1、1第 8章 平面解析几何 第 7讲A组 基础关1点 M(5,3)到抛物线 y ax2(a0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是( )A y12 x2 B y12 x2或 y36 x2C y36 x2 D y x2或 y x2112 136答案 D解析 抛物线 y ax2(a0)的方程可化为 x2 ，准线方程为 y ，由题意得ya 14a6，解得 a 或 ，所以抛物线的方程为 y x2或 y x2.|3 (14a)| 112 136 112 1362(2019河南天一大联考)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，抛物线上一点M(2， m)满足| MF|6，则抛物线 C的方程为(
2、 )A y22 x B y24 xC y28 x D y216 x答案 D解析 依题意，2 6，故 p8，故抛物线 C的方程为 y216 x.p23已知点 A是抛物线 y22 px(p0)上一点， F是抛物线的焦点，则以 AF为直径的圆与 y轴的位置关系是( )A相交 B相离 C相切 D不确定答案 C解析 如图，取 AF的中点 C，作 CN y轴， AM y轴，垂足分别为 N， M，可得| CN|AF|，所以以 AF为直径的圆与 y轴相切124设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，准线 l与 x轴的交点为 A，过抛物线 C上一点 P作准线 l的垂线，垂足为 Q.若 QAF的面积为 2，则点
3、P的坐标为( )A(1,2)或(1，2) B(1,4)或(1，4)C(1,2) D(1,4)答案 A2解析 设点 P的坐标为( x0， y0)因为 QAF的面积为 2，所以 2|y0|2，即12|y0|2，所以 x01，所以点 P的坐标为(1,2)或(1，2)5(2018长沙模拟二)已知点 P(x0， y0)是抛物线 y24 x上的一个动点， Q是圆C：( x2) 2( y4) 21 上的一个动点，则 x0| PQ|的最小值为( )A2 1 B2 C3 D45 5答案 C解析 设抛物线 y24 x的焦点 F(1,0)，过点 P(x0， y0)作准线 l： x1 的垂线，垂足为 N，则x0| P
4、Q| PN| PQ|1| PF| PQ|1| CF|2 2523，当 1 2 2 42且仅当 C， P， F三点共线且点 Q在线段 CF上时取等号，则 x0| PQ|的最小值是 3，故选 C.6(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线23与 C交于 M， N两点，则 ( )FM FN A5 B6 C7 D8答案 D解析 根据题意，过点(2,0)且斜率为 的直线方程为 y (x2)，与抛物线方程联23 23立Error! 消去 x并整理，得 y26 y80，解得 M(1,2)， N(4,4)，又 F(1,0)，所以(0,2)， (3,4)，从而可以
5、求得 03248.故选 D.FM FN FM FN 7已知抛物线 y22 px(p0)的焦点弦 AB的两端点坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 的值一定等于( )y1y2x1x2A4 B4 C p2 D p2答案 A解析 解法一：若焦点弦 AB x轴，则 x1 x2 ，所以p2x1x2 ； y1 p， y2 p， y1y2 p2，p24 4.y1y2x1x2解法二：若焦点弦 AB不垂直于 x轴，可设 AB的直线方程为 y k ，联立Error!(x p2)得 k2x2( k2p2 p)x 0，则 x1x2 .所以 y1y2 p2.故 4.p2k24 p24 y1y2x1x
6、28(2018西宁检测一)已知点 P(2,1)，若抛物线 y24 x的一条弦 AB恰好是以 P为中点，则弦 AB所在直线方程是_答案 2 x y30解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y22，且 y 4 x1， y 4 x2，两式相减得21 232(y1 y2)4( x1 x2)，且 x1 x2，则直线 AB的斜率 kAB 2，又弦 AB过点 P，则y1 y2x1 x2所求直线方程为 y12( x2)，即 2x y30.9直线 3x4 y40 与抛物线 x24 y和圆 x2( y1) 21 从左至右的交点依次为A， B， C， D，则 的值为_|CD|AB|答案 16
7、解析 如图所示，抛物线 x24 y的焦点为 F(0,1)，直线 3x4 y40 过点(0,1)，由Error! 得 4y217 y40，设 A(x1， y1)， D(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y21，解得 y1174， y24，则 16.14 |CD|AB| |FD| 1|AF| 1 y2 1 1 y1 1 110过抛物线 C： x22 y的焦点 F的直线 l交抛物线 C于 A， B两点，若抛物线 C在点B处的切线的斜率为 1，则| AF|_.答案 1解析 把抛物线 C的方程 x22 y改写为 y 求导得 y x，因为抛物线 C在点 B处x22的切线斜率为 1，即 y xB1，所
8、以点 B的坐标为 ，抛物线的焦点 F的坐标为(1，12)，所以直线 l的方程为 y ，所以 A ，| AF|1.(0，12) 12 ( 1， 12)B组 能力关1(2018衡水调研)已知抛物线 y24 x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则 y y 的最小值为( )21 2A12 B24 C16 D32答案 D解析 当直线的斜率不存在时，其方程为 x4，由Error!得 y14， y24， y y2132.当直线的斜率存在时，设其方程为 y k(x4)，由Error!2得 ky24 y16 k0， y1 y2 ， y1y216，4k y y
9、( y1 y2)22 y1y2 3232，综上可知， y y 32. y y 的最小值21 216k2 21 2 21 24为 32.2.如图，已知直线与抛物线 x22 py交于 A， B两点，且 OA OB， OD AB交 AB于点D，点 D的坐标为(2,4)，则 p的值为( )A2 B4 C. D.32 52答案 D解析 OD AB， kODkAB1.又 kOD 2， kAB ，直线 AB的方程为42 12y4 (x2)，即 y x5，由Error!消去 y可得12 12x2 px10 p0， p240 p0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2 p， x1x210
10、p，则 x1x2 y1y20，又x1x2 y1y2 x1x2 x1x2 (x1 x2)25 (10 p) ( p)(12x1 5)( 12x2 5) 54 52 54 52250， p .523(2018全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C的焦点 F且斜率为 k的直线与 C交于 A， B两点若 AMB90，则 k_.答案 2解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!所以 y y 4 x14 x2，21 2所以 k .y1 y2x1 x2 4y1 y2取 AB的中点 M( x0， y0)，分别过点 A， B作准线 x1 的垂线，垂足分别为A， B
11、.因为 AMB90，所以| MM| |AB| (|AF| BF|) (|AA| BB|)12 12 12因为 M为 AB的中点，所以 MM平行于 x轴因为 M(1,1)，所以 y01，则 y1 y22，所以 k2.4.如图所示，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)， A(x1， y1)，B(x2， y2)均在抛物线上5(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2的值及直线 AB的斜率解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22 px(p0)因为点 P(1,2)在抛物线上，所以 222 p1，解得 p2.故所求抛物
12、线的方程是 y24 x，准线方程是 x1.(2)设直线 PA的斜率为 kPA，直线 PB的斜率为 kPB.则 kPA (x11)， kPB (x21)，y1 2x1 1 y2 2x2 1因为 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPA kPB.由 A(x1， y1)， B(x2， y2)均在抛物线上，得Error!所以 ，所以 y12( y22)y1 214y21 1y2 214y2 1所以 y1 y24.由得， y y 4( x1 x2)，21 2所以 kAB 1( x1 x2)y1 y2x1 x2 4y1 y2C组 素养关1(2018惠州高三第一次调研)已知圆 x2 y212 与抛物
13、线 x22 py(p0)相交于A， B两点，点 B的横坐标为 2 ， F为抛物线的焦点2(1)求抛物线的方程；(2)若过点 F且斜率为 1的直线 l与抛物线和圆相交于四个不同的点，从左至右依次为P1， P2， P3， P4，求| P1P2| P3P4|的值解 (1)设 B(2 ， y0)，2由题意得Error!解得Error! 所以抛物线的方程为 x24 y.(2)设点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， P3(x3， y3)， P4(x4， y4)，由题意知 P1， P3在圆上，P2， P4在抛物线上因为直线 l过点 F(0,1)且斜率为 1，所以直线 l的方程为 y x1.6联
14、立，得Error!消去 y，得 2x22 x110，所以 x1 x31， x1x3 ，112|P1P3| 1 12 x1 x3 2 4x1x3 .2 1 2 4( 112) 46联立，得Error!消去 y，得 x24 x40，所以 x2 x44， x2x44，|P2P4| 1 12 x2 x4 2 4x2x4 8.2 42 4 4由题意，易知| P1P2| P1P3| P2P3|，|P3P4| P2P4| P2P3|，得| P1P2| P3P4| P1P3| P2P4|，所以| P1P2| P3P4| 8.462已知点 H(1,0)，点 P在 y轴上，动点 M满足 PH PM，且直线 PM与
15、 x轴交于 Q点，Q是线段 PM的中点(1)求动点 M的轨迹 E的方程；(2)若点 F是曲线 E的焦点，过 F的两条直线 l1， l2关于 x轴对称，且 l1交曲线 E于A， C两点， l2交曲线 E于 B， D两点， A， D在第一象限，若四边形 ABCD的面积等于 ，求52直线 l1， l2的方程解 (1)设 M(x， y)， P(0， y)， Q(x，0)，则 (1， y)，PH ( x， y)，PQ PH PM， x y 20，即 y 2 x，由题意得Error!Error! 代入 y 2 x，得( y)2 (x0)x2故动点 M的轨迹 E的方程为 y2 (x0)x2(2)由(1)知
16、F ，设直线 l1： x ky (k0)，(18， 0) 18由Error! 得 y2 y 0，k2 116 yA yC ， yAyC ，k2 116依题意可知，四边形 ABCD是等腰梯形，7 S 四边形 ABCD 2yA 2yD xD xA2 2yA 2yC xC xA2( yA yC)kyC18 (kyA 18) k(yA yC)2 k(yA yC)24 yAyC ，k3 k4由 (k3 k) ，整理得 k3 k100，14 52( k2)( k22 k5)0，又 k22 k50， k2.直线 l1的方程为 y x ，12 116同理可得直线 l2的方程为 y x .12 116直线 l1， l2的方程分别为 y x ， y x .12 116 12 1168
