1、1课时规范练 38 空间几何体的表面积与体积一、基础巩固组1.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )A.12+4 B.18+8 C.28 D.20+82 2 22.(2017 安徽黄山二模,理 6)过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分,所得几何体的三视图如图所示,则原圆锥的体积为 ( )A.1 B. C. D.23 43 833.已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为 2 1,顶点都在一个球面上,若该球的表面积为 ,则此三棱柱的侧面积为 ( )163A. B.332C.8 D.64.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示 .则该几何
2、体的体积为( )A. B.13+23 13+23C. D.1+13+26 265.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )2A.2 B. C. D. 导学号 2150074323 43 536.(2017 宁夏银川二模,理 9)点 A,B,C,D 在同一个球的球面上, AB=BC= , ABC=90,若四面体6ABCD 体积的最大值为 3,则这个球的表面积为( )A.2 B.4 C.8 D.167.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为 1 的半球面上, AB=AC,侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1的面积为( )A. B.1 C. D.
3、 导学号 2150074422 2 38.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, BAD=60,侧棱 PA底面 ABCD,PA=2,E 为 AB的中点,则四面体 PBCE 的体积为 . 9.(2017 河北武邑中学一模,理 13)已知一个圆锥的母线长为 2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积为 . 10.(2017 天津河东区一模,理 11)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为 . 11.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积是 . 312.已知 H 是球 O 的直径 AB 上一
4、点, AHHB= 1 2,AB平面 ,H 为垂足, 截球 O 所得截面的面积为 ,则球 O 的表面积为 . 二、综合提升组13.如图是某个几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体外接球的直径为( )A.2 B.2 2C. D.23 314.一个四面体的顶点都在球面上,它的正视图、侧视图、俯视图都是右图 .图中圆内有一个以圆心为中心边长为 1 的正方形 .则这个四面体的外接球的表面积是( )A. B.3 C.4 D.6导学号 2150074515.已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 ,则以 O 为球心, OA 为半径的球的表面积为 32
5、2 3. 16.(2017 陕西咸阳二模,理 16)已知一个三棱锥的所有棱长均为 ,则该三棱锥的内切球的体积为 .2三、创新应用组17.(2017 石家庄二中模拟,理 15)半径为 1 的球 O 内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 . 18.(2017 全国 ,理 16)如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E,F 为圆 O 上的点, DBC, ECA, FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC, ECA, FAB,
6、使得 D,E,F 重合,得到三棱锥 .当 ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为 . 导学号 215007464课时规范练 38 空间几何体的表面积与体积1.D 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图 .则该几何体的表面积为 S=2 22+422+2 4=20+8 ,故选 D.12 2 22.D 由三视图可得底面圆的半径为 =2,圆锥的高为 =2,3+1 5-1 原圆锥的体积为 222= ,故选 D.13 833.D 如图,根据球的表面积可得球的半径为 r= ,设三棱柱的底面边长为 x,则 =x2+ ,解43 ( 43)2 ( 33)2得 x=1,
7、故该三棱柱的侧面积为 312=6.4.C 由三视图可知,上面是半径为 的半球,体积 V1= ,下面是底面积为 1,高22 1243( 22)3=26为 1 的四棱锥,体积 V2= 11= ,所以该几何体的体积 V=V1+V2= 故选 C.13 13 13+26.5.D 由已知中的三视图,可知该几何体是一个长方体,切去了一个边长为 1,高也是 1 的正四棱锥(如图),长方体 ABCD-ABCD切去正四棱锥 S-ABCD.长方体的体积为 V 长方体 =112=2,正四棱锥的体积为 V 正四棱锥 = 111= ,13 13故该几何体的体积 V=2- 故选 D.13=53.6.D 由题意,知 S AB
8、C=3,设 ABC 所在球的小圆的圆心为 Q,则 Q 为 AC 的中点,当 DQ 与面 ABC 垂直时,四面体 ABCD 的最大体积为 S ABCDQ=3,13DQ= 3,如图,设球心为 O,半径为 R,则在 Rt AQO 中,OA2=AQ2+OQ2,即 R2=( )2+(3-R)2,R= 2,35则这个球的表面积为 S=4 22=16 .故选 D.7.C 由题意知,球心在侧面 BCC1B1的中心 O 上, BC 为 ABC 所在圆面的直径,所以 BAC=90, ABC的外接圆圆心 N 是 BC 的中点,同理 A1B1C1的外心 M 是 B1C1的中点 .设正方形 BCC1B1的边长为 x,在
9、 Rt OMC1中, OM= ,MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径),所以 =1,即 x= ,则 AB=AC=1.2 2 (2)2+(2)2 2所以侧面 ABB1A1的面积 S= 1=2 2.8 显然 PA 面 BCE,底面 BCE 的面积为 12sin 120= ,所以 VP-BCE= 2. 33 12 32 13 32=33.9 由题意知圆锥的底面周长为 2,设圆锥的底面半径是 r,则得到 2 r=2,解得 r=1,. 33 圆锥的高为 h= 22-12=3. 圆锥的体积为 V= r2h=13 33.10 如图所示,该几何体为如下四棱锥 P-ABCD,其中 PA 底面 ABCD,.
10、53底面四边形由直角梯形 ABED,Rt DCE 组成, AB DE,AB BC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2.S 底面 ABCD= 1+ 21= V= 2=1+22 12 52. 1352 53.11 易知该几何体是正四棱锥 .连接 BD,设正四棱锥 P-ABCD,由 PD=PB=1,BD= ,得 PD PB.设底. 26 2面中心 O,则四棱锥的高 PO= ,则其体积是 V= Sh= 1222 13 13 22=26.12 如图,设球 O 的半径为 R,则 AH= ,OH=.92 23 3.又 EH2=, EH= 1.6 在 Rt OEH 中, R2= +12,R 2=(3
11、)2 98.S 球 =4 R2=92.13.D 由题意可知三视图复原的几何体如图,四棱锥 S-BCDE 是正方体的一部分,正方体的棱长为 2,所以几何体外接球为正方体外接球,该几何体外接球的直径为 2 3.14.B 由三视图可知,该四面体是正四面体 . 此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 3. 此四面体的外接球的表面积为 4 =3,故选 B.( 32)215.24 如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中, VO-ABCD= S 正方形 ABCDOO1= ( )2OO1= ,13 13 3 322OO 1= ,AO1= ,322 62在 Rt OO1A 中, OA= ,即 R= ,21+
12、21=(322)2+( 62)2=6 6S 球 =4 R2=24 .16 如图, O 为正四面体 ABCD 的内切球的球心,正四面体的棱长为 ,所以 OE 为内切球的半径,. 354 2设 OA=OB=R,在等边三角形 BCD 中, BE= ,AE=332=63 2-69=233.由 OB2=OE2+BE2,即有 R2= ,(233 -)2+23解得 R= OE=AE-R= ,则其内切球的半径是 ,故内切球的体积为32. 36 36 43( 36)3=354.717.4 -3 如图所示,设球心为 O 点,上下底面的中心分别为 O1,O2,设正三棱柱的底面边长与高3分别为 x,h,则 O2A=
13、x,在 Rt OAO2中, x2=1,化为 h2=4- x2,33 24+13 43S 侧 =3xh, =9x2h2=12x2(3-x2)12 =27,当且仅当 x= 时取等号, S 侧 =3 ,2侧 (2+3-22 )2 62 3 球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 4 -3 ,故答案为 4 -33 3.18.4 如图所示,连接 OD,交 BC 于点 G.由题意知 OD BC,OG= BC.1536设 OG=x,则 BC=2 x,DG=5-x,3三棱锥的高 h= 2-2=25-10+2-2=25-10.因为 S ABC= 2 x3x=3 x2,所以三棱锥的体积12 3 3V= S ABCh= x213 3 25-10=3 254-105.令 f(x)=25x4-10x5,x ,则 f(x)=100x3-50x4.令 f(x)=0,可得 x=2,(0,52)则 f(x)在(0,2)单调递增,在 单调递减,(2,52)所以 f(x)max=f(2)=80.所以 V =4 ,所以三棱锥体积的最大值为 4380 15 15.
