPBC=6080100=345.理由:P 是ABC 和ACB 平分线的交点,过 P作 PE,PF,PH分别垂直于 AB,BC,AC,垂足分别为 E,F,H.则有PE=PF=PH,S PAB = ABPE= 60PE,12 12SPAC = ACPH= 80PH,12 12SPBC = BCPF= 100PF,12 12S PAB S PAC S PBC =6080100=345.- 10 -
