1、1课时规范练 36 数学归纳法一、基础巩固组1.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=n(2n+1)时,当 n=1 时的左边等于( )A.1 B.2 C.3 D.42.如果用数学归纳法证明:对于足够大的正整数 n,总有 2nn3,那么验证不等式成立所取的第一个 n的最小值应该是( )A.1 B.9C.10 D.n10,且 nN *3.用数学归纳法证明 1+ + (nN *)成立,其初始值至少应取( )12+14 12-112764A.7 B.8 C.9 D.104.某同学回答“用数学归纳法证明 1324推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 . 8.由下列不等式:1 ,1+ 1,1
2、+ + ,1+ + 2,你能得到一个怎样的12 12+13 12+13 1732 12+13 115一般不等式?并加以证明 .导学号 215007419.平面内有 n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这 n 条直线把平面分割成(n2+n+2)个区域 .122二、综合提升组10.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:当 f(k) k+1 成立时,总能推出 f(k+1) k+2成立,则 下列命题总成立的是( )A.若 f(1)+1导学号 21500742三、创新应用组13.已知 f(n)=1+ + (nN *),经计算得 f(4)2,f(8) ,f(16)3,f
3、(32) ,则其一般结论为 12+13 1 52 72. 14.(2017 山东济南模拟)已知函数 f(x)=aln x+ (aR) .2+1(1)当 a=1 时,求 f(x)在1, + )内的最小值;(2)若 f(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围;(3)求证:ln( n+1) + (nN *).13+15+17 12+13课时规范练 36 数学归纳法1.C 在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=n(2n+1)时,当 n=1 时的左边 =1+2=3.2.C 210=1 024103.故选 C.3.B 左边 =1+ + =2- ,12+14 12-1=1-121-12 12-1代入验
4、证可知 n 的最小值是 8.故选 B.4.A 证明 2(1)当 n=1 时,由题设条件知不等式成立 .(2)假设当 n=k(kN *)时不等式成立,即 1+ +12+13 12-12.则当 n=k+1 时,1 + + + +12+13 12-1+12 12+1-12+12+ 12+112+1-12+12+1+12+1+12+12个 =2+22+1=+12 .所以当 n=k+1 时不等式成立 .根据(1)和(2)可知不等式对任何 nN *都成立 .9.证明 (1)当 n=1 时,一条直线把平面分成两个区域,又 (12+1+2)=2,12所以当 n=1 时命题成立 .(2)假设当 n=k 时,命题
5、成立,即 k 条满足题意的直线把平面分割成了 (k2+k+2)个区域 .12则当 n=k+1 时, k+1 条直线中的 k 条直线把平面分成了 (k2+k+2)个区域,第 k+1 条直线被这 k12条直线分成 k+1 段,每段把它们所在的区域分成了两块,因此增加了 k+1 个区域,所以 k+1 条直线把平面分成了 (k2+k+2)+k+1= (k+1)2+(k+1)+2个区域 .12 12所以当 n=k+1 时命题也成立 .4由(1)(2)知,对一切的 nN *,此命题均成立 .10.D 当 f(k) k+1 成立时,总能推出 f(k+1) k+2 成立,说明如果当 k=n 时, f(n) n
6、+1 成立,那么当 k=n+1 时, f(n+1) n+2 也成立,所以如果当 k=4 时, f(4)5 成立,那么当 k4 时, f(k) k+1 也成立 .11.C 由 a1= ,Sn=n(2n-1)an,得 S2=2(22-1)a2,即 a1+a2=6a2.13解得 a2= ,S3=3(23-1)a3,即 +a3=15a3.115= 135 13+115解得 a3=135= 157.同理可得 a4= ,故猜想 an的表达式为163= 179 1(2-1)(2+1).12.证明 (1)当 n=1 时,左式 = ,右式 = ,左式 右式,所以结论成立 .32 2(2)假设当 n=k(k1,k
7、N *)时结论成立,即 ,则当 n=k+1 时,2+12 4+14 2+12 +12+12 4+14 2+12 2+32(+1)+1 2+32(+1)=2+32+1.要证当 n=k+1 时结论成立,只需证 ,2+32+1+2即证 ,2+32 (+1)(+2)由基本不等式可得 成立,故 成2+32 =(+1)+(+2)2 (+1)(+2) 2+32+1+2立 .所以当 n=k+1 时,结论成立 .由(1)(2)可知 nN *时,不等式 成立 .2+12 4+14 2+12 +113.f(2n) (n2, nN *) 因为 f(22) ,f(23) ,f(24) ,f(25) ,所以当 n2, n
8、N *时,有+22 42 52 62 72f(2n) 故填 f(2n) (n2, nN *).+22 . +2214.(1)解 当 a=1 时, f(x)=ln x+ ,定义域为(0, + ).2+1因为 f(x)= 0,1 2(+1)2= 2+1(+1)2所以 f(x)在(0, + )内是增函数,所以 f(x)在1, + )内的最小值为 f(1)=1.(2)解 f(x)= ,因为 f(x)存在单调递减区间,所以 f(x)0 时, h(x)=ax2+2(a-1)x+a 是开口向上的抛物线,即方程 ax2+2(a-1)x+a=0 有正根 .因为 x1x2=10,所以方程 ax2+2(a-1)x+
9、a=0 有两正根,所以 解得 00,1+20, 12.5综合 知, a 的取值范围是 (-,12).(3)证明 当 n=1 时,ln( n+1)=ln 2.因为 3ln 2=ln 81,所以 ln 2 ,即当 n=1 时,不等式成立 .13 假设当 n=k 时,ln( k+1) + 成立 .13+15 12+1则当 n=k+1 时,ln( n+1)=ln(k+2)=ln(k+1)+ln + +ln+2+113+15 12+1 +2+1.根据(1)的结论可知,当 x1 时,ln x+ 1,即 ln x2+1 -1+1.令 x= ,所以 ln ,则有 ln(k+2) + ,即当 n=k+1 时,+2+1 +2+1 12+3 13+15 12+1+ 12+3不等式也成立 .由 可知不等式成立 .
